Lee和Zipkin（1992）研究了一个近似值图表，这个图标描述的是多阶段生产系统的绩效评估，其中每个阶段都被看成是一个外生的，连续的供应系统。
“外生的”一词用来强调他们的假设，即每个阶段的工作量独立于系统中其他阶段。
每个供应系统延迟都以参数为νi=μi（1−ρi）的指数分布。
在我们的模型中，这等同于假设每个阶段都是个M/M/1队列。
Lee和Zipkin的近似值方法之所以适用于系统是因为每个阶段的处理延迟在忽略阶段间联系的情况下能够被看成是一个连续、阶段性的分布。
Buzacott等人（1992）描述了在图表1（b）两阶段系统的第二阶段中间到达时间的分布特征。
他们发现第二阶段中间到达时间的变异系数在0.8~1之间。
因此，他们建议对于两阶段队列系统使用M/M/1近似值法。
实际上，无论是bd>0还是bd=0，目的都是寻找一个共同的队列占用水平（和之前开篇讲的共同性呼应）。
两篇文章都指出，通过仿真取得的估计和用近似值法的绩效估计的结果是很接近的。
他们也指出，近似法对于寻找最优基本库存水平问题也是很精确的。
在这片文章中，我们应用了他们的近似法来评价使用DD系统的绩效估计。
我们的目的提出一个用于有用的快速建模工具，这就表示，一个合适的折中。
下面的命题2描述了利息绩效评估，证明类似于等式1~4的方法：
命题2：
在一个DD系统中，期望库存，延迟订货水平以及订单履行时间如下：
另外，订单履行时间超出提前期x（x>0）的可能性FX（bf）:
现在考虑两种生产系统中在制品库存。
在纯MTS系统中，每个生产阶段都是一个使用系数为ρi的M/M/1的队列，因此，总在制品库存是
（参见Kleinrock（1975））。
因为带有DD的MTS阶段的确是个M/M/1的队列，平均在制品库存是ρ1/（1−ρ1）。
尽管MTO阶段不是M/M/1的队列，但它非常接近于M/M/1的队列。
（LeeandZipkin,1992）
因此，纯MTS和DD系统中的平均在制品库存是非常接近的。
这就是为什么相关库存成本没有包含在制品库存成本的原因。
Zf（bf）和Zd（bd）分别代表MTS和DD系统的期望成本。
那么对于有服务水平约束的系统,Zf（bf）=hfMIf（bf）和Zd（bd）=hdId（bd）。
对于基于成本的系统，目标是总期望库存持有和延迟订单成本最小，即
Zf（bf）=M（hfIf（bf）+βB（bf））和Zd（bd）=hdId（bd）+βB（bd）.
从纯MTS系统和DD系统的实际情况看，基础库存水平bd或者bf的平均库存水平不断地增加，而平均订单延迟和未超过提前期延迟的可能性都不断降低。
就此可以得出结论，最优的bd和bf就是适合给定服务水平下的bd和bf最小值。
对于基于成本的系统，Zf（bf）和Zd（bd）的函数分别关于bf和bd的凸函数，因此，对于MTS系统最优基础库存水平是符合Zf（bf+1）−Zf（bf）≥0的最小整数bf，对于DD系统最优基础库存水平是符合Zd（bd+1）−Zd（bd）≥0的最小整数bd。
想获得一个MTS系统的最优基础库存水平表达式是很难的。
然而，可以从数值上很容易地计算出来。
对于DD系统它的绩效评估列在命题2中，最优基础库存水平的近似表达可以从每个问题公式中导出。
以上表现在下面的命题中（证明省略）。
命题3.对于一个DD系统，以目标最小期望库存成本，在期望订单履行时间不超过α时，那么：
其中
代表t的上限。
如果用超过提前期x的订单补充时间的可能性上限来评价服务绩效，那么：
如果以最小期望持有和延迟订货总成本最小为目标，那么：
值得注意的是，基于成本的系统，它的最优基本库存是独立的ρ2，
独立的原因在于DD所有物料是被延迟订货的。
3.2分析与比较
接下来，我们将比较大量数值试验中MTS和DD系统的最优成本。
从这些实验得到的模型如下，我们也将评论这些观察值对操作管理者的重要性。
之后在第五部分，我们将共同看到在有着紧密联系的系统中，数值试验中最优成本函数的限制作用的的确确与成本代数函数的限制作用是相互匹配的。
然而，我们还无法通过严格的数学参数来证明在这一部分余下的结果。
我们分别看看下面三个方面：
（i）装载的影响（ii）产品的数量（iii）期望服务水平。
系统设计目标是期望库存持有成本最小，并保持平均订货延迟低于最大允许水平。
然而，当超过给定提前期的订单延迟订货的可能性确定，或者是当使用单纯成本函数时，定性的观测比较有效。
适当时差异表现显著。
因为当
时，
，当bd-->0和bf-->0时，
，只有当
时DD和MTS的比较才有意义。
如果
那么DD不是一个可取的选择而必须采取纯MTS系统。
另一方面，如果
，那么将没有必要保持库存，则纯MTS系统为最好的选择。
3.2.1载荷（使用系数ρ1，ρ2）的影响
图表2显示了我们第一个实验的结果，在这个是试验中，ρ1是可变的，其他的参数为定值。
纯MTS和DD两系统最优库存成本比率为
用来与ρ1进行比较。
其中，
和
。
两个系统的服务绩效值相同且不变。
因此，这个比率越大就预示着使用DD的相关成本优势大于MTS。
对于
，ρ1的影响是显著的，其中，
因为两个系统操作都在MTS形势下。
当ρ1略微比
大时，ρ1越大意味着DD系统相关成本优势增强。
这个初始的增加是一个基础库存水平的完整性的假象，因为MTS系统要求至少保持每个单元的库存对于每种产品（即时是小数量的）是最优的。
图表2.第一阶段使用DD的相对有利性。
（hf=1，hd=0.5，α=4.5，ρ2=0.8.）
ρ1增加，相应的影响减少，比率
随ρ1的减少而减少。
当ρ1->1时，
接近
，或者相当于
的比值接近于1.由于在大多数的实践中，阶段1使用比较频繁，我们期望DD的相对优势随着阶段1的稳定而较少。
只要hd<=hf时，DD系统更经济些。
观测1，当ρ1足够大时，DD相对于纯MTS的相关优势减少，有
之所以比率
会直观地降低，是因为当ρ1高时，就意味着阶段1更多的是在为补充延迟而工作。
一项接一项，半成品库存在降低补充时间方面与产成品库存相比是低效的。
与此同时，ρ1较高预示着从阶段1开始的中间开始时间是可靠的。
由于当积压物料时间的提前期非常相关时，库存积压是没有价值的，DD也变得无效。
当ρ1很大时，DD和MTS系统都要求库存水平与所要求的服务水平相匹配。
最后，
和
激增，使
趋于他们所持有成本率。
比率
在不同的方面受
的变化的影响。
首先注意，类似于ρ1，当：
没有库存，那么这两个系统是等价的。
然而，与ρ1的影响形成对照，比率
随ρ2的增加而单调递减ρ2。
当
时，对于足够大的ρ2来说，DD比起MTS来说要贵的多，最终不可行。
这些影响在表1中的样例系统中有体现。
DD系统是日益不合适的主要原因可以用DD系统的事实来解释，唯一的补偿阶段2的长时间延迟的方法就是通过持有更多的半成品库存来减少阶段1的延迟。
随着越来越多的库存，增加半成品库存方法的效果逐渐地不显著（见方程8）。
这就要求DD系统用适当较大的库存来与目标订单履行时间相称。
表格1.阶段2使用率对比率的影响，比率
观察2.随着ρ2的增加，DD变得不合适，当ρ2足够大时，DD对于MTS是个较差的策略，最终不可取。
3.2.2．产品数量的影响
图表3，产品数量对DD系统相关效益的影响
产品数量的影响体现在
比率上，见图表3.在这个图表中，对于固定的^改变M。
M的变大相当于MTS系统产成品库存要分段存储，或者相当于一个相对优势更大的拥有库存积压的DD系统。
换句或说，这个比率随M的增加而增加。
为了满足订单履行时间的约束，MTS系统需要保证至少一个单元的库存。
由于个别物料的需求，因此库存的需要随M降低，对于足够大的M，对于每种物料，MTS系统都要恰到好处地保持一个单元库存，使该物料的成本与M成线性关系。
相反，从公式6和8可以看出，DD系统的订单延迟和库存持有成本没有受到影响。
这就可以解释，当M较大时，为什么比率
与M成线性关系。
然而，由于bf和bd被约束为整型，所以M不总是单调增加的。
尤其是，整型bf优势导致选择一个比满足订单延迟要求的精确数较高的库存水平。
结果，在一个限制范围内，M的很小增长会导致平均库存水平显著降低。
（见图表3）
当了解到M对
的影响之后，其结果对于一个单纯成本公式是不同的。
在基于成本公式中，当M足够大时，产成品库存没有存货同时MTS系统简化成了一个纯MTS系统。
这时，
是不变的。
观察3.对于给定服务水平的系统，
与M成线性关系，当M足够大时，对于基于成本系统，比率将不受M的影响。
3.2.3服务水平的影响
改变服务水平的影响如图表4所示。
这里为了进行有意义的比较，令
改变
其中，
当
时，没有库存并且生产按MTO模型进行。
因此，增大α就意味着增大DD系统缓解订单延迟的有效性。
正如我们所见，一个很小的订单延迟松弛（缓解）常常使DD系统的相对优势减弱，因为它要求系统保持更多的库存。
事实上，当
足够小时，DD系统比MTS系统昂贵些。
当阶段2的使用率较高时，这个影响是非常显著的。
降低服务水平松弛的总体影响与增加利用率的影响相当。
因此，
的影响可以用类似案例中随ρ1、ρ2增加的变化来描述。
实际上，这表明，当顾客不愿意有些延迟时，DD系统不是一个经济的策略。
图表4.服务水平对DD系统相对优势的影响。
（hf=1,hd=0.5,ρ1=ρ2=0.85）.
观察4.DD系统的相对价值随服务水平要求的增加而降低。
当阶段2使用率较高时，这种降低尤为显著。
（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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