5.［2014•陕西卷，2］函数f（x）＝cos的最小正周期是（ ）
A.B．πC．2πD．4π
答案 B
解析 ∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝π，故选B.
2、填空题
1.［2016•江苏卷，9］定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．
答案 7
解析 在同一平面直角坐标系中作出y＝sin2x与y＝cosx在区间[0,3π]上的图象（如图）．由图象可知，共有7个交点．
2.［2014•大纲卷，16］若函数f（x）＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则a的取值范围是________．
答案 （－¡Þ，2]
解析 f（x）＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx，
令t＝sinx，x∈，则t∈，原函数化为y＝－2t2＋at＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y＝－2t2＋at＋1在上是减函数，结合抛物线图象可知，¡Ü，所以a¡Ü2.
3.［2014•北京卷，14］设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．
答案 π
解析 记f（x）的最小正周期为T.
由题意知¡Ý－＝，
又f＝f＝－f，且－＝.
可作出示意图如图所示（一种情况）：
∴x1＝¡Á＝，
x2＝¡Á＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
三、解答题
1.［2017•浙江卷，18］已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2sinxcosx（x∈R）．
（1）求f的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
解
（1）由sin＝，cos＝－，
得f＝2－2－2¡Á¡Á，
所以f＝2.
（2）由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得
f（x）＝－cos2x－sin2x＝－2sin，
所以f（x）的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得＋2kπ¡Ü2x＋¡Ü＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ¡Üx¡Ü＋kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．
2.［2015•北京卷，15］已知函数f（x）＝sincos－sin2.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[－π，0]上的最小值．
解
（1）因为f（x）＝sinx－（1－cosx）＝sinx＋－，
所以f（x）的最小正周期为2π.
（2）因为－π¡Üx¡Ü0，所以－¡Üx＋¡Ü.
当x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值．
所以f（x）在区间[－π，0]上的最小值为f－＝－1－.
第3讲简单的三角恒等变换
1、选择题
1.［2018•全国?
，4］若sinα＝，则cos2α＝（ ）
A.B.C．－D．－
答案 B
解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝，故选B.
2.［2017•山东卷，9］在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A
答案 A
解析 ∵等式右边＝sinAcosC＋（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAcosC＋sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinB，
等式左边＝sinB＋2sinBcosC，
∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.
由cosC＞0，得sinA＝2sinB.
根据正弦定理，得a＝2b.故选A.
3.［2016•全国?
，9］若cos＝，则sin2α＝（ ）
A.B.C．－D．－
答案 D
解析 解法一：
sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2¡Á2－1＝
－.故选D.
解法二：
cos＝（cosα＋sinα）＝cosα＋sinα＝1＋sin2α＝，
∴sin2α＝－.故选D.
4.［2016•全国?
，5］若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝（ ）
A.B.C．1D.
答案 A
解析 当tanα＝时，原式＝cos2α＋4sinαcosα＝＝＝＝，故选A.
5.［2015•全国?
，2］sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（ ）
A．－B.C．－D.
答案 D
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝.
6.［2015•重庆卷，9］若tanα＝2tan，则
＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析
＝
＝
＝＝＝3，故选C.
7.［2015•全国?
，8］设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A．3α－β＝B．3α＋β＝
C．2α－β＝D．2α＋β＝
答案 C
解析 由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin（α－β）＝cosα，
又cosα＝sin，所以sin（α－β）＝sin，又因为α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，因此α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.
8.［2013•浙江卷，6］已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝（ ）
A.B.C.－D.－
答案 C
解析 （sinα＋2cosα）2＝，展开得3cos2α＋4sinαcosα＝，再由二倍角公式得·cos2α＋2sin2α＝0，故tan2α＝＝－＝－，选C.
9.［2013•重庆卷，9］4cos50°－tan40°＝（ ）
A.B.C.D.2－1
答案 C
解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°－
＝
＝
＝
＝
＝＝，故选C.
2、填空题
1.［2018•全国?
，15］已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝______.
答案 －
解析 解法一：
因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以（1－sinα）2＋（－cosα）2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝¡Á－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.
解法二：
由（sinα＋cosβ）2＋（cosα＋sinβ）2＝1，得2＋2sin（α＋β）＝1，所以sin（α＋β）＝－.
2.［2017•全国?
，14］函数f（x）＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
答案 1
解析 f（x）＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.
∵x∈，∴cosx∈[0,1]，
∴当cosx＝时，f（x）取得最大值，最大值为1.
3.［2017•北京卷，12］在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos（α－β）＝________.
答案 －
解析 由题意知α＋β＝π＋2kπ（k∈Z），
∴β＝π＋2kπ－α（k∈Z），sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα.
又sinα＝，
∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2¡Á－1＝－.
4.［2017•江苏卷，5］若tan＝，则tanα＝________.
答案
解析 ∵tan＝＝＝，
∴6tanα－6＝1＋tanα（tanα¡Ù－1），∴tanα＝.
tanα＝tan＝＝＝.
5.［2016•浙江卷，10］已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0），则A＝________，b＝________.
答案 1
解析 ∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，∴A＝，b＝1.
6.［2016•四川卷，11］cos2－sin2＝________.
答案
解析 由二倍角公式易得cos2－sin2＝cos＝.
7.［2016•江苏卷，14］在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanA·tanBtanC的最小值是________．
答案 8
解析 ∵sinA＝2sinBsinC，∴sin（B＋C）＝2sinBsinC，
即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，
亦即tanB＋tanC＝2tanBtanC，
∵tanA＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝－＝，
又△ABC为锐角三角形，
∴tanA＝>0，tanB＋tanC>0，
∴tanBtanC>1，
∴tanAtanBtanC＝·tanB·tanC＝，
令tanBtanC－1＝t，则t>0，∴tanAtanBtanC＝＝2¡Ý2¡Á（2＋2）＝8，当且仅当t＝，即tanBtanC＝2时，取¡°＝¡±．
∴tanAtanBtanC的最小值为8.
8.［2014•全国Ⅱ，14］函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．
答案 1
解析 f（x）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）
＝sin（x＋φ）cosφ＋cos（x＋φ）sinφ－2sinφcos（x＋φ）
＝sin（x＋φ）cosφ－sinφcos（x＋φ）
＝sin（x＋φ－φ）
＝sinx，
∴f（x）的最大值为1.
9.［2013•全国Ⅰ，15］设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝_____.
答案 －
解析 由辅助角公式得：
f（x）＝·＝sin（x－φ），其中sinφ＝，cosφ＝，由x＝θ时，f（x）取得最大值得：
sin（θ－φ）＝1，∴θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，即θ＝φ＋＋2kπ，∴cosθ＝cos＝－sinφ＝－.
10.［2013•四川卷，13］设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．
答案
解析 解法一：
由sin2α＝－sinα2sinαcosα＝－sinα，
∵α∈，∴sinα¡Ù0，
∴cosα＝－，则sinα＝，
∴tanα＝－，
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