精品全等三角形全章教案.docx

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精品全等三角形全章教案

课题

11.1全等三角形

学习目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

学习重

难点

学习重点：

全等三角形的性质．

学习难点：

找全等三角形的对应边、对应角．

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的．

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

与都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

全等三角形的定义：

能够的两个三角形形叫做全等三角形．叫对应顶点、叫对应角、叫对应边．

三角形ABC用符号表示.△ABC与△DEF全等，记作，读作．

Ⅱ．导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC绕点A旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

全等三角形的性质：

①全等三角形的对应边，

②全等三角形的对应角．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

分析：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，

思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

解：

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，

∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，

所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是

对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹角是对应角．

解：

[例3]已知如图，△ABC≌△ADE，试找出

对应边、对应角．

Ⅲ．课堂练习：

课本P4习题11.1：

3（见上页）

Ⅳ．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课的重点内容．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻折法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.

（三）分离图形法：

把复杂图形分离成简单的图形来考察。

Ⅴ．作业

课本P5习题11.1：

4（见右栏）

课本P4习题11.1：

3．如图，△EFG≌△NMH,EF=2.1,EH=1.1,HN=3.3

1指出对应边、角

求MN和HG的长

课本P5习题11.1：

4,△ABC≌△DEC,∠ACD和∠BCE相等吗？

为什么？

我学到了什么

学后反思

课题

11．2．1三角形全等的条件

（一）

学习目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法．

学习重

难点

学习重点：

：

三角形全等的条件．

学习难点：

寻求三角形全等的条件．

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

Ⅰ．创设情境，引入新课

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

，相等的角是。

提出问题：

你能画出两个全等的三角形吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

Ⅱ．导入新课

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果并作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．这节课我们先来探索三条边的情况．

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1．作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

三边的两个三角形全等，简写为“”或“”．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

分析：

要证△ABD≌△ACD，可以看这

两个三角形的三条边是否对应相等．

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

Ⅲ．随堂练习

1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

请写出证明过程。

2.思考：

如何利用边边边公理作一个角的平分线？

Ⅳ．课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一种方法：

．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

Ⅴ．作业

1．教材P15--16习题11．9的变式（见右栏）．

Ⅵ．活动与探索

如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用最少的钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？

哪种好看？

如图AB=DF，AC=DE,BE=CF.

求证：

∠A=∠D

我学到了什么

学后反思

课题

11．2．1三角形全等的条件

（二）

学习目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

学习重

难点

学习重点：

三角形全等的条件．

学习难点：

寻求三角形全等的条件．

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形有哪些性质？

3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定

（二）

全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转180°，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．从以上实验可得到一般结论：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称或）

三、例题与练习

1．填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是__________；还需要一个条件_________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

和，还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

2、例1已知：

AD∥BC，AD＝CB，AE=CF.（图3）．

求证：

△ADC≌△CBA．

分析：

如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移

到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（）？

怎样证明呢？

四、小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、作业：

1．已知：

如图，AB＝AC，F、E分别是

AB、AC的中点．求证：

△ABE≌△ACF．

2．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：

△ABE≌△CDF．

练习3：

如图，线段AB与CD的中点重合于O点，那么AB与CD平行吗？

为什么？

思考题：

有两边及其中一边的对角对应相等的两个△一定全等吗？

我学到了什么

学后反思

课题

13．2．3三角形全等的条件（三）

学习目标

1．三角形全等的条件：

角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

学习重

难点

学习重点：

已知两角一边的三角形全等探究．

学习难点：

灵活运用三角形全等条件证明

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

Ⅱ．导入新课

问题1：

三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

问题2：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

问题3：

我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，

使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′

即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

结论：

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（或）．

思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：

结论：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成

或）．

[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

证明：

在△ADC和△AEB中

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P13练习1：

为测池塘两岸的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上作BC=CD，再过D作DE⊥BF，使E与A、C在一

条直线上。

测得DE的长就是AB的长，这是为什么？

（二）补充练习：

图中的两个三角形全等吗？

请说明理由．

Ⅳ．课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

Ⅴ．作业（见右栏）

如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证:

AC=AD

2.如图，DE=FE,FC∥AB,求证：

AE=CE

我学到了什么

学后反思

课题

13．2．3直角三角形全等的判定

学习目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

学习重

难点

学习重点：

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点：

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

Ⅰ．提出问题，复习旧知

1、判定两个三角形全等的法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角是、，斜边边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC△DEF，根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC△DEF,根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC△DEF，根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC△DEF，

根据（用简写法）

Ⅱ．导入新课

（一）探索练习：

（动手操作）：

已知线段a，c（a

利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠

，AB=c，CB=aac

1、

按步骤作图：

2、作∠MCN=∠

=90°，

1

在射线CM上截取线段CB=a，

③以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，

④连结AB

2、与同桌重叠比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（即）

（二）巩固练习：

1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB△ADC，根据

2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，

根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，

根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，

根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，

根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由：

5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？

说说你的理由。

（三）提高练习：

1、判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

2、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在

添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。

（1）（）A

（2）（）C

（3）（）

（4）（）DB

（四）课时小结

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS）

4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS）

６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

作业：

1、如图AB=CD,AE⊥BC，DF⊥BC,CE=BF.求证：

AE=DF

3、如图，在中，点是的中点，在上，找出图中的

全等三角形，并分别说明理由

我学到了什么

学后反思

课题

13．3角的平分线的性质

（一）

学习目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．

2．会用尺规作一个已知角的平分线．

学习重

难点

学习重点：

利用尺规作已知角的平分线．

学习难点：

角的平分线的作图方法的提炼．

学习过程（主要环节）

学习程序

个性展示

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：

三角形中有哪些重要线段？

问题2：

你能作出这些线段吗？

Ⅱ．导入新课

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：

∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明

∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

思考：

这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

议一议：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿

AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够？

AB=AD,DC=BC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于MN的一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC.

所以，射线OC即为所求．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1/2MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

总结：

1．去掉“大于1/2MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

探索活动

按以下步骤折纸

1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。

把角A对折，使得这个角的两边重合。

2、在折痕（即平分线）上任意找一点C，

3、过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。

4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已