分类讲解数算常考题型.docx

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分类讲解数算常考题型

分类讲解数算常考题型

抽屉原理：

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

这一现象就是我们所说的抽屉原理。

　　抽屉原理的一般含义为：

“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。

”

　　一．抽屉原理最常见的形式

　　原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

　　原理2把多于mn（m乘以n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

　　原理12都是第一抽屉原理的表述

　　第二抽屉原理：

　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

　　二．应用抽屉原理解题

　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。

许多有关存在性的证明都可用它来解决。

　　例１：

400人中至少有两个人的生日相同.

　　解：

将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：

至少有两人的生日相同.

　　又如：

我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.

　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。

”

　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。

”

一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一色的球？

抽屉原理的解法：

首先找元素的总量（此题35）

其次找抽屉的个数：

白、黄、红、蓝、绿5个

最后，考虑最差的情况。

每种抽屉先m-1个球。

最后的得数再加上1，即为所求

一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。

问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的

元素总量13*4

抽屉4个

m=4

抽屉数*（m-1）=12

12+1=13

从一副完整的扑克牌中．至少抽出（  ）张牌．才能保证至少6张牌的花色相同?

元素总量=54

抽屉=6（大小王各为一个抽屉）

M=6

4*5+1+1+1=23

袋子中有红、橙、黄、绿四种颜色的小球若干个，每个人从中任取1个或2个。

那么至少需要多少个人去取，才能保证有3个人取的小球是完全一样的。

A．13            B．24        C．27        D．29    

------------------------------------------------------------

先算抽屉个数（有多少种可能）

取1个球，4种选法；

取2个球，颜色相同有4种选法，颜色不同有C42=6种选法；

一共有4+4+6=14种选法（14个抽屉）

M=3

根据抽屉原理，需要抽屉个数*（m-1）+1=14*2+1=29个人去取，才能保证有3个人取的完全一样

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双龙-陵少4楼 10-10-2820:

31

多次相遇问题

两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶的多次相遇问题，关键就是速度比和路程的倍数关系

第一次相遇，两人共走了1S

第二次相遇，两人共走了3S

第三次相遇，两人共走了5S

..............

第N次相遇，两人共走了2*N-1个S，经过了2*N-1个相遇时间

“为什么第二次相遇走了3个相遇时间？

为什么不是2个相遇时间？

”。

下面我来推导下这个问题

A------------------------C----------D-------------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

第一次甲走的：

AC  乙走的是BC  甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.

第二次相遇时，甲走了AC+CB+BD------------------①

              乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S（甲乙共走了3S）

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因为速度不变，所以走的时间为3t

推广下成公式：

第N次相遇，甲乙共走了（2N-1）个S，花了（2N-1）个相遇时间t

甲乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A、B两地的距离

A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米

-------------------------------------------------

画个草图

A------------------------C--------D---------------------B

C表示第三次相遇的地方，D表示第四次相遇的地方。

速度比是15：

35=3：

7

全程分成10份（其中甲走了3份，乙走了7份）

第三次甲行的路程是：

5*10*3/10=15份（相当于1.5S）

第四次甲行的路程是：

7*10*3/10=21

两次相距5-1=4份，对应100KM

所以10份对应的就是250KM

给你说下21份和15份

A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B

                                ←  C

        D→

D和C分别表示第三次相遇和第四次相遇

箭头表示方向

第一次相遇时距离是S1，第二次相遇距离是S2

如果S1、S2相对的是一个地点则为单岸型，否则为双岸型

单岸型公式：

S=（3S1+S2）/2

双岸型公式：

S=3S1-S2

两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出，离北岸260千米处第一次相遇，继续行驶，返回时又在南岸200千米处相遇，求河宽。

卡卡西解析：

画图：

南------------------------C--------------D--------------------北

同样C表示第一次相遇，D表示第二次相遇。

根据：

“离北岸260千米处第一次相遇”，所以追踪乙的轨迹为

北C+C南+南D，观察发现比1S多走了南D段

所以：

3*260-200=S

甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，他们第一次相遇处距A地700米，两个各自到达B，A后又立即返回，在距B地400米处第二次迎面相遇，AB两地相距（）米

A：

1700    B：

1800    C：

2000      D：

2100

-------------------------------------

属于单岸型：

3*700-400=1700

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双龙-陵少5楼 10-10-2820:

31

方阵问题核心公式：

（1）方阵总人（物）数＝最外层每边人（物）数的平方；

（2）方阵最外一层总人（物）数比内一层总人（物）数多8（行数和列数分别大于2）；

　　（3）方阵最外层每边人（物）数＝（方阵最外层总人数÷4）＋1；

　　（4）方阵最外层总人数＝[最外层每边人（物）数－1]×4；

　　（5）去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1。

某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？

（　　）

　　A.272  B.256  

　　C.225  D.240

---------------------------------------

本题考查方阵问题。

方阵最外层每边人数为60÷4＋1＝16，所以这个方阵共有162＝256人。

故选B。

参加中学生运动会团体体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一列和一行，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人？

A286                B287                C288              D289

----------------------------------------

根据公式5

33=2X-1

X=17

17^2=289

备注：

缺空心方阵的题目

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双龙-陵少6楼 10-10-2820:

32

工程问题

基本数量关系：

工作总量=工作效率*时间

抓住单独的工作效率或合作的工作效率是解题的关键。

工程问题比较难的题型主要有两种

1、    合作的过程中有人休息的（一般假设不休息来算）

2、    轮流工作的（一般用周期来算）

其他的工程问题一般都比较简单，我在这里就不分析了！

下面主要讲解下上面提到的2种情况

1、一件工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要30天完成。

两人合作，期间甲休息

了2天，乙休息了8天（不在同一天休息），从开始到完工共用了多少天？

（）

A.11B.15C.16D.20

------------------------------------

甲休息的2天，乙单独做；同理，乙休息的8天甲单独做

所以甲8天的+乙2天的+合作的=1

甲和乙合作，工作效率为：

1/10+1/30=4/30

8/10+2/30+X/30/4=1

X=1

2+8+1=11

2、一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时完成。

如果按照甲先乙后的顺序轮流做进行，完成这件工作需要几小时

-----------------------------------

甲12小时完成，乙9小时完成，所以他们的工作效率分别为1/12和1/9

轮流做的题，我们就用周期的办法来解决

把甲、乙各做一个小时看做一个周期，一个周期他们完成的工作量是（1/12+1/9）=7/36

1/（7/36）=5….1/36

即合作了5个周期后还剩下1/36，所以甲再做1/36/1/12=1/3个小时就可以完成了。

所以总的需要5*2+1/3个小时

3、一份稿件，甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。

现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时才完成。

那么甲只打了几小时？

----------------------------------

我们先考虑乙和丙，他们12个小时能打1/2+4/10=9/10

所以甲打了1/10/1/20=2小时

4、一项工程甲队独做24天完成，乙队独做30天完成，甲乙两队合作8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

这个工程由丙队单独作需几天完成

----------------------------------

设总数为120，那么甲每天做5，乙每天做4

8*（5+4）=72

120-72=48

48/6=8

120/8=15

5、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成，现在他们两队一起做，其间甲队休息了4天，乙队休息若干天，从开始到完工共用了16天，问乙队休息了多少天？

----------------------------------

设总量为60，甲每天3，乙2

甲休息的4天，乙单独做，乙休息的X天，甲单独做

所以有4*2+3X+5*（12-X）=60

X=4

6、修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路长多少米？

---------------------------------

效率相当于是速度

路程一定，速度比是时间比的反比，所以V甲：

V乙=3：

5

多2份对应2*750

所以总的就是4*2*750=6000

7、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，问由甲乙丙三队合作需几天完成？

---------------------------------

1/12+1/15+1/20=1/5

1/X+1/Y+1/Z=1/10

所以需要10天

8、加工一批零件，甲乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩这批零件的2/5没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，这批零件共有多少个？

-----------------------------------

甲乙合作12天完成了工作的12*1/24=1/2

甲的工效为：

（3/5-1/2）÷4=1/40

乙的工效为：

1/24-1/40=1/60

这批零件共：

3÷（1/40-1/60）=360个

9、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。

如果甲先做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

------------------------------------

效率比为（8-6）：

（12-6）=1:

3

3*3+12=21

10、甲乙丙三人合作完成一件工程，共得报酬1800元。

三人完成这项工作的情况是：

甲乙合作8天完成工程的1/3；接着乙丙又合作2天，完成余下的1/4；以后三人合作5天完成了这项工程。

按劳付酬，各人应得报酬多少元？

-------------------------------------

甲乙合作8天完成工程的1/3，所以：

1/Y+1/Z=1/12

乙丙又合作2天，完成余下的1/4：

1/Y+1/X=1/24

三人合作5天完成了这项工程:

1/Y+1/X+1/Z=1/10

算出来1/X=1/60  1/Y=1/40  1/Z=1/15

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双龙-陵少7楼 10-10-2820:

32

鸡兔同笼的解法和认识

在公务员考试里面，破瓶子题型与之类似

有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

-----------------------------

假设全部是兔子，那么应该有88*4=352只脚，现在只有244只，少了

352-244=108只脚，多1只鸡就要少2只脚。

所以鸡的数量就是

108/2=54  兔88-54=34

有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元。

结果得到运费379。

6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

--------------------------------

假设没有破损的。

总运费为200*2=400元

现在少得了400-379.6=20.4元

破一只就要损失2-（-10）=12角=1.2元

所以总的破损了20.4/1.2=17只

蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。

每种小虫各几只

------------------------------------

18*6=108

多一只蜘蛛就多了两条腿，所以蜘蛛有10/2=5只

5只蜘蛛少5对翅膀，多一只蜻蜓就多1对翅膀

所以蜻蜓比蜘蛛多2只5+2=7

所以就有蜘蛛5只，蜻蜓7只，禅6只

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双龙-陵少8楼 10-10-2820:

32

应朋友要求，再次说说牛吃草！

这次的题比较全，希望大家好好的复习！

牛吃草问题

关键有三点

1  设一头牛1天吃1份草

2  算出草增加或者减少的速度

3  算出总量

牛吃草三步法：

1、算出增长速度（大的头数*天数-小的头数*天数）/（天数差）

2、根据增长速度算出总量

3、得出答案

例题1

牧场上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问可供25头牛吃多少天？

---------------------------------------

解析：

设1头牛1天吃1份草，原有草量M，草长的速度为X

10头牛20天吃的草量=原有草量+20天长出来的草量

15头牛10天吃的草量=原有草量+10天长出来的草量

    观察上面的式子发现：

原有草量M是不变的

所以：

10*20-15*10=（20-10）X

X=5

再来算原有草量：

10*20-20*5=100（或者15*10-10*5=100）

设25头牛可以吃Y天

所以

100+5Y=25Y----------------------Y=5

PS：

一般做熟悉了，直接就是

（10*20-15*10）/（20-10）=5--------------草长的速度

10*20-5*20=100---------------------------------原有量

100+5X=25X

X=5

例题2

一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完，如果要求2小时淘完，要安排多少人？

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此题是牛吃草问题的变型！

设每人每小时淘水量为“1”

每小时漏进船的水量为：

（5*8-10*3）/（8-3）=2

发现时船内的水量为：

5*8-2*8=24

24+2*2=2*X

X=14（人）

例题3

超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了

A.2小时          B.1.8小时        C.1.6小时      D.0.8小时

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此题和牛吃草的题类似

一个收银台4小时接收的顾客为80*4=320

每小时排队的顾客是4*60=240

所以没开收银台时已经有320-240=80人排队

80+60X=2*80X

X=0.8

难度较大的牛吃草题：

有三块草地,面积分别是5,15,24亩,草地上的草一样厚,而且长得一样快,第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块草地可供多少头牛吃80天?

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设1头牛1天吃的草为“1”

（1）第一块草地中的草和30天长出来的草一共是：

10*30=300

所以一亩地中原有草及30天长出来的草为：

300/5=60

（2）同理算第二块草地

28*45/15=84

（3）因此1公亩草地每天新长出的草量：

（84-60）/（45-30）=8/5

（4）1公亩地原有草量为：

60-30*8/5=12

第三块草地原有草为12*24=288

24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）

解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：

1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头

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双龙-陵少9楼 10-10-2820:

32

浓度问题几种常见题型

一般的解法有以下几种

根据溶质的量不变，列方程

根据混合前两种溶液的浓度和溶液量进行十字相乘法

特殊值法

甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现

在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的

倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两溶液浓度是多少？

（）

----------------------------------

解法一：

17                          23-x          400      2

                x

23                          x-17          600      3

2x-34=69-3x    x=20.6

解法二：

假设他们全部混合

（17%*400+23%*600）/（400+600）=20.6%

现有一种预防禽流感药物配置成的甲,乙两种不同浓度的消毒溶液.若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3％;    若从甲中取900克,乙中取2700克.则混合而成的消毒溶液的浓度为5％.则甲,乙两种消毒溶液的浓度分别为（  ）

        A    3％6％  B  3％4％    C  2％6％    D  4％6％

----------------------------------------

解法一：

根据溶质不变，解二元一次方程组

2100*a+700*b=2800*0.03

900*a+2700*b=2800*0.03

0.02

0.06

解法二：

第一次混合后浓度为3%，所以一种小于3%，一种大于3%

第二次混合后浓度为5%，所以一种小于5%，一种大于5%

所以有，一种大于5%，一种小于3%。

直接秒C了

甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金62  2/3%的合金。

则乙的含金百分数为多少？

　　A.72%            B.64%              C.60%                D.56%  

　　---------------------------------------　　

据题中“如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金62  2/3%的合金。

”可以看出，乙的重量所占比例要是高，则合金的含金量高，乙的重量所占比例低，则合金的含金量低，由此可以判断出，乙的含金量大于甲的含金量。

　　又因为，有一块合金的含金量为68%，所以必定甲乙一个大于68%，一个小于68%。

根据上一段的结论，则推出，乙的含金量一定大于68%，则只有A答案

每次加同样多的水，第一次加水浓度15