个人购房按揭贷款的还款方案探讨.docx
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个人购房按揭贷款的还款方案探讨
个人购房按揭贷款的还款方案探讨
个人购房按揭贷款的还款方案探讨
一、摘要
最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法）两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。
在合理假设的前提下，运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，通过计算讨论比较两者偿还贷款本息的多少，得出等额本金还款法的利息比等额本息还款法偿还贷款本息少，在贷款人具有还贷能力的条件下比较省钱。
再在前两个静态模型的基础上建立考虑未来现金的折现的动态模型，进一步说明结果，更具实际性。
从静态模型特点得出，两者偿还贷款本息的多少和本金无关，并且相同还款方式下，年数越小，利率越低，偿还贷款本息越少，我们取贷款月利率为‰,（年利率/12）,贷款20万，得到两种方式偿还贷款本息关于年数的关系式，选取典型年数，运用excel计算选取各年数的偿还贷款本息，并据此作出折线图进行拟和，得出总体趋势，各年数下，等本不等息递减还款法计算得到的偿还贷款本息比等额本息还款法少，随着年数增加，，两者偿还贷款本息都增加，同时差额不断增加。
为提高科学性，从三个方面进行验证：
第一，分析其对利率的灵敏度，改变利率，其他不变，进行重新计算，得到两者偿还贷款本息增加，但是数据和图表的趋势和原先相同。
第二，取20年的房贷，其他条件不变，运用matlab作两种方法每月还款额的的图，比较其金额大小，通过对图形的分析得出，虽然等本金法在前期每月还款多，但是线形下降的，最后总偿还贷款本息比等额本息还款法少。
第三、通过计算得出如果提前还贷，偿还贷款本息等本金法比等额本息还款法少。
对问题二，设计了双周还款法，套用静态模型，通过计算20万贷款，与原先方式进行比较，得到结果是贷款年数在一年内，采用双周法偿还贷款本息会比较少。
文章最后对模型进行了评价和推广，在投资理财方面都可以进行运用
二、问题重述
最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。
有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。
所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。
1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；
2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；
3．给报社写一篇稿子，介绍你的研究成果。
三、基本假设与符号说明
基本假设：
1、贷款月利率不变（查资料得目前个人房贷5-30年的贷款年利率为%）r=%/12=‰
每月还息近似用月利率按月计算计算，不到5年的也近似用该利率计算
2、先不考虑现金净现值（时间因素）
3、每月近似按四周算
4、贷款人有足够能力支付每月房贷
5、银行储蓄利率比贷款率要低
6、现金折算率近似银行储蓄利率
符号说明：
a=贷款本金
n=房贷年数
r=贷款月利率
s=现金折现率
x=总利息（按到期日计算）
w=总偿还贷款本息（按到期日计算）
b=每月付款（等额法）
a（i）=第i月归还本金（i=1,2,3…）
x（i）=第i月偿还的利息
y（i）=第i月欠银行的钱
w1=等本金法总付房贷款
w2=等本息法总付房贷款
＝等本金法总付房贷款现值
＝等本息法总付房贷款现值
a=
W=a+x
等额本金还款法简称等本金法
等额本息还款法简称等本息法
注：
其他符号文中出现时再给定说明
四、问题的分析及模型建立
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减个人购房按揭贷款的还款方式，无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额（也称月供）中包含两个部分：
本金还款和利息还款：
月还款额=当月本金还款+当月利息式1
其中本金还款是真正偿还贷款的。
每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少：
当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款
直到最后一个月，全部本金偿还完毕。
利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。
每月还款中必须将本月本金所产生的利息付清：
当月利息=上月剩余本金×月利率式2
其中月利率=年利率÷12。
由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。
随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。
两种贷款的偿还原理就如上所述。
上述两个公式是月还款的基本公式.其他公式都可由此导出。
房贷要比较两种方法的好坏，是在相同房贷年数的前提下比较在同一时间点上两者所付给银行总本金和利息的多少，省钱的就比较好，这里我们选取比较有代表性的贷款发生和结束时为计算还款的共同时间点。
（1）以还清贷款日为计算总偿还贷款本息共同时间点，建立静态模型：
1.等额本金还款方式建立模型1:
等额本金还款方式,每次还款的本金还款数是一样的。
为还款年数，按月归还贷款，所以还款次数为当月本金还款=总贷款数÷还款次数＝当月利息=上月剩余本金×月利率=总贷款数×（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率所以第i月还利息为：
（=1,2,…）易见是一个以为首项的等差数列,方差为当月还款额=当月本金还款＋当月利息所以,第i月还款为：
总利息＝所有利息之和根据等差数列求和:
即:
总利息=总贷款数×月利率×（还款次数＋1）÷2总偿还贷款本息＝本金＋总利息：
由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此，等额本金还款每个月的还款额是不一样的。
开始还得多，而后逐月递减。
2.等额本息还款方式按模型1的等额本息还款方式的公式推导见附录一下面我们从另一个角度建立模型来求解总偿还贷款本息模型2:
第i月欠银行的钱数（i=0,1,2,…），为每月偿还的贷款，刚开始欠银行钱：
当月欠银行钱=上月欠银行钱—当月偿还的钱：
化简得：
=（-）即=（-）最后一年欠款为零:
所以（-）=0=====五、模型化简求解和验证显然两种方式偿还贷款本息与本金无关，因此比较w大小主要和年数n和利率r有关。
我们不妨设a=200000元，先假设月利率为‰，将模型化简。
得到两种方式偿还贷款本息关于年数的关系式。
（1）研究w和n关系，即不同年限两种方法的还款额各为多少，通过excel制得图表１总还贷额（元）等本等本
年数n金法w1息法w2
201,201,
202,202,
205,205,1
210,210,2
215,215,3
220,220,4
225,226,5
230,231,6
235,237,7
240,242,8
244,248,9
249,253,10
274,283,15
299,315,20
348,384,30
447,540,50
图表１
根据这些数据绘制的图表2如下：
注：
系列1代表w2,系列2代表w1
图表2
说明：
由于人年满18周岁才可申请房贷，一般还贷最后期限不会超过退休年龄，所以n取到50年，当n超过一年时,年限一般取整,这符合普通大众实际情况。
从数据可以看出在年限相同时w1总比w2要小，因此虽然年数没有用穷举法，但已经揭示了其规律，不影响科学性，并且通过图表更形象看出其趋势。
刚开始两者差距不大，但是从n=10时开始差距逐渐拉大.。
当n=20时
w1=299,
w2=315,w2-w1=所以两种还款方式的差额有1万多元,等额本金法较省钱。
验证一：
当r变化时w的变化趋势，假设r=‰,其他假设不变，通过excel制得图表2总还贷额（元）r=
房贷年数等本金法等本息法
201,201,
202,202,
1205,205,
2210,210,
3215,215,
4220,220,
5225,226,
6230,231,
7235,237,
8240,242,
9244,248,
10249,253,
15274,283,
20299,315,
30348,384,
50447,540,
图表3
根据这些数据绘制的图表４如下：
图表４
显然在年限相同时w1总比w2要小
当n=20时
w1＝303630
w2=
w2-w1=
验证二：
a=200000元
‰
等本金法b
当n=20时，每月还款额图表5如下:
等本息法b
图表5
由图分析可知，两种方法在前几个月每月还款等本金法比等本息法要多，在后期等本金法每月还款下降很快，从图的面积可看出，总额等本金法较少。
验证三：
以贷款20万元、期限20年、月利率‰来计算，可算出，依旧是本金还款法利息少。
假如5年后，市民提前一次性还清贷款，根据本息还款法计算，5
年中，已还本金49457元，已还利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根据本金还款法计算，5年中，已还本金75000元，已还利息66308元，再一次还款225000元就行了。
两种还款方法比较之下，本金还款法所支付利息比本息还款法少3425元。
（2）以贷款日为计算总偿还贷款本息共同时间点，考虑时间价值,对模型1，2进行改进，以月利率s=/12=‰%为当前年银行存款利率）,将两种还款方式下每月还本付息折现到贷款发放日，建立动态模型:
改进模型1=+a/12n，
根据现值计算公式化为:
改进模型2：
同理可得
说明：
显然两种方式好坏与本金无关，因此比较w大小主要和年数n和利率r有关。
我们不妨设a=200000元，假设月利率为‰，n=20,a=200000,用matlab求解ww1,ww2,程序源代码见附录二
说明：
差额并没有原先模型那样大，但等本金法仍比等额法还款少。
（3）其他模型的建立（不考虑折现）:
由于本金是一定要还的,各种方法的本金都是一样的,因此我们研究其他还款方式因着重考虑利息,根据w1,w2公式和图表2看出,相同还款方式利率越低,年限越少,还款总额越少,
因此已经贷款的可以考虑提前还贷，每种还款方式都是根据借款人剩余本金的多少计算利息的。
不同的是，有的还款方式归还本金的速度比较快，有的则较慢，由此导致不同还款方式总利息的不同。
根据贷款偿还原理根和图表1可知，还款年数少，前期还本金多比较核算。
假设现在按双周还款R=r/2=2=，www1,www2分别为等本金法和等本息法的总还款额，改进模型1和模型2，得到模型3：
n=20，a=200000，R=,用excel得到：
等本金法等本金法等本息法等本息法房贷年数w1www1w2www2
201,201,201,201,
202,202,202,202,
1205,205,205,205,
2210,210,210,210,
3215,215,215,216,
4220,220,220,221,
5225,225,226,227,
6230,231,231,232,
7235,236,237,238,
8240,241,242,244,
9244,246,248,250,
10249,251,253,256,
15274,277,283,287,
20299,303,315,320,
30348,354,384,392,
50447,457,540,556,
图表6
由表可得出在一年内，双周法比较合算。
银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。
虽然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。
选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。
在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。
等额本金还款:
适合目前收入较高的人群。
借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。
随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。
这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。
等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。
还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，
固定利率:
进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相应地增加。
在贷款合同签订时，即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，但风险较大。
按期付息还本:
适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归还制订不同还款时间单位。
即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。
实际上，就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。
还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。
六、模型的优缺点与改进方向
1、模型的优点：
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）
（3）
（4）
（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。
（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。
2、模型缺点：
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。
（2）利率的精确度不同可能造成一定误差
（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来
3、模型的改进
（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素
（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响
（3）对利率有更准确的计算方法
（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
4、模型的推广
可以用文中所用到模型计算各期应还贷款，可以用于计算公司的投资收益，净现金流。
证券和房地产投资方面也可以很好的进行评估。
六、参考文献
[1]吴建国.数学建模案里例精编.北京：
中国水利水电出版社,p289-p309,2006
[2]冯伟，黄力伟，王勤，尹成义.数学建模原理与案例：
科学出版社，p204-p233,2007
[3]周开利，邓春晖.MATLAB基础及其应用教程：
北京大学出版社，p185-194,2007
[4]MarkModeling（SecondEdition）：
机械工业出版社，p43-p50,2005
七、附录
附录一等额本息还款方式的公式推导
设：
总贷款额＝a
还款次数=n
还款月利率＝r
月还款额＝Ｘb
当月本金还款＝y（i）（i＝还款月数）
第一个月，当月本金为全部贷款额＝a，因此：
第一个月的利息＝ar
第一个月的本金还款额
Y
（1）＝b－第一个月的利息
＝b－ar
第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额
＝a－（b－ar）
＝a×（１＋r）－b
第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率
第二个月的利息＝（a×（１＋r）－b）×r
第二个月的本金还款额
Y（i）＝b－第二个月的利息
＝b－（a×（１＋r）－b）×r
第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额
＝a×（１＋r）－b－（b－（a×（１＋r）－a）×r）
＝a×（１＋r）－b－b＋（a×（１＋r）－b）×r
＝a×（１＋r）－［a＋（１＋r）×b］
（1+r）表示（1+r）的2次方
第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率
第三个月的利息＝（a×（１＋r）－［a＋（１＋r）×b］）×r
第三个月的本金还款额
Y（3）＝b－第三个月的利息
＝b－（a×（１＋r）－［b＋（１＋r）×b］）×r
第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额
＝a×（１＋r）－［b＋（１＋r）×b］
－（a－（a×（１＋r）－［b＋（１＋r）×b］）×r）
＝a×（１＋r）－［b＋（１＋r）×b］
－（b－（a×（１＋r）×r＋［b＋（１＋r）×b］）×r）
＝a×（１＋r）×（１＋r）
－（b＋［b＋（１＋r）×b］×（１＋r））
＝a×（１＋r）－［b＋（１＋r）×b＋（１＋r）×b］
上式可以分成两个部分
第一部分：
a×（１＋r）
第二部份：
［b＋（１＋r）×b＋（１＋r）×b］
＝b×［１＋（１＋r）＋（１＋r）］
通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：
剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）
剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。
）;
s=s+db;
end
input:
>>summ（240）
output:
ans=
+00
附录三给报社写一篇稿子，介绍研究成果
唯有适合的才是最好的
——如何选择住房贷款还款方式
亲爱的读者朋友:
你们好!
最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。
有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。
所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。
尽管等额本金还款法被炒得沸沸扬扬，但是很多市民还是不太清楚自己究竟适合哪种还款方式。
从测算的结果来看，等额本金还款方式肯定要比等额本息方式支付的利息少。
借款人可根据自己的经济状况和还款意愿自主选择还贷方式。
一、等额本息还款法与等额本金还款法的比较分析
假定借款人从银行获得一笔20万元的个人住房贷款，贷款期限20年，贷款月利率‰，每月还本付息。
不考虑时间因素，将每月还本付息额简单累加，在整个还款期内，等额本金还款法下借款人共付本息299,元，而等额本息法共付利息315,元，两者相比，等额本金还款法少付元。
考虑时间因素，以折现率‰计算,等额本金还款法下借款人共付本息元，而等额本息法共付利息元，两者相比，等额本金还款法少付3650元。
二、提前还贷：
还是“本金法”省钱
有些市民在买房后，可能会提前还贷，那么，在这种情况下，哪种还款法省钱呢？
仍以贷款20万元、期限20年、月利率‰来计算，可算出，依旧是本金还款法利息少。
假如5年后，市民提前一次性还清贷款，根据本息还款法计算，5年中，已还本金49457元，已还利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根据本金还款法计算，5年中，已还本金75000元，已还利息66308元，再一次还款225000元就行了。
两种还款方法比较之下，本金还款法所支付利息比本息还款法少3425元。
三、如何选择适合自己的方式
曾有客户购房贷款时选择了认为可少支付利息的等额本金还款法，因15年期限60多万元组合贷款的月还款额要6000多元，比等额本息法每月多还1000余元。
后来该客户在实施装修住房和购车计划时，明显感到手头资金不宽松，就又向银行申请了汽车消费贷款，而消费贷款的利率要比住房贷款的利率高，这么一来，仔细盘算其实并未得到便宜。
两种还款方式各有利弊，但重要的是适合的才是最好的，要看是否适合自己的经济状况。
选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。
等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。
还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
等额本金还款法的特点是每月归还本金一样，利息则按贷款本金余额逐日计算，前期偿还款项较大，每月还款额在逐渐减少。
由于是递减，每个月的还款需要精心计算。
如果以时间为横坐标，款项为纵坐标建立二维坐标的话，等额法的供款曲线是一条与横坐标相平衡的直线，而递减法是一条向下的曲线。
若在还款期内，收入曲线呈上升趋势，则与等额本息还款法的曲线更一致，如果收入曲线呈下降趋势，则与等额本金还款法的曲线更一致。
所以，根据一般的收入变化趋势，等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。
而等额本金还款法适用于现在收入处于高峰期的人士，特别是预期以后收入会减少或是家庭经济负担会加重的，一般为中老年人。
除此之外，选择哪种还款方式，借款人还应考虑自己是否有其他的投资渠道，如果有其他投资回报率高于贷款利率的途径，一方面借款买房，另一方面，手中的资金用于产生更高额的利润，借助其他投资渠道赚取利差。
这种情况下，可以考虑延缓还款的压力，尽量长时间地占用银行的资金；对于一般市民，存款利率低于贷款利率，同时，又没有更好的投资渠道，这种情况下可以考虑少占用银行资金，以节约利息支出。
借款人可以根据自身的经济状况和特点，包括各项收入、保险证券等其他投资和其他借钱渠道等综合情况，与银行协商确定采用何种还款方法。
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