5.2构造因子变量
因子分析中有很多确定因子变量的方法.如基于主成分模型的主成分分析和基于因子分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法等。
前者应用最为广泛。
主成分分析法（Principalcomponentanalysis）：
该方法通过坐标变换.将原有变量作线性变化.转换为另外一组不相关的变量Zi（主成分）。
求相关系数矩阵的特征根λi（λ1,λ2,…,λp>0）和相应的标准正交的特征向量li；根据相关系数矩阵的特征根.即公共因子Zj的方差贡献（等于因子载荷矩阵L中第j列各元素的平方和）.计算公共因子Zj的方差贡献率与累积贡献率。
主成分分析是在一个多维坐标轴中.将原始变量组成的坐标系进行平移变换.使得新的坐标原点和数据群点的重心重合。
新坐标第一轴与数据变化最大方向对应。
通过计算特征根（方差贡献）和方差贡献率与累积方差贡献率等指标.来判断选取公共因子的数量和公共因子（主成分）所能代表的原始变量信息。
公共因子个数的确定准则：
1）根据特征值的大小来确定.一般取大于1的特征值对应的几个公共因子/主成分。
2）根据因子的累积方差贡献率来确定.一般取累计贡献率达85-95%的特征值所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分。
也有学者认为累积方差贡献率应在80％以上。
5.3因子变量的命名解释
因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题。
经过主成分分析得到的公共因子/主成分Z1,Z2,…,Zm是对原有变量的综合。
原有变量是有物理含义的变量.对它们进行线性变换后.得到的新的综合变量的物理含义到底是什么？
在实际的应用分析中.主要通过对载荷矩阵进行分析.得到因子变量和原有变量之间的关系.从而对新的因子变量进行命名。
利用因子旋转方法能使因子变量更具有可解释性。
计算主成分载荷.构建载荷矩阵A。
计算主成分载荷.构建载荷矩阵A。
载荷矩阵A中某一行表示原有变量Xi与公共因子/因子变量的相关关系。
载荷矩阵A中某一列表示某一个公共因子/因子变量能够解释的原有变量Xi的信息量。
有时因子载荷矩阵的解释性不太好.通常需要进行因子旋转.使原有因子变量更具有可解释性。
因子旋转的主要方法：
正交旋转、斜交旋转。
正交旋转和斜交旋转是因子旋转的两类方法。
前者由于保持了坐标轴的正交性.因此使用最多。
正交旋转的方法很多.其中以方差最大化法最为常用。
方差最大正交旋转（varimaxorthogonalrotation）——基本思想：
使公共因子的相对负荷的方差之和最大.且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。
可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小.因此可以简化对因子的解释。
斜交旋转（obliquerotation）——因子斜交旋转后.各因子负荷发生了变化.出现了两极分化。
各因子间不再相互独立.而是彼此相关。
各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变。
斜交旋转因为因子间的相关性而不受欢迎。
但如果总体中各因子间存在明显的相关关系则应该考虑斜交旋转。
适用于大数据集的因子分析。
无论是正交旋转还是斜交旋转.因子旋转的目的：
是使因子负荷两极分化.要么接近于0.要么接近于1。
从而使原有因子变量更具有可解释性。
5.4计算因子变量得分
因子变量确定以后.对于每一个样本数据.我们希望得到它们在不同因子上的具体数据值.即因子得分。
估计因子得分的方法主要有：
回归法、Bartlette法等。
计算因子得分应首先将因子变量表示为原始变量的线性组合。
即：
回归法.即Thomson法：
得分是由贝叶斯Bayes思想导出的.得到的因子得分是有偏的.但计算结果误差较小。
贝叶斯（BAYES）判别思想是根据先验概率求出后验概率.并依据后验概率分布作出统计推断。
Bartlett法：
Bartlett因子得分是极大似然估计.也是加权最小二乘回归.得到的因子得分是无偏的.但计算结果误差较大。
因子得分可用于模型诊断.也可用作进一步分析如聚类分析、回归分析等的原始资料。
关于因子得分的进一步应用将在案例介绍一节分析。
5.5结果的分析解释
此部分详细见案例分析
二、案例分析
1研究问题
石家庄18个县市14个指标因子.具体来说有人均GDP（元/人）、人均全社会固定资产投资额、人均城镇固定资产投资额、人均一般预算性财政收入、第三产业占GDP比重（%）、人均社会消费品零售额、人均实际利用外资额（万美元/人）、人均城乡居民储蓄存款、农民人均纯收入、在岗职工平均工资、人才密度指数、科技支出占财政支出比重（%）、每万人拥有执业医师数量、每千人拥有病床数。
要求根据这14项内容进行因子分析.得到维度较少的几个因子。
2实现步骤
【1】在“Analyze”菜单“DataReduction”中选择“Factor”命令.如下图所示。
【2】在弹出的下图所示的FactorAnalysis对话框中.从对话框左侧的变量列表中选择这14个变量.使之添加到Variables框中。
【3】点击“Descriptives”按钮.弹出“FactorAnalysis：
Descriptives”对话框.如图所示。
Statistics框用于选择哪些相关的统计量.其中：
Univariatedescriptives（变量描述）：
输出变量均值、标准差；
Initialsolution（初始结果）
CorrelationMatrix框中提供了几种检验变量是否适合做引子分析的检验方法.其中：
Coefficients（相关系数矩阵）
Significanceleves（显著性水平）
Determinant（相关系数矩阵的行列式）
Inverse（相关系数矩阵的逆矩阵）
Reproduced（再生相关矩阵.原始相关与再生相关的差值）
Anti-image（反影像相关矩阵检验）
KMOandBartlett’stestofsphericity（KMO检验和巴特利特球形检验）
本例中.选中该对话框中所有选项.单击Continue按钮返回FactorAnalysis对话框。
【4】单击“Extraction”按钮.弹出“FactorAnalysis：
Extraction”对话框.选择因子提取方法.如下图所示：
因子提取方法在Method下拉框中选取.SPSS共提供了7种方法：
PrincipleComponentsAnalysis（主成分分析）
Unweightedleastsquares（未加权最小平方法）
Generalizedleastsquares（综合最小平方法）
Maximumlikelihood（最大似然估价法）
Principalaxisfactoring（主轴因子法）
Alphafactoring（α因子）
Imagefactoring（影像因子）
Analyze框中用于选择提取变量依据.其中：
Correlationmatrix（相关系数矩阵）
Covariancematrix（协方差矩阵）
Extract框用于指定因子个数的标准.其中：
Eigenvaluseover（大于特征值）
Numberoffactors（因子个数）
Display框用于选择输出哪些与因子提取有关的信息.其中：
Unrotatedfactorsolution（未经旋转的因子载荷矩阵）
Screenplot（特征值排列图）
MaximuninterationsforConvergence框用于指定因子分析收敛的最大迭代次数.系统默认的最大迭代次数为25。
本例选用Principalcomponents方法.选择相关系数矩阵作为提取因子变量的依据.选中Unrotatedfactorsolution和Screeplot项.输出未经过旋转的因子载荷矩阵与其特征值的碎石图；选择Eigenvaluseover项.在该选项后面可以输入1.指定提取特征值大于1的因子。
单击Continue按钮返回FactorAnalysis对话框。
【5】单击FactorAnalysis对话框中的Rotation按钮.弹出FactorAnalysis:
Rotation对话框.如下图所示：
该对话框用于选择因子载荷矩阵的旋转方法。
旋转目的是为了简化结构.以帮助我们解释因子。
SPSS默认不进行旋转（None）。
Method框用于选择因子旋转方法.其中：
None（不旋转）
Varimax（正交旋转）
DirectOblimin（直接斜交旋转）
Quanlimax（四分最大正交旋转）
Equamax（平均正交旋转）
Promax（斜交旋转）
Display框用于选择输出哪些与因子旋转有关的信息.其中：
Rotatedsolution（输出旋转后的因子载荷矩阵）
Loadingplots（输出载荷散点图）
本例选择方差极大法旋转Varimax.并选中Rotatedsolution和Loadingplot项.表示输出旋转后的因子载荷矩阵和载荷散点图.单击Continue按钮返回FactorAnalysis对话框。
【6】单击FactorAnalysis对话框中的Scores按钮.弹出FactorAnalysis:
Scores对话框.如下图所示：
该对话框用以选择对因子得分进行设置.其中：
Regression（回归法）：
因子得分均值为0.采用多元相关平方；
Bartlett（巴特利法）：
因子得分均值为0.采用超出变量范围各因子平方和被最小化；
Anderson-Rubin（安德森-洛宾法）：
因子得分均值为0.标准差1.彼此不相关；
Displayfactorscorecoefficientmatrix：
选择此项将在输出窗口中显示因子得分系数矩阵。
【7】单击FactorAnalysis对话框中的Options按钮.弹出FactorAnalysis:
Options对话框.如下图所示：
该对话框可以指定其他因子分析的结果.并选择对缺失数据的处理方法.其中：
MissingValues框用于选择缺失值处理方法：
Excludecaseslistwise：
去除所有缺失值的个案
Excludecasespairwise：
含有缺失值的变量.去掉该案例
Replacewithmean：
用平均值代替缺失值
CofficientDisplayFormat框用于选择载荷系数的显示格式：
Sortedbysize：
载荷系数按照数值大小排列
Suppressabsolutevalueslessthan：
不显示绝对值小于指定值的载荷量
本例选中Excludecaseslistwise项.单击Continue按钮返回FactorAnalysis对话框.完成设置。
单击OK.完成计算。
3结果与讨论
（1）SPSS输出的第一部分如下：
第一个表格中列出了18个原始变量的统计结果.包括平均值、标准差和分析的个案数。
这个是步骤3中选中Univariatedescriptives项的输出结果。
DescriptiveStatistics
Mean
Std.Deviation
AnalysisN
人均GDP（元/人）
22600.5211
8410.55464
18
人均全社会固定资产投资额
15190.9515
5289.14499
18
人均城镇固定资产投资额
10270.3642
4874.14616
18
人均一般预算性财政收入
585.1712
550.45659
18
第三产业占GDP比重（%）
29.0612
9.46858
18
人均社会消费品零售额
6567.2566
3068.75463
18
人均实际利用外资额（万美元/人）
23.5667
40.31361
18
人均城乡居民储蓄存款
12061.2384
7363.08659
18
农民人均纯收入
4852.5556
1202.52970
18
在岗职工平均工资
18110.3889
2374.05754
18
人才密度指数
8.1548
5.37552
18
科技支出占财政支出比重（%）
1.3494
.50193
18
每万人拥有执业医师数量
12.6883
8.88691
18
每千人拥有病床数
2.3608
1.16077
18
（2）SPSS输出结果文件中的第二部分如下：
该表格给出的是18个原始变量的相关矩阵
CorrelationMatrix
人均GDP（元/人）
人均全社会固定资产投资额
人均城镇固定资产投资额
Correlation
人均GDP（元/人）
1.000
.503
.707
人均全社会固定资产投资额
.503
1.000
.883
人均城镇固定资产投资额
.707
.883
1.000
人均一般预算性财政收入
.776
.571
.821
第三产业占GDP比重（%）
.567
.507
.759
人均社会消费品零售额
.737
.247
.600
人均实际利用外资额（万美元/人）
.454
.356
.648
人均城乡居民储蓄存款
.707
.480
.780
农民人均纯收入
.559
-.073
.130
在岗职工平均工资
.789
.325
.544
人才密度指数
.741
.470
.737
科技支出占财政支出比重（%）
.582
.378
.486
每万人拥有执业医师数量
.434
.520
.733
每千人拥有病床数
.573
.565
.761
CorrelationMatrix
人均一般预算性财政收入
第三产业占GDP比重（%）
人均社会消费品零售额
Correlation
人均GDP（元/人）
.776
.567
.737
人均全社会固定资产投资额
.571
.507
.247
人均城镇固定资产投资额
.821
.759
.600
人均一般预算性财政收入
1.000
.830
.693
第三产业占GDP比重（%）
.830
1.000
.646
人均社会消费品零售额
.693
.646
1.000
人均实际利用外资额（万美元/人）
.797
.822
.616
人均城乡居民储蓄存款
.907
.882
.839
农民人均纯收入
.132
.278
.516
在岗职工平均工资
.736
.548
.609
人才密度指数
.795
.745
.812
科技支出占财政支出比重（%）
.729
.575
.490
每万人拥有执业医师数量
.818
.844
.627
每千人拥有病床数
.911
.806
.629
CorrelationMatrix
人均实际利用外资额（万美元/人）
人均城乡居民储蓄存款
农民人均纯收入
Correlation
人均GDP（元/人）
.454
.707
.559
人均全社会固定资产投资额
.356
.480
-.073
人均城镇固定资产投资额
.648
.780
.130
人均一般预算性财政收入
.797
.907
.132
第三产业占GDP比重（%）
.822
.882
.278
人均社会消费品零售额
.616
.839
.516
人均实际利用外资额（万美元/人）
1.000
.792
-.007
人均城乡居民储蓄存款
.792
1.000
.264
农民人均纯收入
-.007
.264
1.000
在岗职工平均工资
.388
.647
.411
人才密度指数
.752
.868
.315
科技支出占财政支出比重（%）
.570
.626
.210
每万人拥有执业医师数量
.795
.885
-.075
每千人拥有病床数
.784
.866
.000
CorrelationMatrix
在岗职工平均工资
人才密度指数
科技支出占财政支出比重（%）
Correlation
人均GDP（元/人）
.789
.741
.582
人均全社会固定资产投资额
.325
.470
.378
人均城镇固定资产投资额
.544
.737
.486
人均一般预算性财政收入
.736
.795
.729
第三产业占GDP比重（%）
.548
.745
.575
人均社会消费品零售额
.609
.812
.490
人均实际利用外资额（万美元/人）
.388
.752
.570
人均城乡居民储蓄存款
.647
.868
.626
农民人均纯收入
.411
.315
.210
在岗职工平均工资
1.000
.539
.421
人才密度指数
.539
1.000
.577
科技支出占财政支出比重（%）
.421
.577
1.000
每万人拥有执业医师数量
.477
.739
.519
每千人拥有病床数
.575
.719
.769
CorrelationMatrix
每万人拥有执业医师数量
每千人拥有病床数
Correlation
人均GDP（元/人）
.434
.573
人均全社会固定资产投资额
.520
.565
人均城镇固定资产投资额
.733
.761
人均一般预算性财政收入
.818
.911
第三产业占GDP比重（%）
.844
.806
人均社会消费品零售额
.627
.629
人均实际利用外资额（万美元/人）
.795
.784
人均城乡居民储蓄存款
.885
.86
升级会员 