含绝对值的不等式解法典型例题.docx
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含绝对值的不等式解法典型例题
含绝对值的不等式解法·典型例题
含绝对值的不等式解法·典型例题
能力素质
例1 不等式8-3_>0的解集是
[ ]
答 选C.
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[ ]
A.3 B.2
C.-2 D.-5
分析 列出不等式.
解 根据题意得2<_≤5.
从而-5≤_<-2或2<_≤5,其中最小整数为-5,
答 选D.
例3 不等式4<1-3_≤7的解集为________.
分析 利用所学知识对不等式实施同解变形.
解 原不等式可化为4<3_-1≤7,即4<3_-1≤7或-7
例4 已知集合A={_2<6-2_<5,_∈N},求A.
分析 转化为解绝对值不等式.
解 ∵2<6-2_<5可化为
2<2_-6<5
因为_∈N,所以A={0,1,5}.
说明:
注意元素的限制条件.
例5 实数a,b满足ab<0,那么
[ ]
A.a-b<a+b
B.a+b>a-b
C.a+b<a-b
D.a-b<a+b
分析 根据符号法则及绝对值的意义.
解 ∵a.b异号,
∴ a+b<a-b.
答 选C.
例6 设不等式_-a<b的解集为{_-1<_<2},则a,b的值为
[ ]
A.a=1,b=3
B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3
分析 解不等式后比较区间的端点.
解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{_a-b<_<a+b},由于解集又为{_-1<_<2}所以比较可得.
答 选D.
说明:
本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.
例7 解关于_的不等式2_-1<2m-1(m∈R)
分析 分类讨论.
_<m.
{_1-m<_<m}.
说明:
分类讨论时要预先确定分类的标准.
点击思维
分析 一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母.
解 注意到分母_+2>0,所以原不等式转化为2(3-_)≥_+2,整理得
说明:
分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号,使过程简便.
例9 解不等式6-2_+1>1.
分析 以通过变形化简,把该不等式化归为a_+b<c或a_+b>c型的不等式来解.
解 事实上原不等式可化为
6-2_+1>1
①
或 6-2_+1<-1
②
由①得2_+1<5,解之得-3<_<2;
由②得2_+1>7,解之得_>3或_<-4.
从而得到原不等式的解集为{__<-4或-3<_<2或_>3}.
说明:
本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.
例10 已知关于_的不等式_+2+_-3<a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是________.
分析 可以根据对_+2+_-3的意义的不同理解,获得多种方法.
解法一 当_≤-2时,不等式化为-_-2-_+3<a即-2_+1<a有解,而-2_+1≥5,
∴a>5.
当-2<_≤3时,不等式化为_+2-_+3<a即a>5.
当_>3是,不等式化为_+2+_-3<a即2_-1<a有解,而2_-1>5,∴a>5.
综上所述:
a>5时不等式有解,从而解集非空.
解法二 _+2+_-3表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,显然最小值为3-(-2)=5.故可求a的取值范围为a>5.
解法三 利用m+n>m±n得
_+2+_-3≥(_+2)-(_-3)=5.
所以a>5时不等式有解.
说明:
通过多种解法锻炼思维的发散性.
例11 解不等式_+1>2-_.
分析一 对2-_的取值分类讨论解之.
解法一 原不等式等价于:
由②得_>2.
分析二 利用绝对值的定义对_+1进行分类讨论解之.
解法二 因为
原不等式等价于:
学科渗透
例12 解不等式_-5-2_+3<1.
分析 设法去掉绝对值是主要解题策略,可以根据绝对值的意义分
-(_-5)+(2_+3)<1,得_<-7,所以_<-7;
-(_-5)-(2_+3)<1,
当_>5时,原不等式可化为
_-5-(2_+3)<1,
解之得_>-9,所以_>5.
说明:
在含有绝对值的不等式中,〝去绝对值〞是基本策略.
例13 解不等式2_-1>2_-3.
分析 本题也可采取前一题的方法:
采取用零点分区间讨论去掉绝
之,则更显得流畅,简捷.
解 原不等式同解于
(2_-1)2>(2_-3)2,
即4_2-4_+1>4_2-12_+9,
即8_>8,得_>1.
所以原不等式的解集为{__>1}.
说明:
本题中,如果把2_当作数轴上的动坐标,则2_-1>2_-3表示2_到1的距离大于2_到3的距离,则2_应当在2的右边,从而2_>2即_>1.