高考立体几何知识点.docx
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高考立体几何知识点
知识点一：
常用空间几何体
1、棱柱
1）棱柱的定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
2）棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形 ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 ③过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形
2、棱锥
1）棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 。
2）棱锥的性质：
①侧棱交于一点。
侧面都是三角形 ②平行于底面的截面与底面是相似的多边形，而且其面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方 。
3）正棱锥
①正棱锥的定义：
如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
②正棱锥的性质：
各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
知识点二：
四公理三推论
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
作用：
①判断点在面内的依据②判定点在面内的方法
公理2：
如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
作用：
① 判定两个平面相交的依据 ②判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：
过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
作用：
①确定一个平面的依据②证明几点共面
推论1:
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
作用 ①判定若干条直线共面的依据 ②判断几何图形是平面图形的依据③判断若干个平面重合的依据
推论2：
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
※平行公理：
平行于同一直线的两条直线互相平行
※等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
注：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（2）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。
﹙3﹚如果两条直线与另两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等
﹙4﹚如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，但方向相反,那么这两个角相等
﹙5﹚如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补
知识点三：
空间中点线面的位置关系
1、点线、点面位置关系：
点在或不在线（面）上。
注意符号的使用
2、线线位置关系：
①平行：
没有公共点．②相交：
至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上． 相交包括垂直相交和斜交．
3、线面位置关系：
①平行：
没有公共点。
②相交：
只有一个公共点③异面：
没有公共点
4、面面位置关系：
①平行：
没有公共点②相交（包括垂直）：
有一条公共线（交线）
知识点四：
平行垂直的判定
一、平行关系
1、线线平行：
（1）定义：
如果两共面直线无公共点，那么这两条直线平行
2、线面平行：
（1）定义：
一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行（常用于反证）
（2）判定定理：
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（即线线平行推线面平行）
注：
①垂直于同一条直线的两个平面平行②平行于同一个平面的两个平面平行．
（3）性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
（即线面平行推线线平行）
注：
1）、若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）
2）、两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）
3）、过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个
4）、一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等
5）、夹在两个平行平面间的平行线段相等且两个平行平面间的距离处处相等
3、面面平行
1、定义：
如果两个平面总不相交，则称这两个平面平行
2、判定：
①如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行
推论①如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。
（可理解为法向量平行的平面平行）
②如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
③如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行
3、性质：
①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面
②两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行
③两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。
（判定定理1的逆定理）
推论:
两个平行平面的垂线平行或重合
④三个平行平面截两条直线，形成的对应线段成比例。
推论：
经过三角形一边作一个平面（与三角形所在平面不重合），与此平面平行的平面截三角形另外两边（或延长线）所得的线段对应成比例。
二、垂直关系
（一）、直线与平面垂直
1、线面垂直定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
交点叫做垂足。
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：
a⊥α。
2、直线与平面垂直的判定方法：
①利用定义。
②判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③其它方法：
（Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。
（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。
3、性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
4、三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
说明：
（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
Ⅱ、平面与平面垂直
1、两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
2、两平面垂直的判定方法：
①利用定义。
②判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
推理模式：
4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：
直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：
两平面的法向量垂直。
Ⅲ、要有升降维”思想，熟练掌握各类垂直的相互转化：
每一垂直的判定就是从某一垂 直开始转向另一垂直最终达到目的。
例如：
有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。
运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。
运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。
平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。
二）、基本概念
1、距离：
空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：
点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离：
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：
如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。
（2）点到平面的距离：
平面外一点P 在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：
○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
（3）直线与平面的距离：
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。
（4）平行平面间的距离：
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：
应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：
①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
2、夹角：
空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为（0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）两条异面直线所成的角：
求法：
○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2
0（
，向量所成的角范围是],0[，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角：
求法：
“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。
（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的：
解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。
通常的作法有：
（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，
其中S 为斜面面积，S′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角。
3、等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4、空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的。
平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况；几何法在书写上体现：
“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步；向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。
主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。
各种距离之间具有一定的相互转化关系，特别是点面距，它是求线面距和面面距的基础，要熟练掌握。
求点面距在高考中经常涉及到的方法有等体积转换、向量法等，当然如果能将距离作出来，然后利用解三角形的知识解决，也是一种很好的思路
❧方法清单❃
一、
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：
由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合
（4）
二、平行关系
1.证明线线平行的方法：
（1）平行公理；
（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.
2.线面平行的证明方法：
（1）线面平行的定义；
（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：
证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.
线面平行的证明思考途径：
线线平行
线面平行
面面平行.
3.面面平行的证明方法：
①反证法:
假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:
垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：
证明两个平面的法向量平行.
三、垂直关系
1.证明线线垂直的方法：
（1）异面直线所成的角为直角；
（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.
2.线面垂直的证明方法：
（1）线面垂直的定义；
（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：
证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：
线线垂直
线面垂直
面面垂直.
3.面面垂直的证明方法：
①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：
证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一
般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.
1．利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同．同时注意根据异面直线所成的角的范围（0，
]得出结论．
2．利用向量法求线面角的方法
一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；
二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
3．利用空间向量求二面角可以有两种方法：
一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：
设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉（或π－〈n1，n2〉）．
4．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
5、点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H.由
＝
＋
及
·n＝n·
，得|
·n|＝|n·
|＝|
|·|n|，所以|
|＝
，即d＝
.
【考点剖析】
一．明确要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.
3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题.
4.理解直线的方向向量与平面的法
向量．
5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
6.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题．
7.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二．命题方向
1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题.
2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题.
3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用．题型多以选择题、解答题为主．难度中、低档.
4、利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力．题型多为解答题，难度中档.
三．规律总结
两种方法
异面直线的判定方法：
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
三个作用
（1）公理1的作用：
①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
（2）公理2的作用：
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．
（3）公理3的作用：
①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．
一个关系
平行问题的转化关系：
两个防范
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．
（2）把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
一个关系
垂直问题的转化关系
三类证法
（1）证明线线垂直的方法
①定义：
两条直线所成的角为90°；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：
a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；
④线面垂直的性质：
a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：
a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；
②判定定理1：
⇒l⊥α；
③判定定理2：
a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
④面面平行的性质：
α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
⑤面面垂直的性质：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
（3）证明面面垂直的方法
①利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：
a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
向量
一种方法
用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：
（1）适当的选取基底{a，b，c}；
（2）用a，b，c表示相关向量；
（3）通过运算完成证明或计算问题．
两个理解
（1）共线向量定理还可以有以下几种形式：
①a＝λb⇒a∥b；
②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.
③若
，
不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是
＝λ
＋μ
且λ＋μ＝1.
（2）对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．
四种运算
空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．
三种成角
（1）异面直线所成的角的范围是
；
（2）直线与平面所成角的范围是
；
（3）二面角的范围是[0，π]．
易误警示
利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
2．注意求体积的一些特殊方法：
分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
3．等积变换法：
利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
1．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
三．规律总结
（1）解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”
作出截面图．
（2）等积法：
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．
一个规律三视图的长度特征：
“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图
和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（1
）正棱柱：
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）正棱锥：
底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正
多边形的中心．
重心：
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
外心：
三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心：
三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心：
三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心：
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心
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