学而思初一数学暑假班第9讲不等式和不等式组教师版.docx

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学而思初一数学暑假班第9讲不等式和不等式组教师版

9

不等式和不等式组

模块一不等式的定义和性质

定义示例剖析

不等式的概念：

用不等号连接的式子叫不-5 < -2 ， a + 3 > -1 + 4 ， x + 1≤ 0 ，

等式．不等号包括：

 > ”、 < ”、 ≥ ”、 ≤ ”、x ≥ 0 ， 3a ≠ 5a ， 3≥ 3 等

“ ≠ ”．

基本性质 1：

不等式两边都加上（或减去）

同一个数（或式子），不等号方向不变．

若 a > b ，则 a ± c > b ± c

若 a < b ，则 a ± c < b ± c

基本性质 2：

不等式两边都乘以（或除以）

同一个正数，不等号的方向不变．

基本性质 3：

不等式两边都乘以（或除以）

同一个负数，不等号的方向改变．

若 a > b ，且 c > 0 ，则ac > bc 或

若 a < b ，且 c > 0 ，则ac < bc 或

若 a > b ，且 c < 0 ，则ac < bc 或

若 a < b ，且 c < 0 ，则ac > bc 或

a

c

a

c

a

c

a

c

>

<

<

>

b

c

b

c

b

c

b

c

不等式具有互逆性

不等式具有传递性

若 a > b ，则 b < a ；

若 b < a ，则 a > b ．

若 a > b ， b > c ，则 a > c ．

注意：

⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．

⑵ 在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.

以不等式 3 > 2 为例，在不等式 3 > 2 两边都乘同一个数 a 时，有下面三种情

形：

① 如果 a > 0 ，那么 3a > 2a ；

② 如果 a = 0 时，那么 3a = 2a ；

③ 如果 a < 0 时，那么 3a < 2a ．

不等式的性质与等式性质的对比：

等式的性质

两边都加上（或减去）同一个数或同一个式

不等式的性质

两边都加上（或减去）同一个数或同一

第 9 讲·尖端预备班·教师版

1

子，所得结果仍是等式.个式子，不等号的方向不变.

两边都乘以（或除以）同一个正数，不

两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能 等号的方向不变.

是０），所得结果，仍是等式．两边都乘以（或除以）同一个负数，不

等号的方向改变.

根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不

在不等式两边都乘以０，不等式变为等

能除以０.

式.

夯实基础

【例1】 ⑴ 用不等式表示数量的不等关系．

① a 是正数② a 是非负数

③ a 不比 0 大④ x 与 y 的差是负数

⑤ a 的相反数不大于 1⑥ q 的相反数与 q 的一半的差不是正数

⑵ 例：

如果 a > b ，则 2a > a + b ，

是根据 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；

① 如果 a > b ，

则 3a > 3b ，是根据；

② 如果 a > b ，

则 -a < -b ，是根据；

③ 如果 a > 1 ，

则 a2 > a ，是根据；

④ 如果 a < -1 ，

则 a2 > -a ，是根据．

【解析】⑴ ① a > 0 ；② a ≥ 0 ；③ a ≤ 0 ；④ x - y < 0 ；⑤ -a ≤1 ； ⑥ -q - 1 q ≤ 0 ；

2

⑵ ① 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

② 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；

③ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

④ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．

能力提升

【例2】 ⑴ 设 a ， b ， c 都是实数，且满足：

用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去

除不等式的两边，不等号方向改变；用 c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．

2

第 9 讲·尖端预备班·教师版

则 a 、 b 、 c 的大小关系是（）

A． a > b > cB． a > c > bC． b > c > aD． c > a > b

⑵ 如果 a > b ，则下列各式不成立的是（）

A. a + 4 > b + 4B. 2 + 3a > 2 + 3bC. a - 6 > b - 6D.

4 - 3a > 4 - 3b

（北京五中期中）

⑶ 若 a > b ，则下列不等式成立的是（）

A． b - a < 0B． ac < bcC． a > 1D． -b < -a

b

（北京师范大学附属实验中学期中）

【解析】⑴ 根据题意可得 a > 0 、 b < 0 、 c = 0 ，所以选择 B；

⑵D；

D

⑶A. 其中 B 选项中 c 的值不确定，当 c > 0 时，ac > bc ；当 c < 0 时，ac < bc ；当 c = 0

时，ac = bc . C 选项中当 b > 0 时成立，当 b ≤ 0 时不成立； 选项中应为 -b > -a .

【巩固】根据 a > b ，则下面哪个不等式不一定成立（）

A． a + c2 > b + c2B． a - c2 > b - c2C． ac2 > bc2D．

【解析】C，正确应为 ac2 ≥ bc2 ．

a     b

>

c2 + 1  c2 + 1

模块二一元一次不等式

定义

一元一次不等式：

类似于一元一次方程，

含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，

叫作一元一次不等式.

示例剖析

3

7

一元一次不等式标准形式：

经过去分母、

去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为

5

3

x > 6 ， 3x ≤ 7 等都是一元一次不等

ax < b 或 ax > b 的形式（其中 a ≠ 0 ）.

不等式的解：

使不等式成立的每一个未知

数的值叫作不等式的解．

不等式的解集：

能使不等式成立的所有未

知数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式

的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值

式的标准形式

-4 ，-2 ，0 ，1 ，2 都是不等式 x ≤ 2

的解，当然它的解还有许多．

x ≥ 3 是 2x - 6 ≥ 0 的解集；

x < 2 是 - x > -2 的解集

都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来

表示．

解一元一次不等式的步骤：

去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 ax < b 或 ax > b

bb

aa

第 9 讲·尖端预备班·教师版

3

不等式的解与不等式解集的区别与联系：

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的

未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式

的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集（示意图）：

不等式的解集

x > a

在数轴上表示的示意图

a

不等式的解集

x < a

在数轴上表示的示意图

a

x ≥ a

a                     x ≤ a

a

夯实基础

【例3】 ⑴ 下列说法中，正确的是（）

A． x = 2 是不等式 3x > -1 的解B． x = 2 是不等式 3x > -1 的唯一解

C． x = 2 不是不等式 3x > -1 的解D． x = 2 是不等式 3x > -1 的解集

⑵ 利用数轴表示下面未知数的取值范围：

① x > -2② x ≤1.5③ -1 < x < 2

⑶ 求不等式 -3 < x ≤ 2 的所有整数解的和．

⑷ 如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体 A 的质量 m （g ） 的取值范围，

在数轴上可表示为（）

（北京二中期中）

【解析】⑴A；

⑵ 需要注意地方：

大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空

心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．

-3-2-1

（1）

0  1                                   -2  -1  0

（2）

1 1.5 2

4

-2 -1 0 1 2 3 4

（3）

⑶ 不等式 -3 < x ≤ 2 的所有整数解为 -2 、 -1 、 0 、 1 、 2 ，故所有整数解的和为 0 ；

第 9 讲·尖端预备班·教师版

⑷ A.

能力提升

【例4】 ⑴ 不等式 3x + 2 ≥ 5 的解集是__________．

（北京中考）

⑵ 解不等式 5x - 12 ≤ 2（4 x - 3） ，并把它的解集在数轴上表示出来．

-3-2-10123

（北京中考）

⑶ 解不等式 2x - 15x - 4

【解析】⑴ x ≥1 ；

⑵ 解：

去括号，得 5x - 12 ≤ 8x - 6 ．

移项，得 5x - 8x ≤ -6 + 12 ．

合并，得 -3x ≤ 6 ．

系数化为 1，得 x ≥ -2 ．

不等式的解集在数轴上表示如下：

-3 -2 -1 0 12 3

⑶ x ≥ -4 ；

【例5】 ⑴ 不等式 3x - 5 < 3 + x 的正整数解是．

⑵ 解不等式 x - 3x - 2

2（1+ x）

（人大附中期中）

（北京五中期中）

【解析】⑴ 1，2，3；

⑵ x ≤ 2 ，正整数解 1，2.

【巩固】求不等式 3x - 2 - 9 - 2x ≤ x - 1 的非负整数解．

342

【解析】解不等式得 x ≤ 29 ，所以其非负整数解为 0，1，2．

12

【例6】 ⑴ 当 x 为何值时，代数式 -2x - 3 的值总不大于 x - 15 的值．

⑵ 当 x 取何值时，代数式 5（x - 1） - 2（ x - 2） 的值大于 x + 2 的相反数．

【解析】⑴ 根据题意，列不等式得：

 -2x - 3 ≤ x - 15 ，解得：

 x ≥ 4 ；

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5

⑵ 由题意可列不等式为：

 5（x - 1） - 2（ x - 2） > -（ x + 2） ，解得 x > -

【点评】本题要求自己根据题意列出不等式，进而求解

1

4

【拓展】 m 为何正整数时，关于 x 的方程 x -

2x - m  2 - x

=

3     2

的解是非负数？

【解析】解方程得 x = 6 - 2m ，根据题意：

得 x ≥ 0 ，∴ 6 - 2m ≥ 0 ，解得 m ≤ 3 ．满足题意的

55

正整数 m 的值是 1，2，3．

模块三一元一次不等式组

定义

示例剖析

⎧

一元一次不等式组：

含有相同未知数的几个一

元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不

等式组．

⎧ 1

⎨ 2

⎪⎩ x + 8 < 4x - 1

⎪2 x - 6 ≥ 0

⎪

⎪1

⎪ x - 5 > 0

⎩ 3

都是一元一次不等式组；

⎧ x > 2

⎨

⎩

不是一元一次不等式组

一元一次不等式组的解集：

几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不

等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）

解一元一次不等式组的步骤：

⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；

⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．

由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：

 表中 a > b ）

不等式

⎧ x > a

⎨

图示

b   a

解集

x > a

（同大取大）

⎧ x < a

⎨

a

x 

⎧ x < a

⎨

⎧ x > a

⎨

6第 9 讲·尖端预备班·教师版

b     a

b   a

b < x < a

（大小交叉中间找）

无解

（大大小小无解了）

夯实基础

⎧2x > -1

【例7】 ⑴ 不等式组 ⎨

）.

A. x > - 1

1

1

2

【解析】⑴ D；

⑵ C．

⎧ x + 8 < 4x - 1

⎪

2 x

0  1  2  3  4  5        0  1  2  3  4  5

A                    B

0  1  2  3  4  5        0  1  2  3  4  5

C                     D

）

（北京五中期中）

能力提升

⎧2x < 6

⎪

⎪3< x + 1

⎧ 5x - 2 > 3（x + 1）

⎪

3

2 x

（人大附中期中）

【解析】⑴ -2 < x < 3 ；

⑵5

第 9 讲·尖端预备班·教师版

7

探索创新

【例9】 已知 （ x + 1 + x - 2 ）（ y - 2 + y + 1 ）（ z - 3 + z + 1 ） = 36 ，

求 x + 2 y + 3z 的最大值和最小值．

【解析】根据绝对值的几何意义的相关结论，可知：

x + 1 + x - 2 的最小值为 3（当 -1 ≤ x ≤ 2 时取得最小值）；

y - 2 + y + 1 的最小值为 3（当 -1 ≤ y ≤ 2 时取得最小值）；

z - 3 + z + 1 的最小值为 4（当 -1 ≤ z ≤ 3 时取得最小值）；

所以 （ x + 1 + x - 2 ）（ y - 2 + y + 1 ）（ z - 3 + z + 1 ）≥ 3 ⨯ 3 ⨯ 4 = 36 ；

而根据题意， （ x + 1 + x - 2 ）（ y - 2 + y + 1 ）（ z - 3 + z + 1 ） = 36 ，

所以 x + 1 + x - 2 、 y - 2 + y + 1 及 z - 3 + z + 1 均取最小值，

⎧-1 ≤ x ≤ 2

⎪

⎩

于是 x + 2 y + 3z ≤ 2 + 2 ⨯ 2 + 3 ⨯ 3 = 15 ， x + 2 y + 3z ≥ -1 + 2 ⨯ （-1） + 3 ⨯ （-1） = -6 ，

因此 x + 2 y + 3z 的最大值为 15，最小值为 -6 ．

75 + 2 x

-≥ x -

233

，并且 x - 3 - x + 2 的最大值为 p ，最小值为 q ，

求 pq 之值．

【解析】解不等式 3x - 1 - 7 ≥ x - 5 + 2 x ，得 x ≥ 1 ；

233

根据绝对值的相关知识，可知当 x ≥ 1 时， x - 3 - x + 2 最大值为 -1 （当 x = 1 时取得），

最小值为 -5 （当 x ≥ 3 时取得），

所以 p = -1， q = -5 ， pq = （-1）⨯ （-5） = 5

8第 9 讲·尖端预备班·教师版

实战演练

知识模块一不等式的定义和性质课后演练

【演练1】 ⑴ 利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

① 若 a < b ，则 2a _______ 2b ；② 若 a > b ，则 -4a ______ -4b ；

③ 若 a > b ， c > 0 ，则 ac ______ bc ；

④ 若 x < 0 ， y > 0 ， z < 0 ，则 （ x - y） z _______ 0 ．

⑵ 如果 b < a < 0 ，则下列哪个不等式是正确的（）

A． b2 < abB． a2 > abC． 2b > 2aD． -2b > -2a

⑶ 用不等式表示：

① y 的 1

1

2

）

C． 1

1

2 y < 0

（北京师范大学附属实验中学期中）

② x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ．

【解析】⑴① < ；② < ；③ > ；④ > ；

⑵D；⑶① C；② 30%（x + 5） ≤ -2 ．

知识模块二一元一次不等式课后演练

【演练2】 ⑴ 不等式 x - 3 < 0 的解集是．

⑵ 使不等式 x - 5 > 4x - 1 成立的值中最大的整数是（）

A．0B． -2C． -1D．2

（北京五中期中）

⑶ 不等式 5x - 2 ≤ 8 的所有正整数解的和是_______.

【解析】⑴ x < 3 ；

⑵ B；

⑶ 3；

【演练3】 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

⑴ 3 - 7 x < 12 - 5（x - 1）⑵ 0.5x + 2（1- 0.3x） > 0.4x - 0.6

第 9 讲·尖端预备班·教师版

9

【解析】⑴ x > -7 ，图略；

26

5

知识模块三一元一次不等式组 课后演练

⎧ x - 3 < 0

⎩

⎧2 - x > 0

⎪

+ 1≥

3

【解析】⑴ -1≤ x < 3 ；

⑵ -1≤ x < 2 ，图略．

【演练5】 解下列不等式组：

⎧3x - 2 ≤ x + 6 ，

⎪

> x.

（北京市西城区期末）

⎧2x - 7 < 5 - 2x

⎪

x + 1 >

【解析】⑴ -1 < x ≤ 4 ；

⑵ 不等式组的解集为：

1 < x < 3 ，整数解为 2 .

【演练6】 已知 x + 2 + 1 - x = 9 - y - 5 - 1 + y ，求 x + y 的最大值与最小值．

【解析】等式可化为：

 （ x + 2 + x - 1 ）+ （ y - 5 + y + 1 ） = 9 ；

由绝对的几何意义知：

当 -2 ≤ x ≤ 1且 -1 ≤ y ≤ 5 时，上式成立，

所以当 x = 1 ， y = 5 时， x + y 取最大值 6；

当 x = -2 ， y = -1 时， x + y 取最小值 -3 ．

10第 9 讲·尖端预备班·教师版