奥数小学奥数系列第十五讲 数学竞赛试题选讲 2.docx

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奥数小学奥数系列第十五讲数学竞赛试题选讲2

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：

1+2+22+23+…+29+210

分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．

解：

设S=1+2+22+23+…+29+210

（1）

　　用2乘以上式的两边可得

　　2S=2+22+23+…=210+211

（2）

　　用

（2）式减去

（1）式的两边，得

　　S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+…+29+210）

　　=211-1

　　=2048-1

　　=2047．

例2计算：

1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10

分析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．

解：

设S=1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10

（1）

　　用2乘以上式的两边可得

　　2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9

（2）

　　用

（2）式减去

（1）式的两边，得

　　S=1+2×0.5+2×（0.5）2+2×（0.5）3＋…+2×（0.5）8+2×（0.5）9-19×（0.5）10

　　=1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10

　　再设A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3）

　　用2乘以（3）式的两边可得：

　　2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）

　　用（4）式减去（3）式两边，得

　　A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375

　　于是，有：

　　S=1+1.99609375-19×（0.5）10

　　=2.99609375-19×0.0009765625

　　=2.99609375-0.0185546875

　　=2.9775390625．

例3计算：

11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102

解：

利用裂项法，有

　　11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，

　　12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，

　　13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，

　　…

　　100×101×102

　　=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，

　　把这90个等式相加，得

　　原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4

　　=25×101×102×103-10×11×3×13

　　=26527650-4290

　　=26523360．

例4规定a*b=ab（其中a、b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*（3*2）．

解：

由5*3=53=125

　　125*2=1252=15625，

　　即有

　　（5*3）*2=15625

　　又由

　　3*2=32=9，

　　5*9=59=1953125

　　即有

　　5*（3*2）=1953125．

　　说明：

规定新的代数运算是一类以近世代数为基础的新题型，近年来多次出现于国内外的数学竞赛题中．解这类问题的关键在于牢记新运算的定义，在计算时严格遵照规定的法则代入数值，遇到括号要优先运算．

　　值得注意的是，有些规定的新运算未必满足交换律或结合律．譬如，本例实质上是乘方运算，由计算结果可知

　　（5*3）*2≠5*（3*2）

　　这就是说，本例规定的运算不满足结合律．又如，运算a△b=3×a-b÷2就不满足交换律，事实上

　　1△2=1×3-2÷2=3-l=2，

　　2△l=2×3-1÷2=6-0.5-5.5，

　　即

　　1△2≠2△1．

　　并且

　　=（a×b+a+b）×c+（a×b+a+b）+c

　　=a×b×c+a×c+b×c+a×b+a+b+c，

　　=a×（b×c+b+c）+a+（b×c+b+c）

　　=a×b×c+a×b+a×c+a+b×c+b+c，

　　从而有

　　=5+7=12，

　　因此

例5互为反序①的两个自然数之积是92565，求这两个互为反序的自然数．

注释：

①例如1204与4021是互为反序的自然数，而120与21不是互为反序的数．

解：

①这两个自然数必是三位数．

　　首先，这两个自然数不能是小于100的数，因为小于100的两个最大的反序数是99和99，而99×99＜92565．

　　其次，这两个自然数也不能大于998，因为大于998的两个最小的反序数是999与999，而999×999＞92565．

　　由于a×c的个位数字是5，可以推得：

　　a×c=1×5或3×5或5×5或7×5或9×5；

　　而当a×c≥3×5时有

　　即

　　这是不合题意的．因此，我们可以断定：

　　a×c=1×5，

　　不妨设a=1，c=5.

　　又由于b是0，1，2，…，9之一，经检验，只有b=6符合题意，这时有165×561=92565．

　　答：

所求的两个互为反序的自然数是165和561．

如果a≠4，b≠3，c≠2且d≠1，那么满足上述条件的四位数一共有多少个？

分析分类、枚举、筛选是解决这类组合计数问题的基本思路．

解：

依题意，因为a≠4，所以分三类讨论：

　　①首位数字a=1时，百位数字b可取2或4，于是可以画出如下“树形图”①：

注释：

①树形图是图论中常用的一种分类的直观表示方法．

　　再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：

　　最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：

　　②首位数字a=2时，百位数字b可取1或4，于是画出如下树形图：

　　再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：

　　最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：

　　③首位数字a=3时，类似①、②可以画出如下树形图：

　　说明。

本例实质上是著名的“错装信封的问题”．

例7一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶．从地面上到最上面一级台阶，共有多少种不同的迈法？

分析按照规定的上楼梯方式，依次考虑楼梯的阶数是1级、2级、3级、4级、…的情况：

（用记号an表示n级台阶的楼梯的迈法总数）

　　①当n=1时，显然只有一种迈法，即a1=1；

　　②当n=2时，可以一步一级地走二步上到最上面一级台阶，也可以一步迈二级直接上到最上面一级台阶，因此共有2种不同的迈法，即

　　a2=2；

　　③当n=3时，可以一步一级地走上楼，也可以一步三级上楼，还可以第一步迈一级、第二步迈二级或第一步迈二级、第二步迈一级上楼，因此共有4种不同的迈法，即

　　a3＝4；

　　④当n=4时，分三种情况来分别讨论迈法：

　　1°若第一步迈一级台阶，则还剩下3级台阶，由③可知有a3=4（种）迈法；

　　2°若第一步迈二级台阶，则还剩下2级台阶，由②可知有a2=2（种）迈法；

　　3°若第一步迈三级台阶，则还剩下1级台阶，由①可知有a1=1（种）迈法；

　　综合上述，4级台阶的楼梯总共有：

　　a4=a3+a2+a1=4+2+l=7（种）

　　不同的迈法；

　　④n=5，6，7，8，9，10时，类似地有：

　　答：

按照规定的上楼方式，一个有10级台阶的楼梯共有274种不同的迈法．

　　说明：

本例通过研究楼梯的级数是相邻自然数时相应迈法之间的关系，从而由1级、2级、3级台阶的迈法总数，逐步推导出4级、5级、…、直至10级台阶的楼梯的迈法总数．这种解决问题的思想方法，通常称为归纳递推方法．

例8摩托车赛全程共281公里，全程被划分若干阶段，每一阶段中有的是由一段上坡路（3公里）、一段平路（4公里），一段下坡路（2公里）和一段平路（4公里）组成的；有的是由一段上坡路（3公里）、一段下坡路（2公里）和一段平路（4公里）组成的．已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路，问：

全程中包含两种阶段各几段？

分析用假设法解应用题．

解：

因为两种路段都各包含一小段上坡路，故摩托车跑了25段上坡路，即可理解为共跑了两种路段数为25．第一种路段的长是

　　3+4+2+4=13（公里），

　　第二种路段的长是

　　3+2+4=9（公里）

　　假设摩托车跑了25段都是第一种路程，那么跑了

　　13×25=325（公里）．

　　这样比全程多跑了

　　325-281=44（公里）．

　　又因为每一段第一种路段比第二种路段长

　　13-9=4（公里），

　　所以，第二种路段恰有

　　44÷4=11（段），

　　于是，第一种路段有

　　25-11=14（段）．

　　说明：

本例的实质是我国传统的鸡兔同笼问题，在此处以行程问题的面目出现．

赠：

小学五年级数学竞赛题

1.把自然数1.2.3.4.....的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011.......已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位?

2. 在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255，乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365，那么正确的乘积是多少？

3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？

4、把自然数1、2、3、4......的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213.....已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？

5、恰有两位数字相同的三位数共有几个？

6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202，这群孩子至少有几人？

7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

现已知最后一次甲仍然摆了10块，而乙不足10块，如果他们一共摆了3000多块，那么他们摆的准确的数字是多少块？

8、有50个同学，头上分别戴着编号为1、2、3、4......49、50的帽子。

他们按编号从小到大的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：

从1号同学开始，按顺时针方向1、2、1、2....地报数，接着报1的同学全部退出圆圈，报2的同学仍留在圆圈上。

依次报下去......

（1）当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是______。

（2）如果游戏规则改为：

报2的同学全部退出，报1的同学仍留在圆圈上。

当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是_____。

一生的事业

———牢记使命，不忘初心

有人说一辈子很长，可以慢慢的享受成长带来的各种惊喜和喜悦，有的人说一辈子很短，必须要加紧行走的步伐，才能不会错过成长中的每一次惊吓，每一次惊喜，每一次无奈。

但我想说的是无论是从出生到成长的每一个过程都有一个初心，一辈子可能有很多目标，但总归起来就只有一个目的：

要活好，所有的努力和奋斗都是为了能够让自己活得精彩，活的值得。

无论是时光变迁还是年岁的增长，我们要始终不忘初心，牢记使命，永远奋斗，才会活出精彩。

每一个成长时期的不同，要学会和掌握的技能也不同，但最终的目的就是要把自己的工作和学习做到位，做得漂亮，才是我们的初衷，我们现在在学习的岗位上，看似不起眼，但是需要做的却很多，因为我们要比别人更用心，更努力地去学习每一个知识，知识就是我们以后的第二衣食父母，以后我们面对各种问题，需要有不同的方式方法去面对，才能做社会有用的人。

比如：

面对老人我们要伸手去扶一把，因为我们是一个有爱心，有责任心的小学生；看到有孩子摔跤我们要伸手拉一把，因为我们是有道义，有良心的小学生。

牢记使命，不忘初心！

对我感触最深的事就是我们语文老师满满爱心自己掏钱为我们班同学买课外书，我们心里都有一种无限的感动和莫名的崇拜感，老师课上课外的千叮咛万嘱咐，连放学都还要不辞辛劳的带上马路，悉心照顾好我们每一个孩子，让每一位孩子安全回家，并且再三的强调在回家路上注意安全等等。

一连串的关心和不放心，都是出自于老师的真心和热情，这份情不是用钱可以买到的，这是老师出自内心最真诚的声音，是对这个充满爱的事业使命的驱使！

是老师不忘初心，牢记使命的结晶！

是社会主义核心价值观最真实的体现！

不忘初心，牢记使命，永远奋斗，虽然是简简单单的十二个字，但是包含的却是很多很多，需要我们小学生用心去体会，用心去做，用心去传承，才是我们一辈子唯一的真谛。