初中数学动点问题.docx

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初中数学动点问题

运动型问题

【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.

运动型试题主要类型:

（1）点的运动（单点运动、双点运动）;

（2）线的运动（线段或直线的运动）;（3）形的运动（三角形运动、四边形运动、圆的运动等）.

【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.

解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.

线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.

解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.

类型一　点动

典例1　（2015·江西）如图

（1）,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.

（1）求△OPC的最大面积;

（2）求∠OCP的最大度数;

（3）如图

（2）,延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:

CP是☉O的切线.

（1）

（2）

举一反三

1.（2015·黑龙江牡丹江）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.

（1）求线段CD的长.

（2）设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?

若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

（3）当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?

（第1题）

类型二　线的运动

典例2　（2015·广东）如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒（t>0）.

备用图

（1）当t=2时,连接DE,DF,求证:

四边形AEDF为菱形.

（2）在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.

（3）是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?

若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.

举一反三

2.（2015·湖南衡阳）如图,直线AB与x轴相交于点A（-4,0）,与y轴相交于点B（0,3）,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线

以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t（0

（1）证明:

在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;

（2）当t取何值时,四边形ACDP为菱形?

请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.

（第2题）

类型三　面的运动

典例3　（2015·甘肃天水）如图

（1）,在平面直角坐标系中,点A（0,-6）,点B（6,0）.Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4

直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:

（1）如图

（2）,当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.

（2）如图（3）,在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.

（3）在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.

（1）

（2）

（3）

举一反三

3.（2015·福建三明）如图

（1）,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.

（1）证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;

（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N（如图

（2））,当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?

（1）

（2）

备用图

【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形（如线段、三角形等）不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.

对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.

好题精练

类型一　

1.（2015·贵州贵阳）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以

cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒（0

（第1题）

类型二　

3.（2015·湖南怀化）如图

（1）,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图

（2）,求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;

（3）现有一动点P在

（2）中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?

若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

（1）

（2）

4.（2015·江苏连云港）在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为（20

-20）cm.

（1）求AB的长.

（2）从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置?

若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置?

并说明理由.

（第4题）

类型三　

5.（2015·湖南益阳）如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为（-3,0）,将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为（　　）.　

（第5题）

A.1B.1或5

C.3D.5

6.（2015·黑龙江黑河）在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上（不与点A重合）,如图

（1）,DE与AC交于点P,易证:

BD=DP.（无需写证明过程）

（1）在图

（2）中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?

如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.

（2）在图（3）中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?

请直接写出你的结论,无需证明.

（1）

（2）

（3）

（第6题）

补充：

如图所示，菱形ABCD边长6厘米，角B=60°。

从初始开始，点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度A到C到B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动，当点Q运动到D点时，P,Q同时停止运动，设P,Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定，点和线段是面积为0的三角形）解答下列问题：

（1）点P,Q从出发到相遇所用的时间是秒

（2）点P,Q从开始运动到停止的过程，当△APQ是等边三角形时x的值是秒

（3）求y与x之间的函数关系式