人教版六年级下册数学51鸽巢问题.docx
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人教版六年级下册数学51鸽巢问题
小学语文学习材料
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鸽巢问题
1. 教学目标
1.1知识与技能:
1.初步了解“抽屉原理”,会运用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。
2.通过操作、观察、比较、推理等数学活动,引导学生理解并掌握这一类“抽屉原理”的一般规律。
1.2过程与方法:
经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,体会比较的学习方法。
1.3情感态度与价值观:
感受数学的魅力,提高学习数学的兴趣和应用意识,培养学习数学的兴趣。
2. 教学重点/难点
2.1教学重点
经历抽屉原理的探究过程,理解抽屉原理,灵活运用抽屉原理解决生活中的简单问题。
2.2教学难点
理解“总有”、“至少”,构建“抽屉原理”的数学模型,并对一些简单的实际问题加以模型化。
3. 教学用具
多媒体课件,铅笔,笔筒,一副扑克牌
4. 教学过程
一、开门见山,引入课题
师:
课前老师表演了一个魔术,其实,这里面蕴含了一个重要的数学原理——抽屉原理(板书:
抽屉原理)。
看到这个课题,你有什么问题要问吗?
学生提出问题:
什么是抽屉原理?
怎样研究抽屉原理?
抽屉原理有什么用?
等等。
师:
同学们都很爱提问题,也很会提问题,这节课我们就带着这些问题来研究。
二、自主探究,构建模型
1.教学例1,初步感知,体验方法,概括规律。
师:
我们先从简单的例子入手,请看,如果把4个小球放进3个抽屉里,我可以肯定地说,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放2个小球。
稍加停顿。
师:
“总有”是什么意思?
生:
一定有。
师:
“至少放2个小球”你是怎样理解的?
生:
最少放2个小球,也可以放3个、4个。
师:
2个或比2个多,我们就说“至少放2个小球”。
师:
老师说的这句话对吗?
我们得需要验证,怎么验证呢?
华罗庚说过不懂就画图,下面请同学们用圆形代替小球,用长方形代替抽屉,画一画,看有几种不同的方法。
也可以寻求其他的方法验证,听明白了吗?
开始吧!
学生活动,教师巡视指导。
汇报交流。
师:
哪位同学愿意把你的方法分享给大家?
一生上前汇报。
生1:
可以在第一个抽屉里放4个小球,其他两个抽屉空着。
师:
这4个小球一定要放在第一个抽屉里吗?
生:
不一定,也可以放在其他两个抽屉里。
师:
看来不管怎么放,总有一个抽屉里放进4个小球。
这种放法可以简单的记作4,0,0。
不好意思,接着介绍吧。
生:
第二种方法是第一个抽屉里放3个小球,第二个抽屉里放1个,第三个抽屉空着,也就是3,1,0;第三种方法是2,2,0;第四种方法是2,1,1。
(此环节可以先让一名学生汇报,其他学生补充、评价)
师:
他找到了4种不同的方法,谁来评一评?
生2:
他找的很全,并且排列的有序。
师:
除了这4种放法,还有没有不同的放法?
(没有)谢谢你的精彩展示,请回。
看来,把4个小球放进3个抽屉里,就有这4种不同的方法。
同学们真不简单,一下子就找到了4种放法。
出示课件,展示4种方法。
师:
请同学们仔细观察、分析每一种放法,对照老师的猜测,我们凭什么就说“总有一个抽屉里至少放两个小球”呢?
生:
第一种放法有一个抽屉里放4个,大于2,符合至少2个,第二种放法有一个抽屉里放3个,也大于2,符合至少2个,第三种放法有一个抽屉里放2个,符合至少2个,第四种放法有一个抽屉里放2个,符合至少2个。
所以,总有一个抽屉里至少放两个小球。
师:
说得有理有据。
谁愿意再解释解释?
(再找一名学生解释)
师:
原来呀!
这两位同学关注的都是每种方法当中放的最——多的抽屉,分别放了几个小球?
(4个、3个、2个、2个)最少放了几个?
(2个),最少2个,有的超过了2个,我们就说至少2个。
确实,不管怎么放,我们都找到了这样的一个抽屉,里面至少放2个小球。
看来,老师的猜测对不对?
(对)是正确的!
师:
刚才,同学们在研究的时候,采用了一一列举的方法(板书:
列举法),列举法是我们研究问题时常用的方法,它非常的直观。
除了像刚才这样,把所有的放法都一一列举出来,还有什么方法也能证明老师的猜测是正确的呢?
有没有一种更直接的方法呢?
生1:
把小球分散地放,每个抽屉里先放1个小球?
剩下的1个小球任意放在其中的一个抽屉里,这样总有一个抽屉里至少放了两个小球。
生2:
先把小球平均放,余下的1个小球不管放在哪个抽屉里,一定会出现总有一个抽屉里至少放了2个小球。
师:
每个抽屉里先放1个小球,也就是我们以前学过的怎么分?
生:
平均分。
师:
为什么要先平均分?
生:
先平均分,就能使每个抽屉里的小球放得均匀,都比较少,再把余下的1个小球任意放在其中的一个抽屉中,这样一定会出现“总有一个抽屉至少放了2个小球”。
课件演示。
师:
假设每个抽屉先放1个小球,余下的1个小球可以任意放在其中的一个抽屉里,这样就会发现,不管怎么放,总有一个抽屉至少放2个小球。
这种方法叫假设法。
(板书:
假设法)它体现了平均分的思想,你能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来?
生:
4÷3=1……1,1+1=2。
教师随机板书:
4÷3=1……1,1+1=2
师:
这两个“1”表示的意思一样吗?
生:
不一样,第一个“1”表示每个抽屉里分得的1个小球,第二个“1”表示剩下的那个小球,可以放在任意一个抽屉里。
师:
第一个“1”就是先分得的1个小球,也就是除法中的商,第二个“1”是剩下的1个小球,可以任意放在其中的一个抽屉中。
瞧,用算式来表示多么地简洁明了。
师:
同学们真聪明,用列举法和假设法,都验证了老师的猜测是正确的。
对比这两种方法,假设法出现的这种的情况,其实就是列举法当中第几种放法所出现的情况?
生:
第四种放法出现的情况。
师:
你认为用列举法和假设法进行验证,哪种方法比较简便?
为什么?
生:
假设法,列举法需要把所有的情况都一一列举出来,假设法只需要研究一种情况,并且可以用算式简明地表示出来。
师:
请同学们根据刚才的研究经验和方法,想一想,如果把5个小球放进4个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放几个小球?
生:
2个,先往每个抽屉里放一个小球,这样还剩下1个,剩下的1个小球任意放在一个其中的一个抽屉里,这样,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放2个小球。
生2:
我是用算式表示的,5÷4=1……1,1+1=2,总有一个抽屉至少放2个小球。
师:
把6个小球放进5个抽屉里,总有一个抽屉里至少放几个小球呢?
生:
6÷5=1……1,1+1=2,还是总有一个抽屉里至少放2个小球。
师:
把7个小球放进6个抽屉里呢?
生:
总有一个抽屉里至少放2个小球。
师:
接着往后想,你能继续说吗?
生:
把7个小球放进6个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放2个小球。
生:
把8个小球放进7个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放2个小球。
师:
咱们能说完吗?
(不能)是不是有什么规律呢?
你能概括地说一说吗?
生1:
小球个数和抽屉个数都依次增加1,总有一个抽屉里至少放的小球个数都是2.
生2:
当小球的个数比抽屉数多1时,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放2个小球。
师:
你们真善于概括总结!
2.教学例2,深入研究,提升思维,构建模型。
师:
刚才我们研究了小球数比抽屉数多1时,总有一个抽屉至少放2个小球,当小球数比抽屉数多2、多3,甚至更多,又会出现什么情况呢?
想不想继续研究?
(想)
师:
我们在6个小球放进5个抽屉的基础上继续研究,抽屉数不变,小球的个数增加1,7个小球放进5个抽屉里,总有一个抽屉至少放几个小球?
生1:
7÷5=1……2,1+2=3。
师:
有不同意见吗?
生2:
7÷5=1……2,1+1=2。
师:
出现了两种不同的声音,这两位同学都是用7÷5=1……2,不同点是一位同学认为是1+1=2,另一位同学认为是1+2=3。
到底哪种想法正确呢?
你能谈谈自己的意见吗?
生3:
我赞同1+1=2。
因为余下的2个还要分到不同的抽屉里,所以总有一个抽屉至少放2个小球。
出示课件。
师:
大家看,把7个小球放进5个抽屉,都同意每个抽屉先放1个是吗?
余下的2个怎么放?
是一块儿放到一个抽屉里,还是怎么放呀?
生:
把其中的1个小球放到任意一个抽屉里,再把另1个小球放到和它不同的抽屉里。
师:
你的意思是说,把这两个小球怎样放?
(分开放)为什么要分开放?
生:
这样能使每个抽屉里的小球都尽可能地少,一定会出现“总有一个抽屉里至少放2个小球”。
师:
是呀!
由于我们找的是“总有一个抽屉里至少放几个小球”,所以应该把这2个小球分别放到不同的抽屉里,应该是什么?
(1+1=2。
)看来呀,先把小球平均分,再把余下的小球分开放,这才是解决此类问题的关键。
师:
感谢刚才三位同学,给我们的课堂带来了不同的声音,使我们的认识越来越深刻,掌声送给他们!
师:
抽屉数不变,再增加小球的个数,会出现什么情况?
生:
8÷5=1……3,1+1=2,“总有一个抽屉里至少放2个小球”。
师:
小球数再增加1个。
生:
9÷5=1……4,1+1=2,也是“总有一个抽屉里至少放2个小球”。
师:
总有一个抽屉里至少放的小球个数怎么还是3呀?
生:
先往每个抽屉中放1个小球,再把余下的4个小球任意放在4个不同的抽屉里,这样“总有一个抽屉里至少放2个小球”,所以还是1+1=2。
师:
小球数再增加1个,(10÷5=2)还用加1吗?
(不用)正好分完。
师:
再增加1个。
生:
11÷5=2……1,2+1=3,总有一个抽屉里至少放3个小球。
师:
刚才都是1+1,现在怎么变成2+1了?
生:
抽屉数不变,小球数增加了,导致商变了,商变了,总有一个抽屉里至少放的小球数也变了。
师:
请同学们推想一下,小球个数是几的时候,总有一个抽屉里至少放的小球个数还是3?
生:
13,14,15。
如果学生出现不同的数,教师及时纠正。
师:
同学们太聪明了,这里面是不是有什么规律呢?
请同学们认真观察思考,总有一个抽屉里至少放的小球个数,我们是怎么得到的?
生:
用小球的个数除以抽屉数,如果有余数,用商加1,如果没有余数,总有一个抽屉至少放的小球个数等于商。
出示课件:
把小球放进抽屉里,如果平均分后有剩余,那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个;如果正好分完,总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。
师:
其实,抽屉里不仅可以放小球,还可以放其他的物体呢?
这句话就变成了:
把物体放进抽屉里,如果平均分后有剩余,那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个;如果正好分完,总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。
我们一起自豪地读一读。
师:
其实,我们发现的这个规律,就是这节课所要研究的“抽屉原理”。
它最早是由19世纪德国数学家狄里克雷提出来的,所以这个原理又叫“狄里克雷原理”。
三、运用模型,解释应用
1.鸽巢问题,沟通联系。
师:
刚才我们是借助抽屉和小球来研究的,在有的国家是借助用鸽子和鸽巢问题来研究的。
课件出示:
5只鸽子飞进3个鸽巢,总有一个鸽巢至少飞进几只鸽子?
生:
总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。
师:
同学们在解决这个问题的时候,自觉不自觉地就把5只鸽子看成了什么?
(5个小球)5个小球也可以叫做5个待分的物体,把3个鸽巢看成了什么?
(3个抽屉)。
瞧,鸽巢原理诞生了。
2.拓展应用,提升方法。
师:
抽屉原理在生活中有着广泛的应用,这两个问题,你会解决吗?
课件出示:
(1)把7支铅笔放进2个文具盒里,总有一个文具盒至少放几支铅笔?
(2)把11枚硬币放进4个口袋里,总有一个口袋至少放几枚硬币?
学生解决后,汇报交流。
师:
刚才我们用抽屉原理解决了一些问题,这些问题统称为抽屉原理问题,解决该类问题的关键是找出什么是待分的物体,什么是抽屉。
抽屉原理就是解决该类问题的一种方法或者叫做模型。
3.揭秘魔术,首尾照应。
师:
还记得课前表演的魔术吗?
你能利用抽屉原理揭秘课前的魔术吗?
生:
把5张牌看作5个待分的物体,把4种花色看作4个抽屉,5÷4=1……1,1+1=2,所以,至少有2张牌是同一花色的。
师:
你真会学习,利用抽屉原理帮助大家把课前的魔术揭秘了,其实,老师并不懂得什么魔术,只是应用了抽屉原理。
课堂小结
1、回顾小结
鸽巢问题就是运用了抽屉原理来解决问题的,是与生活息息相关的一类有趣的数学问题。
实际上都是同学们运用以前的知识就可以解决的问题,遇到此类题目时我们可以从多个角度、
多个方面去思考。
2、畅谈收获
师:
不知不觉,一节课即将结束,你有哪些收获呢?
学生从知识、方法、情感等方面畅谈收获,教师给予积极评价。
师:
最后,老师给大家提个建议,回家以后,把今天学的抽屉原理讲给爸爸妈妈听!
板书
鸽巢问题
(1)
(4,0,0),(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1)
只要放进的小球数比抽屉的数量多1,总有一个抽屉至少放进2个小球
7÷3=2……1 2+1=3
要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c≠0,且c<n),
那么一定有一个抽屉至少可以放(b+1)个物体。