立体几何知识点.docx
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立体几何知识点
高中数学-立体几何
1.平面
平面的基本性质：
掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：
由点在线上，线
在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者
用同一法证明两平面重合
2.空间直线.
（1）.空间直线位置关系三种：
相交、平行、异面•相交直线：
共面有且仅有一个公共点；平行
直线：
共面没有公共点；异面直线：
不同在任一平面内，无公共点
［注］:
①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（X）（也可能两条直线平行，也可
能是点和直线等）
2直线在平面外，指的位置关系是平行或相交
3若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.
4两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
5在平面内射影是直线的图形一定是直线.（X）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
6在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（X）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）
7a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面
8异面直线判定定理：
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线
（不在任何一个平面内的两条直线）
（2）.平行公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（直线与直线所成角［0,90］）（向量与向量所成角［0,180］）
推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等
（3）.两异面直线的距离：
公垂线段的长度.
空间两条直线垂直的情况：
相交（共面）垂直和异面垂直
［注］：
ll」2是异面直线，则过ll」2外一点P,过点P且与ll」2都平行平面有一个或没有，但与ll」2距离
相等的点在同一平面内•（L!
或L2在这个做出的平面内不能叫L!
与L2平行的平面）
3.直线与平面平行、直线与平面垂直
（1）.空间直线与平面位置分三种：
相交、平行、在平面内
（2）.直线与平面平行判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直
线和这个平面平行•（“线线平行线面平行”）
［注］:
①直线a与平面内一条直线平行，则a//.（X）（平面外一条直线）
2直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交•（X）（平面外一条直线）
3若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行•（V）（不是任意一条直线，可利
用平行的传递性证之）
4两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面•（X）（可能在此平面内）
5平行于同一个平面的两直线平行•（X）（两直线可能相交或者异面）
6直线l与平面、所成角相等，则//•（X）（、可能相交）
（3）•直线和平面平行性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行•（“线面平行线线平行”）
（4）•直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面
垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直
若PA丄,a丄AO，得a丄PO（三垂线定理），
三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直
线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：
如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
性质：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
（5）a・垂线段和斜线段长定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线
段比任何一条斜线段短•［注］垂线在平面的射影为一个点•［一条直线在平面内的射影是一条直线•（X）］
b・射影定理推论：
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在
这个角的平分线上。
4.平面平行与平面垂直.
（1）.空间两个平面的位置关系：
相交、平行•
（2）.平面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平
面平行•（“线面平行面面平行”）
推论：
垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行
［注］:
一平面内的任一直线平行于另一平面•
（3）.两个平面平行的性质定理：
如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行
（“面面平行线线平行”）
（4）.两个平面垂直判定一：
两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直
两个平面垂直判定二：
如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面•（“线
面垂直面面垂直”）
注：
如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系
（5）.两个平面垂直性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也
垂直于另一个平面.
推论：
如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面
简证：
如图，在平面内过0作OA0B分别垂直于l1,l2，
因为PM,0A,PM,0B则PMOA,PMOB•所以结论成立
简记为：
成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有图1
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有
5.棱柱.棱锥
（1）.棱柱.
a.①直棱柱侧面积：
SCh（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的
2斜棱住侧面积：
sC」（C1是斜棱柱直截面周长，I是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面
展开图为平行四边形得出的.
b.｛四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四棱柱｝｛正方体｝.
｛直四棱柱｝｛平行六面体｝=｛直平行六面体｝.
a.①正棱锥定义：
底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心
［注］:
L正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形•（不是等边三角形）
ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等
正棱锥定义的推论：
若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为
iii.
2（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直
d.平行六面体：
定理一：
平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.［注］:
四棱柱的对角线不一定相
交于一点•
定理二：
长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和
推论一：
长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，，，则cos2cos2cos21.
推论二：
长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，，，则
cos2cos2cos22.
［注］:
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱•（X）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
3对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体•（X）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
4棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱•（两条边可能相交，
可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
（2）•棱锥：
棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形
［注］:
①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱•
正多边形.
注：
S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）
b.棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的
高相等（它叫做正棱锥的斜高）
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形•
c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心
2棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心
3棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心
4棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心
5三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心
6三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心
7每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;
iii.
O
r
空间四边形OABC!
四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形
iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形
证：
取AC中点O'，贝UooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH
易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形•若对角线等，则EFFGEFGH为正方形•
（3）.球：
a.球的截面是一个圆面
①球的表面积公式：
S4R2.②球的体积公式：
V4R3.
3
b.纬度、经度：
1纬度：
地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.
2经度：
地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面
附：
①圆柱体积：
V
r2h（r为半径，
h为高）
②圆锥体积：
V
-r2h（r为半径，
3
h为高）
③锥体体积：
V
1
-Sh（S为底面积,
3
h为高）
，得
（1）•①内切球：
当四面体为正四面体时，设边长为
h
.32a，
4
S侧
角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.
（1）.a.共线向量：
共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合
注：
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（X）［当b0时，不成立］
2向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（X）［可能异面］
3若a//b，则存在小任一实数，使ab.（X）［与b0不成立］
4若a为非零向量，贝U0a0.（V）［这里用到b（b0）之积仍为向量］
b.共线向量定理：
对空间任意两个向量a,b（b0）,a//b的充要条件是存在实数（具有唯一性），
使ab.
c.共面向量：
若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a//.
d.①共面向量定理：
如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对X、y使Pxayb.
*■■■—申
②空间任一点0和不共线三点A、B、C,则OPxOAyOBzOC（xyz1）是PABC四点共
面的充要条件•（证：
0P（1yz）OAyOBzOCAPyABzACP、AB、C四点共面）
注：
①②是证明四点共面的常用方法•
（2）.空间向量基本定理：
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一
的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.
OPxOAyOBzOC（这里隐含x+y+z工1）.
注：
设四面体ABCD勺三条棱,
ABb,ACc,ADd,其
•彳ff
中Q是厶BCD的重心，则向量AQ-（abc）用AQAM
3uu对空间任一点O和不共线的三点AB、C,满足OP
MQ即证.
uuuuuuxOAyOB
uiur
zOC,
C
D
推论：
设OA、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使
则四点P、AB、C是共面xyz1
纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）
①令a=（ai,a2,a3）,b（b1,b2,d）,
a?
b
空间两个向量的夹角公式cosa,b
1a11b1Ja：
a；af
（a=⑻总忌）,b=⑹也血））。
②空间两点的距离公式：
d（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2.
b.法向量：
若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a,如果a那
么向量a叫做平面的法向量.
c.向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：
如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中
A，则点B到平面的距离为3
|n|
CD
②•异面直线间的距离d
ll」2是两异面直线，其公垂向量为
C、D分别是l1,l2上
任一点，d为l1,l2间的距离）.
③.直线AB与平面所成角
urnrurABmu"
arcsin_u（m为平面的法向量）.
|AB||m|
④.利用法向量求二面角的平面角定理：
设
n1,n2分别是二面角I中平面
的法向量，则
ni小2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
ni,n2方向相同，则为补角,
ni,“2反方，则为
其夹角）•二面角l
的平面角
urr
mn
arccos_或
|m||n|
urr
mnu
arccos—（m，
|m||n|
n为平面，的
法向量）•
d.证直线和平面平行定理：
已知直线
平面
a,C,D，且C、
D、E三点不共线,
则a//的充要条件是存在有序实数对
使AB
CDCE.
（常设ABCD
CE求解，若
存在即证毕，若，不存在，则直线AB与平面相交）
AB
7.知识网络
.再anH串■筈*颐；虫理星雄逊I
-I药丽査迪旧活希逐鼻・
_什遇■平刮
随料栢平卫：
9JL\
1三・wt定Ki
i丽^曲草討」
——
a
性质定理
判定定理
性橋定理
线钱平行
判宦定理
圾面垂直
魏IE耳行
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