常微分方程习题和答案及解析.docx

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常微分方程习题和答案及解析

第十二章常微分方程

（A）

1．任意微分方程都有通解。

（）

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

（）

3．函数y3sinx4cosx是微分方程yy0的解。

（）

4．函数yx2ex是微分方程y2yy0的解。

（）

12

5．微分方程xylnx0的通解是ylnxC（C为任意常数）。

（）

6．ysiny是一阶线性微分方程。

（）

7．yx3y3xy不是一阶线性微分方程。

（）

8．y2y5y0的特征方程为r22r50。

（）

9．dy1xy2xy2是可分离变量的微分方程。

（）

dx

1．在横线上填上方程的名称

1y3lnxdxxdy0是。

2xy2xdxyx2ydy0是。

3xyln是。

dxx

4xyyx2sinx是。

5yy2y0是。

2．ysinxyxcosx的通解中应含个独立常数。

3．ye2x的通解是。

4．ysin2xcosx的通解是。

5．xy2x2y2x3yx41是阶微分方程。

6．微分方程yyy60是阶微分方程。

1

7．y1所满足的微分方程是。

x

8．y2y的通解为。

x

9．dxdy0的通解为。

yx

10．dy2yx152，其对应的齐次方程的通解为

dxx1

11．．方程xy1x2y0的通解为。

12．3阶微分方程yx3的通解为。

1．微分方程xyyxy3y4y0的阶数是（）。

A．3B．4C．5D．2

2．微分方程yx2yx51的通解中应含的独立常数的个数为（）。

A．3B．5C．4D．2

3．下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0的解（）。

A．y2xB．yx2C．y2xD．yx

2

4．微分方程y3y3的一个特解是（）。

3323

A．yx1B．yx2C．yxCD．yC1x

5．函数ycosx是下列哪个微分方程的解（）。

A．yy0B．y2y0C．yny0D．yycosx

6．yC1exC2ex是方程yy0的（），其中C1，C2为任意常数。

A．通解B．特解C．是方程所有的解D．上述都不对

7．yy满足y|x02的特解是（）。

x

A．yex1B．y2exC．y2e2D．y3ex

8．微分方程yysinx的一个特解具有形式（）。

**

A．yasinxB．yacosx

10．微分方程yy0满足初始条件y01的特解为（）

A．exB．ex1C．ex1D．2ex

11．在下列函数中，能够是微分方程yy0的解的函数是（）

A．y1B．yxC．ysinxD．yex

12．过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yyx应满足的关系是（）。

A．y2xB．y2xC．y2x，y13D．y2x，y13

13．下列微分方程中，可分离变量的是（）。

A．dyyeB．dykxaby（k,a,b是常数）dxxdx

C．dysinyxD．yxyy2exdx

14．方程y2y0的通解是（）。

A．ysinxB．y4e2xC．yCe2xD．yex

15．微分方程dxdy0满足y|x34的特解是（）。

yx

A．x2y225B．3x4yCC．x2y2CD．x2y27

16．微分方程dy1y0的通解是y（）。

dxx

C1

A．CB．CxC．1CD．xCxx

17．微分方程yy0的解为（）。

A．exB．exC．exexD．ex

18．下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是（）。

222

A．xyCB．x2y2CC．Cxy0D．Cx2y0

19．微分方程2ydydx0的通解为（）。

A．yxCB．yxCC．yxCD．yxC

20．微分方程cosydysinxdx的通解是（）。

A．sinxcosyCB．cosysinxC

C．cosxsinyCD．cosxsinyC

21．yex的通解为y（）。

A．exB．exC．exC1xC2D．exC1xC2

22．按照微分方程通解定义，ysinx的通解是（）。

A．sinxC1xC2B．sinxC1C2

C．sinxC1xC2D．sinxC1C2

四、解答题

1．验证函数yCe3xe2x（C为任意常数）是方程dye2x3y的通解，

dx

并求出满足初始条件y|x00的特解。

2．求微分方程xy21dxy1x2dy0的通解和特解。

y|x01

3．求微分方程dyytany的通解。

dxxx

yxy

4．求微分方程yx的特解。

y|x12

5．求微分方程yycosxesinx的通解。

6．求微分方程yysinx的通解。

dxx

7

7．求微分方程x1y2yx120的特解。

y|x01

8．求微分方程y2yx满足初始条件x0，y1，y3的特解。

x1

9．求微分方程y2yy满足初始条件x0，y1，y2的特解。

10．验证二元方程x2xyy2C所确定的函数为微分方程

x2yy2xy的解。

11．求微分方程exyexdxexyeydy0的通解。

12．求dyytanxsecx，y|x00的特解。

dx

13．验证y1cosx，y2sinx都是y2y0的解，并写出该方程的通

解。

22

14．求微分方程y的通解。

x

15．求微分方程y1yex0满足初始条件y10的特解。

x

16．求微分方程dy2yx13的通解。

dxx1

17．求微分方程xdxydy0满足条件y01的特解。

1y1x

18．求微分方程yy2y0的通解。

19．求微分方程y2y5y0的通解。

20．求微分方程y4y4y0的通解。

21．试求yx的经过点M0,1且在此点与直线yx1相切的积分曲线。

2

（B）

一、是非题

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。

（）

2．若y1x，y2x都是yPxyQx的特解，且y1x与y2x线性无关，

则通解可表为yxy1xCy1xy2x。

（）

3．函数ye1xe2x是微分方程y12y12y0的解。

（）

4．曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微

分方程是yx2C（C是任意常数）。

（）

5．微分方程ye2xy，满足初始条件y|x00的特解为ey1e2x1。

（）

2

1．y1cosx与y2sinx是方程yy0的两个解，则该方程的通解为

2．微分方程y2y3y0的通解为。

3．微分方程y2yy0的通解为。

4．微分方程ye2x的通解是。

5．微分方程yy'的通解是。

6．微分方程dy2xy的通解是。

1．微分方程y4y4y0的两个线性无关解是（）。

A．e2x与2e2xB．e2x与xe2xC．e2x与xe2xD．e2x与4e2x

2．下列方程中，不是全微分方程的为（）。

A．3x26xy2dx6x2y4y2dy0B．eydxxey2ydy0

C．yx2ydxx2dy0D．x2ydxxdy0

3．下列函数中，哪个函数是微分方程stg的解（）

21212

A．sgtB．sgtC．sgtD．sgt22

4．下列函数中，是微分方程y7y12y0的解（）

A．yx3B．yx2C．ye3xD．ye2x

5．方程1x2yxy0的通解是（）。

C131x

A．yC1xB．yC．yxCxD．yCxe2

1x22

6．微分方程ylnxdxxlnydy满足y|x11的特解是（）。

2222

A．lnxlnyB．lnxlny1

C．ln2xln2y0D．ln2xln2y1

7．微分方程1x2dy1y2dx0的通解是（）

A．arctanxarctanyCB．tanxtanyC

C．lnxlnyCD．cotxcotyC

8．微分方程ysinx的通解是（）。

9．方程xyy3的通解是（）

C

y3

x

C3C

A．y3B．yCC．y3D．

xxx

1．求微分方程y9y24x6cos3x2sin3x的通解。

2．求微分方程y7y6ysinx的通解。

3．求微分方程3x22xyy2dxx22xydy0的通解。

（C）

1．只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。

2．已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解y，即可

求出它的通解。

（）

二、填空题

1．微分方程y4y5y0的通解是。

2．已知y1，yx，yx2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方

程的通解为。

3．微分方程y2y2yex的通解为。

三、选择题

1．微分方程yy2的通解为（）。

xxx21

11C

A．arctanxCB．arctanxCC．arctanxCD．arctanx

xxx

2．微分方程yy1的通解是（）

A．yCexB．yCex1C．yCex1D．yC1ex

3．xyy3的解是（）

y|x10

y1x

11

A．y31B．y31xC．y1Dxx

4．微分方程dyytany的通解为（）

dxxx

527

5．已知微分方程ypxyx11的一个特解为yx12，则此微分

3

方程的通解是（）

6．微分方程yyex1的一个特解应具有形式（式中a，b为常数）（）

A．aexbB．axexbC．aexbxD．axexbx

二、填空题

1．在横线上填上方程的名称

①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程；

④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。

121

2．3；3．eC1xC2；4．sin2xcosxC1xC25．3；

44

6．2；7．yy20；8．yCx2；9．x2y2C；

2x21

10．yCx1；11．yCxe2；12．yxC1xC2xC3。

120

三、选择题

1．D；2．A；3．B；4．B；5．C；6．A；7．B；8．C；9．A；10．A；11．C；

12．C；13．B；14．C；15．A；16．B；17．B；18．B；19．A；20．D；21．C；

22．A．

四、解答题

1．验证函数yCe3xe2x（C为任意常数）是方程dye2x3y的通解，

dx

并求出满足初始条件y|x0的特解。

2．求微分方程xy21dxy1x2dy0的通解和特解。

y|x01

解：

1y22C，2x2y21。

1x

3．求微分方程dyytany的通解。

dxxx

解：

sinyCx。

x

yxy

4．求微分方程yx的特解。

y|x12

解：

y22x2lnx2。

5．求微分方程yycosxesinx的通解。

解：

yesinxxC。

6．求微分方程yysinx的通解。

dxx

1

解：

ysinxxcosxC。

x

7．求微分方程x1y2yx120的特解。

y|x01

解：

y2x121x12。

8．求微分方程y

2yx

2满足初始条件x0，y1，y3的特解。

x1

解：

yx33x1。

9．求微分方程y2yy满足初始条件x0，y1，y2的特解。

解：

arctanyx或ytanx。

44

10．验证二元方程x2xyy2C所确定的函数为微分方程

x2yy2xy的解。

解：

略。

11．求微分方程exyexdxexyeydy0的通解。

解：

ex1ey1C。

12．求yytanxsecx，y|x00的特解。

dx

解：

yx。

cosx

13．验证y1cosx，y2sinx都是y2y0的解，并写出该方程的通

解。

解：

略。

2

14．求微分方程y2yx的通解。

x

解：

yCx2x2lnx。

1

15．求微分方程yye0满足初始条件y10的特解。

x

x

解：

yex。

x

16．求微分方程dy2yx13的通解。

dxx1

解：

yx12x1C。

2

17．求微分方程xdxydy0满足条件y01的特解。

1y1x

解：

2y3x33y2x25。

18．求微分方程yy2y0的通解。

解：

yC1exC2e2x。

19．求微分方程y2y5y0的通解。

解：

yexC1cos2xC2sin2x。

20．求微分方程y4y4y0的通解。

解：

yC1C2xe2x。

x

21．试求yx的经过点M0,1且在此点与直线yx1相切的积分曲线。

2

131

解：

yxx1。

62

（B）

1．×；2．√；3．√；4．×；5．×。

1．yC1cosxC2sinx；2．yC1exC2e3x；3．yC1C2xex；

12x2xx2

4．ye2xC1x2C2xC3；5．yC1exC26．yCex

8

1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．A；7．A；8．C；9．A．

1．求微分方程y9y24x6cos3x2sin3x的通解。

解：

yC1xcos3xC22x2xsinx3x。

2．求微分方程y7y6ysinx的通解。

解：

yC1e6xC2ex7cosx5sinx。

74

3．求微分方程3x22xyy2dxx22xydy0的通解。

解：

y2xyx2C。

x

（C）

1．×；2．√；

1．ye2xC1cosxC2sinx；2．yC1x1C2x211；

x

3．yeC1cosxC2sinx1

1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D．

1．设yex是微分方程xypxyx的一个解，求此微分方程满足条件

y|xln20的特解。

解：

代入yex到方程xypxyx中，得pxxexx

原方程为xyxexxyx

yex1Ceex，yex1y1

1

∵xln2，y0∴Ce2。

x1

ex

x2

ye1e。

2．已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex是某二阶线性非

齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

解：

y1y3ex，y3y2e2x2ex均是齐次方程的解且线性无关。

C1exC2e2x2ex是齐次方程的通解。

当C12，C21时，齐次方程的

特解为e2x

ex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。

∴C1exC2e2x是齐次方程的通解。

由此特征方程之根为-1，2，故特征方程rr20。

相应的齐次方程为yy2y0

故所求的二阶非齐方程为

yy2yfxy1是非齐次方程的特解代入上式得

fx12xex

所以yy2y12xex为所求的微分方程。

3．已知f0，试确定fx，使exfxydxfxdy0为全微分方程，

2

P得y

并求此全微分方程的通解。

解：

Pexfxy，Qfx，由Q

x

fxexfx，即fxfxex

fxeexedxCexxC

1x1

f0C，∴fxex，

22

1

xydxe

x1dy0

2

xy

解得ux,y00dx0exx

故此全微分方程的通解为exx1yC

2