《勾股定理应用》长方体表面上最短路径问题教学设计.docx
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《勾股定理应用》长方体表面上最短路径问题教学设计
17.3.勾股定理的应用
---长方体表面上最短路径问题
一、学生知识状况剖析
本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两极点间最
短距离问题，需要学生认识空间图形、对长方体进行睁开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体睁开图
已经有了必定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．
二、教课任务剖析
本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延长的课题学习，详细内容是运用勾股定理解决长方体表面两极点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转变为平面图形的过程，经过操作、察看、对照，培育学生的剖析、概括应用等能力；在研究活动详细必定的难度，在打破难点时需要拥有学生敢于研究、勇于思虑的精神，有助于锻炼学生独立思虑，力闯难关的勇气．也经过转变思想、对照方法培育学生学习数学的基本修养。
三、教课方案：
獅綣陨閘挡请钶籮统锷疯饲请酾韙。
（一）教课目的：
1
知识与技术：
1、娴熟运用勾股定理解决实质问题；
2.经过立体图形转变为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：
1.加强转变思想和对照方法，培育学生剖析、概括、解决问题的能力；
2.建立直角三角形模型，回归平面几何根源；
感情态度与价值观:
在教课过程中培育学生着手实践、察看、剖析、概括
的习惯，领会知识的形成过程和获取悉识的成就感；加强学生应用数学知识解决实质问题的经验，培育学生解决问
题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
（二）教课重难点：
1、教课要点：
知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实质问题。
2、教课难点：
经过转变思想把立体图形转变为平面图形，建立直角三角形模型，并分状况议论，得出结论的研究的过程。
鹏窥鷓鲲锚头冈籁墾侨賓訌颟煒栖。
（三）课前准备：
课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：
2
指引---研究---概括演示操作，引起思虑，分类议论，对照剖析，达成结论。
（五）教课过程剖析本节课设计了八个环节．第一环节：
复习稳固；第二
环节：
问题体现；第三环节：
研究新知；第四环节：
解决问题；第五环节：
讲堂练习；第六环节：
讲堂小结；第七
环节：
课后作业．第八环节：
课后反省。
六、教课过程：
环节一：
复习稳固
1、线段公义：
两点之间，.
2、勾股定理：
在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，
则.
3、在Rt△ABC中，两直角边长分别为6、8,，则斜边为。
4、如图，依据长方体中的数据达成填空：
（与点A在平一面内两点的距离）
AC=；AE=；AG=；
AF=；AH=；AD=.〖设计企图〗
1.温故旧知，为后边教课做铺垫；
2.经过直觉激活学生思想；
3
3.对新课进行有效连接。
剖析引入课题：
从这个题目中，不难发现：
在长方体
上有八个极点，不难发此刻同一个面上两个极点之间的距离要么是长方体一边的长，要么是此中一个面的对角线的
长。
但在长方体中，形如不在同一个面上的与A、B两点间表面上的最短距离又如何求呢？
明显，只是简单利用上述鳩賈遙鰍篤媯裝虛訶铯潜櫨橱祕專。
的方法是不可以解决的，如何解决就是我们将要一同商讨的
问题--勾股定理应用（长方体表面上的最短路径问题）。
（板书课题）
环节二：
情形导入
问题：
如图是长为50cm,宽为30cm，高
为40cm的长方体盒子，一只蚂蚁沿着表面从点A爬行到点B，如何爬行行程最短？
最短行程是多少？
〖设计企图〗击詡秽荞闯靄钌羨鶉荭鲑壘缏谟勞。
1.联系实质问题，设置悬疑；
2.为后边运用知识解决问题供给典范，达到前后响应。
环节三：
研究新知
剖析：
解决这个问题，第一我们一定知道蚂蚁爬行的路径，下边请同学经过演示找出你以为蚂蚁能够爬行的路
4
径状况。
（分别请3-5名学生用道具进行演示，并据概括总结路径状况）
〖设计企图〗
1.学生着手体验、感知，易于对学习产生兴趣和有效对知识的理解；
2.培育学生概括、清除能力，为后边在概括确立基础。
议论路径状况：
（从“短”的角度清除绕更多面、沿
更多边及多边多面的状况）
1、绕面路径（起码两个面）
2、沿边路径（起码三条边）
3、沿边绕面路径（起码一边一面）
依据三角形三边关系清除第2、3种状况。
经过演示直观的察看，总结出路径一定经过也最多经
过相邻的两个面时，才可能出现最短路径。
剖析：
假如极点A和极点B在同一个平面上，直接连
接，求出即可。
但A、B两点不在同一个平面上，因此要求最短距离需要将长方体睁开，在展
开的表面上利用勾股定理求出
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最短距离。
因为长方体每边的长短不同样，因此在睁开图
中就有三种不同的形式，三种状况结果就会不同。
假如长方体的长为a,宽为b，高为h路径一：
睁开前方和右边，依据
勾股定理可得AB1=（ab）2h2路径二：
睁开前方和上边，依据
勾股定理可得AB2=a2（bh）2路径三：
睁开前方和上边，依据
勾股定理可得AB3=（ah）2b2小结：
长方体中状况一般分三种状况来说
明，结构直角三角形时实质就是长+宽为向来角边长，高为另向来角边长；
长+高为向来角边长，宽为另向来角边长；宽+高为直角一边长，长为另向来角边长三种状况。
〖设计企图〗
1.感觉知识形成的过程，打破难点；
2.发展空间想象，领会转变思想，回归平面几何根源。
环节四：
解决问题
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问题：
如图是长为50cm,宽为30cm，高为40cm的长
方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A爬行到点B，如何爬行路程最短？
最短行程是多少？
（全体学生试试达成，让1名学生登台板演，并进行评论）
解：
长方体的长a=50cm,宽为b=40cm，高为h=30cm.
第一种路径：
（50
40）2
302
9000
第二种路径：
（50
30）2
402
8000
第三种路径：
502
（30
40）2
7400
又7400
8000
9000
因此点A到点B的最短距离为7400cm,即1074cm。
在三种状况中，可否直接判断最短距离的状况呢？
屿閑誶铉憂阉鍘瀝憚红险滨骑瘿镊。
第一种：
第二种：
第三种：
（a
b）2
h2
a2
b2
h2
2ab
a2
（b
h）2
a2
b2
h2
2bh
（a
h）2
b2
a2
b2
h2
2ah
不难发现各式值大小取决于后边ab、bh、ah的大小，此中乘积二者恰好其和为直角三角形的向来角边。
概括（方法）：
当较短的两边构成向来角边，较长边为另向来角边时，距离最短。
即当abc时，最短距离为dmin（ab）2h2
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明显：
关于上述例题的解法即可以下：
502
（30
40）2
7400
=10
74cm
因此点A到点B的最短距离为10
74cm。
〖设计企图〗
1.稳固要点，作对照，找规律，出结论，得经验；
2.指引学生发现解决问题的最正确方法，学致使用。
环节五：
讲堂练习
1、在长2cm、宽1cm、高是4cm的长方体纸
箱外面，一只蚂蚁从极点A沿表面爬到B点，爬
行最短的路线为cm.
2、在长、宽都是3cm、高是8cm的长方体
纸箱外面，用一根绳索把点A、点B连结起来，
那么绳索的长度起码需假如cm.
3、如图是一个棱长为5的正方体，那么点A
到点B的最短距离是多少？
棱长为a呢？
〖设计企图〗
1.进行讲堂查验，实时反应，进行填补；
2.从一般（长方体）到特别（正方体）的转变；环节六：
讲堂小结形成过程：
展立体睁开成平面
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找找起点和终点
连连结起点和终点
算运用勾股定理方法技巧：
当较短的两边构成向来角边，较长边为另向来角边时，距离最短。
特别：
棱长为a正方体时,最短距离为5a。
思想与方法：
转变思想、对照方法。
〖设计企图〗
1．回首问题的办理方法，知识形成，有效整合；
2．培育学生数学思想、方法，详细数学修养。
环节七：
部署作业
必做题：
1、正方体的棱长为2，那么点A到点B的最短距离是。
2、在长是15cm、宽是11cm、高是9cm的长方体纸箱
外面，用一个彩带把点A、点B连结起来，
那彩带的长度起码是cm.提升题：
3、长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B
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C
B
A
离点C5cm,一只蚂蚁假如沿着长方体的表面从点A爬到点
B，需要爬行的最短距离是多少？
〖设计企图〗
1.有效稳固知识点，加强知识的理解和运用；
2.分层作业知足不同层次学生，让部分学生在已有的经验长进行提升题变式的理解，给部分学生留思虑空间，体
验获取知识的成就感。
环节八：
课后反省附：
板书设计
勾股定理的应用
---长方体表面上最短路径问题
概括：
解决问题：
当长方体较短的两边构成向来角边，例：
--------较长边为另向来角边时，距离最短。
解：
--------即长方体长、宽、高分别为a、b、h时，---------若abh时，最短距离为莅较级匯烧浏錦鲁羁譴誕诫戇燾蒔。
dmin（a
b）2
h2
特别地：
棱长为
a正方体，
最短距离为
5a,
10
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