勾股定理教案设计.docx

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勾股定理教案设计

中学数学科教学

教案设计

勾股定理

设计者：

职称：

壹、前言

贰、课程设计理念

参、分析阶段

一、教学目的

二、分析学习者起点行为及特性

三、内容概念图

肆、设计阶段

一、教学目标

二、分析教学资源

伍、发展阶段

一、引发学习动机

二、安排学习顺序

三、教学方法

四、制作教材

主题名称：

勾股定理

-----------------------------------------

1、前言

时代的变迁，信息融入教学是必然的趋势。

试图以此方式呈现多元化教材，使学生可透过计算机、多媒体等信息产品获得更佳的学习效果。

传统授课方式无法让每个学生依据个别的学习状况来学习，网络及多媒体提供了多元的学习方式，可增加学生学习兴趣。

将利用信息科技呈现教材，且让学生透过计算机，充分掌握学习资源，使学习更具弹性、有趣、无死角。

2、课程设计理念

1.根据Piaget的认知发展理论提供设计学习环的探究式教学法的基础，

希望学生能经历现象探索概念引介概念运用三个阶段，进行科学学

习。

学习环教学策略以活动来带领学生，藉由活动提供学生一些对于现

象的直接经验，并促使学生观察、测量、解释、预测，发展并形成概念，

并能推于其他情境。

2.透过现象探索让学生了解商高定理内涵，引介商高定理数学史使学生体

会数学本质，设计活动促进学生活用概念，最后能应用与生活情境结合。

3.以简报的方式呈现商高定理教材内容，运用简报的动画设定，使得教学

内容更为生动活泼，并可将省下的时间，放更多在学生身上，以提高学

习效果。

要求学生上网搜集资料，并分组报告，以期能将信息教育融入

教学中。

参、分析阶段

一、教学目的

1.能透过具体观察及探索，察觉简易数量模式，并能描述模式的一些

特性。

2.能认识商高定理及其生活中的应用。

3.能认识、欣赏生活中或其他学科领域常用的公式。

二、分析学习者起点行为及特性

先备知识：

1.简单几何图形面积的计算。

2.以文字符号表示面积。

3.式子的运算。

4.近似值与方根。

5.由面积计算出乘法公式。

6.熟练多项式及四则运算。

1-1介绍直角三角形的基本性质

三、内容概念图

1.认识勾股定理的由来及基本性质。

1-2介绍勾股定理相关数学家故事

勾

股

定

理

2-1利用动画说明勾股定理的证明过程

2.了解勾股定理的证明方式

2-2让学生亲自动手做，进而了解勾股定理

3.能应用勾股定理做基本运算

3-1能运用勾股定理计算基本题型

4.能更进一步运用勾股定理求两点距离

4-1能运用勾股定理进而了解平面座机两点间的距离运算

肆、设计阶段

一、教学目标

1.由拼图及面积的计算认识勾股定理。

2.已知直角三角形的两边长，能应用勾股定理计算第三边长。

3.应用勾股定理解决日常生活中的问题。

4.能在数在线标出平方根的点。

5.能运用勾股定理求直角坐标平面上两点的距离。

二、分析教学资源

1.利用5节数学课时间。

共有四大单元。

第1单元

1节（每节45分）

第2单元

2节（每节45分）

第3单元

1节（每节45分）

第4单元

1节（每节45分）

2.设备：

计算机、荧幕、单枪投影机。

伍、发展阶段

一、引发学习动机

上课前请学生在课前先上网找商高定理和毕达哥拉斯资料。

二、安排学习顺序

1.透过学生心得分享能了解商高定理和毕达哥拉斯。

教师观察学生分

享的踊跃情况，适时的鼓励学生发表心得及想法。

（8-a-07能理解

勾股定理（商高定理）。

）

2.由生活上的例子找出商高定理的应用:

如:

滑梯的长度。

（C-T-1能

把情境中与问题相关的数量形析出。

C-T-2能把情境中数量形之关

系以数学语言表出。

）

3.透过讲述能了解中国人在古数学上的成就。

（C-R-4能了解数学与

人类文化活动相关。

）

4.发学习单I，并放映多媒体教材。

由动画证明分别解说

（一）毕氏证

法

（二）清朝梅文鼎证法（三）画家达文西证法。

学生听讲解并参照学

习单的步骤进而了解勾股定理。

（8-a-07能理解勾股定理（商高定

理）。

C-S-5了解一数学问题可有不同的解法，并尝试不同的解法。

）

5.让学生利用厚纸版自制商高定理拼图版,自行操作以求明了。

并欣

赏不同的做法,且比较其中的异同。

（8-a-08能由简单面积计算导

出勾股定理。

C-S-5了解一数学问题可有不同的解法，并尝试不同

的解法。

）

（I）手脑并用拼图I

学生实作→将两个小正方形沿线切割后重新拼图组成大正方

形。

（活动讨论时配合信息融入教学，教师利用动画示范，使

学生能了解勾股定理的原理。

）

（II）手脑并用拼图II

学生实作→此图是由一个直角三角形与三个正方形所组成，

请将上面两个小正方形设计切割后，拼成大正方形。

（教师视

状况给予学生提示，藉由不同的证明方式，使学生能了解勾

股定理并能了解其原理。

）

（III）手脑并用拼图III

学生实作→将图的直角三角形移动，让空白的部分变为一

个正方形。

（使学生了解一数学问题可有不同的解法，并尝

试不同的解法）

6.由动画证明分别解说（四）欧几里得证法（五）拼图证法。

（C-S-5了

解一数学问题可有不同的解法，并尝试不同的解法。

）

7.放投影片,讲解:

已知直角三角形的两边长,求第三边长。

（8-a-09

能理解勾股定理的应用。

）

8.发学习单

（2）让学生练习。

使学生能练习勾股定理并能精熟此定

理。

9.放投影片,应用商高定理导出直角坐标平面上的两点距离公式。

10.练习课本随堂练习及自我评量。

11.反馈与评量：

（I）重点整理。

（II）发给每位同学作业单，于下次上课交。

（III）完成评量表。

三、教学方法

多媒体教学、实作、分组讨论、简报、讲述

四、制作教材

数学史：

1.毕达哥拉斯

2.商高定理

学习单：

1.勾股定理I

2.勾股定理II

数学证明欣赏I、II

学习单：

勾股定理I

年班号姓名：

1.下图的大正方形是由两股分别为a、b，斜边为c的四个直角三角形和一个小正方形拼成的

（1）利用大正方形的边长c来计算它的面积，则大正方形面积为

（2）小正方形的边长为其面积为（均以a、b表示）。

（3）每个直角三角形的面积为所以四个直角三角形的面积和=

（均以a、b表示）。

（4）请由四个直角三角形的面积和+小正方形的面积=大正方形的面积，化简出a、b、c的关系。

2.下图是一个梯形，它由两股分别为a、b，斜边为c的两个直角三角形甲、乙，与一个两股皆为c的直角三角形丙所拼成的

（1）利用梯形面积为（上底+下底）高2，算出此梯形的面积为（以a、b表示）。

（2）甲的面积=

乙的面积=

丙的面积=

（利用a、b、c表示）。

（3）请由梯形面积=甲的面积+乙的面积+丙的面积，化简推出a、b、c的关系。

学习单：

勾股定理II

年班号姓名：

1.商高定理：

任意一个直角三角形，其两股的平方和等于斜边的平方

在下列图形中，列出a、b、c；x、y、z之间的关系式

2.已知下列各直角三角形的两股，求斜边的长度

3.已知下列各直角三角形的一股和斜边，求另一股的长度

4.已知直角三角形的两个边的长度，求另一边的长度

（1）两股为8、9，则斜边为

（2）两股为2、

，则斜边为

（3）一股为3、斜边为8。

则另一股为

（4）一股为5、斜边为9。

则另一股为

5.如下图，

=4，

=3，

=5，

=3；求

=，

=，

=。

数学发展史小故事

毕达歌拉斯（Pythagoras）

公元前六世纪，大约是孔子生活的时代，毕达歌拉斯生于爱琴海上的摩斯岛（Samos），他一生充满传奇和神秘，令历史学家很难分清事实和虚伪。

似乎可以肯定的一件事是毕达歌拉斯发展了数学的逻辑思想，对于数学发展史上的第一个黄金时期影响甚巨。

他认识到数是独立于有形世界而存在的，对数的研究不会因感觉差错而受影响，数不是仅用于计算和记帐而已。

    毕达歌拉斯历经20年的海外旅游，到过印度、埃及、巴比伦，他了解这些世界的数学虽然是一套复杂的系统，但都仅仅是用来解决实际生活问题的工具。

当他回到摩斯岛后，他建立一所学校叫毕达歌拉斯半圆，致力于哲学研究，他想理解数学，而非仅仅使用数学。

初期，毕达歌拉斯花钱请一位小男孩成为他的第一位学生，每听一节课就给予三银钱，几星期后，毕达歌拉斯注意到学生由勉强学习转变成对知识的热情。

他佯装不再有能力支付学生，因而停止上课，这时，学生反而宁可付钱听课。

    毕达歌拉斯因社会改革的观念不受欢迎，带着母亲和信徒逃到意大利南部的克罗敦（Croton），他得到富人米洛（Milo）的资助，后来还娶了他的女儿西若（Theno），米洛是一位为杰出运动员，力大无穷，曾12次获得奥林匹亚竞赛金牌，并醉心于数学和哲学的追求。

    毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会后不久，撰造了“哲学家（philosopher）”一词，在一次出席奥林匹亚竞赛时，弗利尤司的里昂王子问他会如何描述自己，他回道：

“我是一位哲学家。

”他解释说：

“有些人因爱好财富而被左右，令一些人因热中于权力和支配而盲从，但是最优秀的人则献身于发现生活本身的意义和目的。

他设法揭示自然的奥秘，热爱知识，这种人就是哲学家。

”

    “在一个直角三角形，斜边的平方是两股平方和。

”这个定理中国人（周朝的商高）和巴比伦人早在毕氏提出前一千年就在使用，但一般人仍将定理归属于毕达歌拉斯，是因为他证明了定理的普遍性。

而一般认为毕氏的证明应是利用了面积重组的方式。

毕氏认为寻找证明就是寻找认识，而这种认识比任何训练所累积的经验都不容置疑，数学逻辑是真理的仲裁者。

    毕氏很少公开露面，他虽然向学生教授数学和哲学，但绝不允许学生将之是外传，也因为兄弟会隐瞒数学发现，渐渐引起居民的畏惧、妄想和猜忌。

后来因学派介入了政治事件，与学校所在地科落顿行政当局发生冲突，终于诱使居民毁了这学派，80岁时毕氏在一次夜间骚乱中被杀，而避居国外的信徒，继续传播他们的数学真理。

数学发展史小故事

商高定理

勾股定理︰在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有研究，希腊著名数学家毕达哥拉斯曾对本定理有所研究，故称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他发现这个定理时，宰杀了上百头牛羊以谢神的默示。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

中国在4000多年前，中国人民就应用了这个定理。

据历史资料《史记、禹本记》记载，夏禹治水时，已经认识到洪水的特点，并掌握勾股术的原理（即勾股定理之计算方法），用来控制和决定水位的高低差，成功疏通河道。

中国古代有很多数学书留传至今，其中贡献最大的要算《周髀算经》和《九章算术》。

其中《周髀算经》记载了公元前1100年西周时，商高是当时的数学家。

在周公向商高问数中，商高曾说，在一直角三角形中，如果短的边（称“勾”）长度为三，较长的一边（称“股”）长度为四，那么斜边（称“径”或“弦”）长度必定是五。

这就是我们常说的“勾三、股四、弦五”，这就是“勾股定理”名称的来历，所以“勾股定理”也叫做“商高定理”。

即“勾2+股2=弦2”。

书中还记载了陈子（前716）答荣方问:

“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之、得邪至日”,古汉语中邪作斜解,因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容。

至三国的赵爽（约3世纪）,在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文,而被保留于该书之中）。

运用弦图,巧妙的证明了勾股定理,如图2。

他把三角形涂成红色,其面积叫“朱实”,中间正方形涂成黄色叫做“中黄实”,也叫“差实”。

他写道:

“按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实”。

若用现在的符号,分别用a、b、c记勾、股、弦之长,赵爽所述即是2ab+（b-a）2=c2

欣赏美丽的数学

欧几里得的证明

因为矩形BDKM面积=2

面积

赵爽（赵君卿）的证明

商高定理的记载，最早出现在周髀算经的赵君卿注中。

文中叙述商高（西周大夫，B.C.1100年）曾提过“勾广三、股脩四、径偶五。

”直至魏晋数学家赵君卿（A.D.300~400年左右）在注中所提到的“弦图”才正式给出商高定理的证明：

“勾股各自乘并之为弦实，开方除之即弦，案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。

”此证明简单且巧妙。

外国同样以此方法证明的，是印度数学家Bhaskara-Acharya（A.D.1114~1185），比赵君卿晚了数百年。

欣赏美丽的数学

美国总统Garfield的证明

如图：

梯形ABCD面积

此为1876年美国总统Garfield的证明

意大利文艺复兴时代达文西的证明

由边长关系可知

四边形ACPN面积=四边形AGEB面积

四边形BCPM面积=四边形DEGF面积

两式相加，各减去相同的部分

及

，可得

ABMN面积=ACFG面积+BCDE面积

即