全等三角形练习题含答案26394.docx

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全等三角形练习题含答案26394

七年级全等测试　

一．选择题（共3小题）

1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2B．3C．1D．2

3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：

①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC；其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①②③C．①③D．②③

二．解答题（共11小题）

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．

（1）求证：

∠ABD=∠ACD；

（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

5．

（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．

6．已知：

在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：

△ABC是等边三角形．

7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：

BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？

请利用图②说明理由．

8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．

（1）求证：

△AMC≌△CNB；

（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：

DE=DF．

10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．

（1）求证：

△OPA≌△OPB；

（2）若AB=6，求AE的长．

11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．

（1）CD与BE相等？

若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）若∠BAC=90°，求证：

BF2+CD2=FD2．

12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．

求证：

DF=EF．

13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：

EM=FN．

14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：

D为BC的中点．

答案　

一．选择题（共3小题）

1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：

∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF

∴△ABE≌△ACF

∴BE=CF

∠BAE=∠CAF

∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC

∴∠1=∠2

△ABE≌△ACF

∴∠B=∠C，AB=AC

又∠BAC=∠CAB

△ACN≌△ABM．

④CD=DN不能证明成立，3个结论对．

故选：

B．

2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2B．3C．1D．2

【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC．

∴∠BAC=∠C．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

∴∠ABD=∠CAE．

∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．

∴∠BPF=∠APD=60°．

∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，

∴∠PBF=30°．

∴PF=

．

故选：

A．

3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：

①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC；其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①②③C．①③D．②③

【解答】解：

∵OA⊥OB，OC⊥OD，

∴∠AOB=∠COD=90°．

∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，

即∠COB=∠AOD．

在△AOB和△COD中，

，

∴△AOB≌△COD（SAS），

∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．

在△AOD和△COB中

，

∴△AOD≌△COB（SAS）

∴∠CBO=∠ADO，

∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO，

即∠ABC=∠CDA．

综上所述，①②③都是正确的．

故选：

B．

二．解答题（共11小题）

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．

（1）求证：

∠ABD=∠ACD；

（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

【解答】证明：

（1）∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC

即：

∠BAE=∠CAD

在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD

∴∠ABD=∠ACD

（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角

∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC

∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC

∵∠ABD=∠ACD

∴∠BAC=∠BDC

∵∠ACB=65°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=65°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°

∴∠BDC=∠BAC=50°．

5．

（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．

【解答】解：

（1）证明：

延长AE交DC的延长线于点F，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠F，

在△AEB和△FEC中，

，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠EAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠F，

∴∠EAD=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，

（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF，

6．已知：

在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：

△ABC是等边三角形．

【解答】证明：

∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，

∴∠AED=∠CFD=90°，

∵D为AC的中点，

∴AD=DC，

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF，

∴∠A=∠C，

∴BA=BC，∵AB=AC，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形．

7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：

BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？

请利用图②说明理由．

【解答】

（1）证明：

连接AD，如图①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵点D为BC的中点，

∴AD=

BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，证明如下：

连接AD，如图②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，

，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．

（1）求证：

△AMC≌△CNB；

（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

【解答】解：

（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，

∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，

∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

，

∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）∵△AMC≌△CNB，

∴CM=BN=5，

∴Rt△ACM中，AC=

=

=

，

∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=

，

∴AB=

=

=2

．

9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：

DE=DF．

【解答】证明：

连接CD．

∵在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点．

∴CD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线．

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，CD=BD=AD．

又∵DE⊥DF

∴∠EDC=∠FDB

在△ECD和△FBD中

∴△ECD≌△FDB（ASA）

∴DE=DF

10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．

（1）求证：

△OPA≌△OPB；

（2）若AB=6，求AE的长．

【解答】解：

（1）∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

又∵PA=PB，PO=PO，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP；

（2）∵△OPA≌△OPB，

∴∠APE=∠BPE，

又∵PA=PB，

∴AE=BE，

∴AE=

AB=3．

11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．

（1）CD与BE相等？

若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）若∠BAC=90°，求证：

BF2+CD2=FD2．

【解答】解：

（1）CD=BE，理由如下：

∵△ABC和△ADE为等腰三角形，

∴AB=AC，AD=AE，

∵∠EAD=∠BAC，

∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，

即∠EAB=∠CAD，

在△EAB与△CAD中

，

∴△EAB≌△CAD，

∴BE=CD，

（2）∵∠BAC=90°，

∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ABF=∠C=45°，

∵△EAB≌△CAD，

∴∠EBA=∠C，

∴∠EBA=45°，

∴∠EBF=90°，

在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，

∵AF平分DE，

∴AF垂直平分DE，

∴EF=FD，

由

（1）可知，BE=CD，

∴BF2+CD2=FD2

12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．

求证：

DF=EF．

【解答】证明：

∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．

在Rt△POD和Rt△POE中，

，

∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），

∴OD=OE．

在△ODF和△OEF中，

，

∴△ODF≌△OEF（SAS），

∴DF=EF．

13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：

EM=FN．

【解答】证明：

∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，

∴PF=PE，

在Rt△PEM和Rt△PEN中

，

∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL），

∴EM=FN．

14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：

D为BC的中点．

【解答】证明：

∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，

∴∠CFD=∠BED=90°，

在△BED和△CFD中，

∴△CDF≌△BDE（AAS）

∴CD=BD．

∴D为BC的中点．