弦振动分析王文璞.docx
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弦振动分析王文璞
辽宁工程技术大学力学与工程学院
振动力学综合训练（三）
题目
乐器弦振动问题分析
班级
工力12级2班
姓名
李大为刘怡李凤飞王文璞王先明
指导教师
张智慧
成绩
辽宁工程技术大学
力学与工程学院制
参考文献........................................................................................12
第一章综合训练要求
进行以下规定内容的建模、计算与分析工作,具体思考如下问题:
1.为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调（声音的频率）不同？
2.在演奏时依靠什么来改变弦的音调？
3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？
教学过程：
教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中讨论、答辩、教师总结。
成果形式：
撰写计算分析报告并进行分组汇报。
吉他弦图片
第二章模型的建立与振动方程的求解
1.横波运动分析
由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。
设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。
当波沿工轴方向前进时，弦上各质点沿y轴上下振动，其位移可表示为
①
图1横波及其质点的运动示意图
其中A为振动的振幅,k为波矢量，ω为圆频率,ф为初位相。
弦上各质点振动的速度为
②
②式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。
图1标出了部分质点振动的速度,其中A、C、E处质点振动的速度最大（ωA）,而B、D处质点振动速度最小（0）.显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。
为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力Tl,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得
③
图2波峰附近绳子的受力分析
③式中产为弦的线密度（即单位长度弦的质量）,这段弦的加速度a,可由下式得到
④
由于波矢量
波速
所以
故这段弦在波峰D处对应的加速度为
⑤
进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为
⑥
现从受力角度讨论弦的回复力.因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故
⑦
由于
角度
应非常小.按照小角近似条件应有
代换（7）得,由于
可表示弦在
处的斜率,而这段弦的振动方程为
故按斜率公式可得
⑧
由于口很小,按照小角近似理论,
，于是⑧式
变为
，代入回复力的表达式即得
⑨
现比较⑥、⑨两式可得
于是弦上传播的横波的波速表达式为
⑩
2.弦模型中的驻波
以上讨论了正弦波的振动与传播规律.对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会形成驻波。
驻波振动的位移,由两个振幅相等、圆频率相同的反向传播正弦波叠加,则
⑪考虑到驻波特点—弦的两端（即
）弦振动位移为零,因而上式必须满足
，或
，（n=1,2,3,...为波腹数）。
所以
⑫
由于频率f与波长又以及波速v满足关系式
所以有
⑬对于
其振动频率很低，叫做基频或基音,此时对应
当
时，频率表达式形如式,对应频率较高,叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐音。
上述结果表明,对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦,两端固定时其自由振动频率不止一个,而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关,所以该频率也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波,图3表示弦的三个驻波模式。
图3一维横驻波中的基频与泛频
第三章影响弦振动物理量分析
3.1.弦的长度对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦的张力T0=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度
，分别取弦的直径为:
d=0.30inch，弦的长度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，针对不同长度的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
formatlong
L=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0];%L表示弦长，单位m
To=input（'To='）;%To表示弦张力，单位N
p=input（'p='）;%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
d1=input（'d1='）;%d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
fori=1:
6
w1（i）=3.14/（L（i））*sqrt（To/（p*3.14/4*d*d））;
w2（i）=2*3.14/（L（i））*sqrt（To/（p*3.14/4*d*d））;
w3（i）=3*3.14/（L（i））*sqrt（To/（p*3.14/4*d*d））;
end
plot（L,w1,'o-'）
gridon
xlabel（'L弦的长度/m'）,ylabel（'第一阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦长度时的第一阶固有频率'）
plot（L,w2,'o-'）
gridon
xlabel（'L弦的长度/m'）,ylabel（'第二阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦长度时的第二阶固有频率'）
plot（L,w3,'o-'）
gridon
xlabel（'L弦的长度/m'）,ylabel（'第三阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦长度时的第三阶固有频率'）
输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示：
图3-1弦不同长度时共振频率
3.2.弦的张力对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦为钢丝这一材料，故密度
，分别取弦的直径为:
d=0.30inch，弦的长度L=0.6m，弦的张力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，针对不同张力的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
formatlong
L=input（'L='）;%L表示弦长，单位m
d1=input（'d1='）;%d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
To=[10,20,30,40,50,60];%To表示弦张力，单位N
p=input（'p='）;%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
fori=1:
6
w1（i）=3.14/（L）*sqrt（To（i）/（p*3.14/4*d*d））;
w2（i）=2*3.14/（L）*sqrt（To（i）/（p*3.14/4*d*d））;
w3（i）=3*3.14/（L）*sqrt（To（i）/（p*3.14/4*d*d））;
end
plot（To,w1,'o-'）
gridon
xlabel（'To弦的张力/N'）,ylabel（'第一阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦张力时的第一阶固有频率'）
plot（To,w2,'o-'）
gridon
xlabel（'To弦的张力/N'）,ylabel（'第二阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦张力时的第二阶固有频率'）
plot（To,w3,'o-'）
gridon
xlabel（'To弦的张力/N'）,ylabel（'第三阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦张力时的第三阶固有频率'）
输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示：
图3-2弦不同张力时共振频率
3.3弦的粗细对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦长L=0.6m，弦的张力F=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度
，分别取弦的直径为:
d=0.10inch、0.14inch、0.22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch，针对不同粗细的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
formatlong
L=input（'L='）;%L表示弦长，单位m
To=input（'To='）;%To表示弦张力，单位N
p=input（'p='）;%p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
d1=[0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47];%d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
fori=1:
6
w1（i）=3.14/（L）*sqrt（To/（p*3.14/4*d（i）*d（i）））;
w2（i）=2*3.14/（L）*sqrt（To/（p*3.14/4*d（i）*d（i）））;
w3（i）=3*3.14/（L）*sqrt（To/（p*3.14/4*d（i）*d（i）））;
end
plot（d1,w1,'o-'）
gridon
xlabel（'d1弦的直径/（inch）'）,ylabel（'第一阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦直径时的第一阶固有频率'）
plot（d1,w2,'o-'）
gridon
xlabel（'d1弦的直径/（inch）'）,ylabel（'第二阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦直径时的第二阶固有频率'）
plot（d1,w3,'o-'）
gridon
xlabel（'d1弦的直径/（inch）'）,ylabel（'第三阶固有频率/（rad/s）'）
title（'不同弦直径时的第三阶固有频率'）
输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示：
图3-3弦不同粗细时共振频率
第四章结论与分析
通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析,可得到如下结论:
1.弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。
2.增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度,并不改变波动的传播速度。
也就是说,弦振动振幅的改变,改变不了乐曲的音调。
3.决定弦振动频率的物理参量为L、To、μ,因而弦乐曲的音调就由这三个参量决定。
亦即弦长越短（L小）,弦绷得越紧（To大）,弦的线密度越小（μ小）,音调也就越高（f高）。
4.在其他条件（如弦长,松紧程度）相同的情况下,使用不同性质、不同粗细的琴弦材料（即产不同）,乐器音调也有差别。
实际中的弦乐器,这些物理参数都能根据需要改变,特别是弦的紧张程度最容易改变。
理论分析与实验证明:
弦乐器的音调与弦的长短、粗细、松紧程度以及弦材料的结构性质有关。
在相同条件下,弦长越短、弦越紧（弦张力越大）、弦越细,则弦乐器的音调越高。
参考文献
<1>《振动力学》刘廷柱,陈文良,陈立群,高等教育出版社.
<2>《弦乐器的弦振动分析》,周兴旺,机械工业出版社.
<3>《振动机械的理论与动态设计法》,闻邦椿,刘淑英等,机械工业出版社.
<4>《Matlab软件程序设计与应用》,刘卫国,高等教育出版社.
<5>《非线性振动力学》,陈予恕,天津科技出版社.
<6>清华大学工程力学系机械振动北京:
机械工业出版社,1980.
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