离散数学函数性质教案模板.docx
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第6章函数
一、选择题（每题3分）
1、设A{a,b,c},B{1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（C）
A、f1{a,1,a,2,a,3}B、f2{a,1,b,1,b,2}
C、f4{a,1,b,1,c,1}D、f1{a,1,a,2,b,2,c,3}
2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（B）
A、{,y|（,yN）（y10）}B、{,y|（,yR）（y2）}
C、{,y|（,yR）（y2）}D、{,y|（,yZ）（ymod3）}
3、设Z为整数集，则二元关系f{a,baZbZb2a3}（B）
A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数
C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射
4、设f为自然数集N上的函数，且f
10若为奇数若为偶数，则f（D）
A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射
5、设f为整数集Z上的函数，且f为除以5的余数，则f（D）
A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射
6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（C）
A、f:
RR,
C、f:
RZ,
A、f:
RR,
C、f:
RR,f、、
27、设R、R、Z分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（B）f、；
f、
18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（A）
A、f:
ZE,f、
C、f:
ZZ,f、
9、设3,Y4，则从到Y可以生成不同的单射个数为（B）．
A、12B、24C、64D、8
110、设3,Y2，则从到Y可以生成不同的满射个数为（B）．
A、6B、8C、9D、6
411、设函数f:
BC，g:
AB都是单射，则fg:
AC（A）
A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射
12、设函数f:
BC，g:
AB都是满射，则fg:
AC（B）
A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射
13、设函数f:
BC，g:
AB都是双射，则fg:
AC（C）
A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射
14、设函数f:
BC，g:
AB，若fg:
AC是单射，则（B）
A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射
15、设函数f:
BC，g:
AB，若fg:
AC是满射，则（C）
A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射
16、设函数f:
BC，g:
AB，若fg:
AC是双射，则（D）
A、f,g都是单射B、f,g都是满射C、f是单射,g是满射D、f是满射,g是单射
二、填充题（每题4分）
1、设m,Yn，则从到Y有2mn种不同的关系，有nm种不同的函数．
2、设m,Yn，且mn，则从到Y有Anm种不同的单射．
3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．
，若为奇数
4、设f为自然数集N上的函数，且f
若为偶数，
n
种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!
种
则f（0）0，f[{0}]{0}，f[{1,2,3}]{1}，f[{0,2,4,6,}]N．
5、设f,g是自然数集N上的函数,N,f
则fg，．
g，
三、问答计算题（每题10分）
1、设A{2，3，4}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系
R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此
关系R及其逆关系R1是否为函数？
为什么？
解：
R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}，则R的关系图为：
R的关系矩阵为MR
100
000
100
1
关系R不是A到B的函数，
因为元素2，4的象不唯一
逆关系R1也不是B到A的函数因为元素7的象不存在．
2、设Z为整数集，函数f：
ZZZ，且f（,y）y，问f是单射还是满射？
为什么？
并求f（,）,f（,）．
解：
Z,0,ZZ，总有f（0,），则f是满射；
对于1,2,2,1ZZ,，有f（1,2）3f（2,1），而1,22,1，则f非单射；
f（,）2,f（,）0．
3、设A{1,2}，A上所有函数的集合记为AA,“”是函数的复合运算，试给出AA上运算“”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？
解：
因为A2，所以A上共有224个不同函数，令A
f
1
（1）1,f
（2）2;
A
，其中：
f
（1）1,f
（2）1;f
（1）2,f
（2）2;f
（1）2,f4
（2）1
A
f1为A中的幺元，f1和f4有逆元．
4、设R为实数集，函数f：
RRRR，且f（,y）y,y，问f是双射吗？
为什么？
并求其逆函数f
1（,y）及ff（,y）．
解：
，若，有，则，故是单射；
2
2且f（,y）y,yu,v，则f是满射，故为双射；
；
22
ff（,y）f（y,y）f（2,2y）．f
，令
uv
，y
uv
，则,yRR，
（,y）
四、证明题（每题10分）
1、设函数f：
AB，g：
BC，g和f的复合函数gf：
AC，试证明：
如果gf是双射，那么f是单射，g是满射．证明：
1,2A且f
（1）f
（2）B，
则gf
（1）g[f
（1）]g[f
（2）]gf
（2），因gf是单射，有12，故f是单射；
，因是满射，，使]
，而f（a）B，故g是满射．
注：
如果gf是单射，那么f是单射；如果gf是满射，那么g是满射．
2、设f是A上的满射，且fff，证明：
fIA．
证明：
因f是满射，则对aA，存在a1A，使得f（a1）a，则ff（a1）f[f（a1）]f（a），由fff，知a1a，于是f（a）a，由a的任意性知fIA．
3、设函数f：
AB，g：
BA，证明：
若f证明：
因f
11
，则gfIA,fgIB．
则
（y）A，有g（y）,f，
于是，对yB，有fg（y）f[g（y）]f，知；
又fg1，则对A,f，有，
于是，对A，有gf]g（y）IA，知gfIA．
4、设函数f：
AB，g：
BA，证明：
若gfIA,fgIB，则f
1g,fg
．
证明：
因恒等函数IA是双射，则gf是A上的双射，有f是单射，g是满射；
同样，恒等函数IB是双射，则gf是B上的双射，有f是满射，g是单射；
所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：
设函数f：
AB，g：
BA，证明：
f
．
．
5、设函数f：
AB，g：
B（A），对于bB，g（b）{Af，为的幂集，证明：
如果是到的满射，则是到的单射．
证明：
12B,因f是满射，y1,y2A,使f（y1）12f（y2）,则y1y2；
又由g的定义知，y1g
（1）,y2g
（2），故有g
（1）g
（2），则g是B到（A）的单射．
让教师左手翻试卷，右手敲键盘登分成为可能Ecel登分王myecel
第二十五教时
教材：
对数函数性质的应用
目的：
加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。
过程：
一、复习：
对数函数的定义、图象、性质
二、例一求下列反函数的定义域、值域：
1．y22解：
要使函数有意义，必须：
①
loga
（2）0
②
由
①：
10
由
②：
当a1时必须21
当0a1时必须21R
综合
①
②得10且0a111421解：
要使函数有意义，必须：
210即：
21211422当10时
（2）ma11∴0244值域：
∵11∴10从而211
1∴242∴loga
（2）loga例二比较下列各数大小：
1．log0.30.7与log0.40.3
11yloga（0a1）4411∴0222∴0y4422．ylog2（225）
解：
∵225对一切实数都恒有2254∴函数定义域为R从而log2（225）log242即函数值域为y23．ylog1（245）
3解：
∵log0.30.7log0.30.31log0.40.3log0.40.4
1∴log0.30.7log0.40.3
．和
解：
函数有意义，必须：
5由15
∴在此区间内（245）ma9
∴02459
从而log1（245）log192即：
值域为y2
331解：
∵0log0.60.81log3.40.7031∴log3.40.7log0.60.8
3．log0.30.1和log0.20.1
解：
log0.30.14．yloga
（2）
1log0.10.30log0.20.11log0.10.20
免按学号顺序登分，免登分前整理试卷成为可能Ecel登分王
让教师左手翻试卷，右手敲键盘登分成为可能Ecel登分王myecel∵log0.10.3log0.10.2∴log0.30.1log0.20.1
例三已知f，试比较和g的大小。
3解：
f
4∴y2y10y2y1
∴y在（6,）上是减函数。
三、作业：
《课课练》P869P87“例题推荐”123
P88“课时练习”891014331当或01时f1013442当341即时f43001433当1或3时f01134444综上所述：
（0,1）（,）时f；时f
334（1,）时f
3例四求函数ylog1（2318）的单调区间，并用单调定义给予证明。
2解：
定义域231806或3
单调区间是（6,）设1,2（6,）且12则
y1log1（13118）y2log1（23218）
2222（13118）（23218）=（21）（213）
∵216∴2102130
∴2321813118又底数02222112免按学号顺序登分，免登分前整理试卷成为可能Ecel登分王
一次函数的性质
回顾旧知：
1.作函数图象有几个步骤？
（列表-----描点-------连线）2.一次函数图象有什么特点？
（一次函数图象是一条直线，其中，正比例函数的图象是经过原点（0，0）的一条直线.）
3、作出一次函数图象需要描出几个点？
（只需要两个点）
【学习目标】
1.结合图像探索并掌握一次函数y＝k＋b（k≠0）的性质。
2.能根据一次函数的图像和性质解决简单的数学问题。
3、通过对一次函数性质的探索与应用，领会数形结合的思想方法。
【自主探索】
（一）自学指导：
自学教材P48—P50内容，完成以下内容：
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
2y=3－2和y=+1
32、在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
3y=－+2和y=－－123.根据前两题的函数图像观察自变量从小变到大时函数y的值分别有何变化？
4.请同学们在小组内进行交流讨论，并试着总结一次函数y=k+b（k≠0）的性质。
（二）自学效果检测：
2、下图中哪一个是y=-1的大致图象：
（）
3、上图中哪一个是y=-+2的大致图象（）
4、函数y=-2+4，y=-3，y=3-的共同性质是（）A.它们的图象都不经过第二象限B.它们的图象都不经过原点C.函数y都随自变量的增大而增大D.函数y都随自变量的增大而减小
5、下列一次函数中，y的值随的增大而减小的有
（1）y=10-9
（2）y=-0.3+2（3）y=
【合作提升】
1.利用函数y=-2+2的图象,回答下列问题：
（1）这个函数中,随着的增大,y将增大还是减小?
它的图象从左到右怎样变化?
（2）当取何值时,y=0?
当取何值时,y＞0?
当0
5-4（4）y=（2-3）
12、已知点（2,m）、（-3,n）都在直线y=+1的图象上，试比较m和n的
6大小.
【当堂检测】
1.一次函数y=k+b中，k≠0kb>0,且y随的增大而减小，则它的图象大致为（
）
A
B
C
D
2、关于的一次函数y=（2m－1）+m-1的图象与y轴的交点在轴的上方，求m的取值范围。
3、点P1（1，y1），点P2（2,y2）是一次函数y=-4+3的图象上两个点，且1
）
A、y1>y2
B、y1>y2>0
C、y1
D、y1=y2
4、若一次函数y=k+b（k≠0）的函数值y随的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（
）A.k>0,b>0
B.k>0,b0
D.k
1、一次函数y=3+b的函数图象经过原点，则b的值是.2、已知一次函数y=k+b的图象交y轴于正半轴，且y随的增大而减小，则k，b,请写出符合上述条件的一个关系式：
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