第三章-测度论PPT课件下载推荐.ppt

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,设有实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数使得,

（1）非负性：

（2）有限可加性：

如果两两不相交，那么,（3）正则性：

该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如0,1中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。

勒贝格测度公理：

设有实数直线上的一部分集合族，使得每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数，满足,

（1）非负性：

（2）可列可加性：

问题：

是否每一个集合都有测度？

内填外包法（测量不规则图形的面积）,内填：

内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。

外包：

外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。

当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。

集合E,闭集,取包含E的那些开集的测度的下确界外测度,用来填上E的内部的闭集的测度的上确界内测度,外测度和内测度相等可测,开集,1外测度,1、勒贝格外测度,设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，做出它的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，即,例题1：

有限点集的外测度是0.,例题2：

可数点集的外测度为0.设E为0,1中的全体有理数，则,可得到：

有理数所成之集是零测集。

2、勒贝格外测度性质,

（1）,

（2）非负性：

（3）单调性：

设，则,（4）次可数可加性,例题3：

可数个零测积之和集是否为零测集？

例题4：

康托集是零测集。

（3）正则性：

包含在中的所有有限开区间。

3、勒贝格外测度涵义,优点：

任何集合都有外测度。

例题5：

对于区间I有,缺点：

外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。

对外测度加以限制，设法在中找出某一集合类，在上满足,

（1）封闭性：

对某些运算应该封闭；

（2）可数可加性：

如何从中挑出集合类呢？

如下构造：

从可加性条件加以思考，附加一个判断中集合属于的条件即可。

设，如果，由于中任何开区间I都属于，由的运算封闭性，则所以有

（1）,反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于,引理：

设，则

（1）是对中任何开区间都成立的充要条件是对中的任何点集T都有,2可测集,1、勒贝格测度,设E为中的点集，如果对任一点集T都有,则称E是L可测的，这时E的L外测度即称为E的L测度，记为,2、勒贝格测度运算性质,

（1）集合E可测对于,总有,

（2）S可测可测。

（3）设可测，则也可测，并且当,对于任意集合T总有,推广：

设可测，则也可测，并且当,对于任意集合T总有,（4）设可测，则也可测。

推广：

设可测，则也可测。

（5）设可测，则也可测。

（6）设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且,推广：

设是一列可测集，则，也是可测集。

（7）设是一列递增的可测集：

令，则,（8）设是一列递降的可测集：

令，则当时，,3、勒贝格测度性质,

（1）,

（2）非负性：

设可测，且，则,（4）可列可加性：

设是一列互不相交的可测集,3可测集类,1、零测集,凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。

零测集性质：

（1）零测度集的任何子集都为零测度集。

（2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。

2、常见可测集,

（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合，且

（2）凡开集、闭集皆可测。