浙江专用高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题.docx

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浙江专用高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题

（浙江专用）高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书

1．（2015·课标全国Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）

A.5B．2C.3D.2

答案D

解析如图，设双曲线E的方程为

x2y2

2－2＝1（a＞0，b＞0），则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点

ab

M（x1，y1）在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N（x1,0），

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，

∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，

∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝3a，

x

x2y2

22c

1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M（x1，y1）的坐标代入

a2－b2＝1，可得a＝b

，∴e＝a＝

2

a＋b2

a2＝2，选D.

2

2．设F为抛物线C：

y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则

△OAB的面积为（）

33

A.4B.

93

8C.

639

32D.4

答案D

3

解析由已知得焦点坐标为F（4，0），

33

2

因此直线AB的方程为y＝即4x－43y－3＝0.

3（x－4），

方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y－123y－9＝0，

2

故|yA－yB|＝yA＋yB－4yAyB＝6.

1139

因此S△OAB＝2|OF||yA－yB|＝2×

×6＝.

44

2

方法二联立方程得x－

21

2x＋

9

16

＝0，

故xA＋xB＝

21.

2

213

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝

＝12，

2＋2

2

同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|

4＋－43

3

2＝8，

19

4

因此S△OAB＝2|AB|·h＝.

x2y2

3．（2016·山西质量监测）已知A，B分别为椭圆

a2＋b2＝1（a>b>0）的右顶点和上顶点，直线y＝kx（k>0）

2

与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c，则椭圆的离心率为（）

1

A.3B.

1

2C.

32

3D.2

答案D

解析设C（x1，y1）（x1>0），D（x2，y2），

ab

－ab

将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝2

22，x2＝2

22，

b＋akb＋ak

2

22ab1＋k

则|CD|＝1＋k|x1－x2|＝

222.

b＋ak

akb

又点A（a,0）到直线y＝kx的距离d1＝

2，点B（0，b）到直线y＝kx的距离d2＝

1＋k

2，

1＋k

11

所以S四边形ACBD＝2d1|CD|＋2d2|CD|

2

11b＋ak2ab1＋k

＝（d1＋d2）·|CD|＝·

2·222

2

b＋ak

21＋k

b＋ak

＝ab·2

22.

b＋ak

b＋ak

令t＝2

22，

b＋ak

2

b2＋a2k2＋2abkk

则t＝b2＋a2k2＝1＋2ab·b2＋a2k2

＝1＋2ab·1

≤1＋2ab·1＝2，

2

b2

k＋ak

2

b2

2ab

b

当且仅当

k＝ak，即k＝a时，tmax＝2，

所以S四边形ACBD的最大值为2ab.

2

由条件，有2ab＝2c，

422

222

422,422442

即2c＝ab＝a（a－c）＝a－ac2c＋ac－a＝0,2e＋e－1＝0，

2122

解得e＝

或e＝－1（舍去），所以e＝

2

2，故选D.

x2y2

4．（2016·北京）双曲线a2－b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B

为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝.

答案2

解析设B为双曲线的右焦点，如图所示．

∵四边形OABC为正方形且边长为2，

∴c＝|OB|＝22，

π

又∠AOB＝4，

b

∴a＝tan

π

4＝1，即a＝b.

＋＝＝

又a2b2c28，∴a＝2.

题型一求圆锥曲线的标准方程

x2y23

例1已知椭圆C：

a2＋b2＝1（a>b>0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为3，过F2的直线l交C于A、B

两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为（）

2

2

x2y2x

A.3＋2＝1B.3＋y＝1

x2y2x2y2

C.12＋8＝1D.

答案A

＋＝1

124

解析由e＝

3c

3

，得＝

a

3

3.①

又△AF1B的周长为43，

由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，

222

代入①，得c＝1，所以b＝a－c＝2，

x2y2

故椭圆C的方程为

3＋2＝1.

思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标

准方程中的参数，从而求得方程．

（2015·天津）已知双曲线

x2y2

2－2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2,0），且双曲线的渐近

ab

22

线与圆（x－2）＋y＝3相切，则双曲线的方程为（）

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

x

2

2

－＝1

139

y

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

即3b＝4a

b216a2

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

，

∴

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过点（3，－4），∴a＝4，

22

即3b＝4ab16a

c29a2

16a2，

，∴9＝，∴9－＝

225

2

∴25a＝9c，∴e＝3.故选D.

（2）由

x＝2pt，

2

y＝2pt

（p>0）消去t可得抛物线方程为y＝2px（p>0），

p

F，0

2

3

|AB|＝|AF|＝2p，

x2y2x2y2

A.9－13＝1B.

2

2

－＝1

139

2

2

C.3－y＝1D．x－3＝1

答案D

x2y2

解析双曲线a2－b2＝1的一个焦点为F（2,0），

22

则a＋b＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a

2b

由题意得22＝3，②

a＋b

联立①②解得b＝3，a＝1，

2

y2

所求双曲线的方程为x－3＝1，选D.

题型二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2

（1）（2015·湖南）若双曲线

a2－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（）

7

A.3B.

5

4C.

45

3D.3

（2）（2016·天津）设抛物线

x＝2pt，

2

y＝2pt

（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l

7

的垂线，垂足为B.设C2p，0，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的

值为．

答案

（1）D

（2）6

b3b

解析

（1）由条件知y＝－ax过