中考复习专题：隐圆.doc

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中考复习专题：

隐型圆

一、根据圆的定义作辅助圆

例1如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．

例2、如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为  _______ 

变式1:

在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为___________

变式2：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为_________

变式3：

在平面直角坐标系中，点A的为坐标为（3，0），B为Y轴正半轴上的点，C是第一象限内的点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围为_____

变式4：

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是_______

式5：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是___________

变式6：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3,是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是__________．

变式7：

如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_________．

练习：

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

2.共端点两条线段为定长

在△ABC中，AC=4,AB=5,则△ABC面积的最大值为_____________

变式1：

已知在四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD面积的最大值为_______.

变式2：

在△ABC中，AB=3，AC=当∠B最大，BC的长是_______.

3.共端点三条线段为定长

引列如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_________.

引列图变式1图

变式1：

如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD=_______.

变式2图变式3图

变式2：

如图，在等腰△ABC中，AC=BC，∠C=70°，点P在△ABC的外部，且与点C均在AB的同侧.如果PC=BC，那么∠APC=________.

变式3：

如图，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=15°.在△OCD中，OC=OD,∠COD=45°，且点C在OA边上.连接CB，将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE=OE,则∠BOC的度数为_________.

知识架构

如图，点A（2,0）,B（6,0）,CB⊥x轴于点AC，在y轴正半轴求作点P,使∠APB=∠ACB.（尺规作图，保留作图痕迹）

归纳：

当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧

方法：

见直角找斜边（定长）想直径定外心现“圆”形。

引例已知A,B两点在直线L的异侧，在L上求作点P，使△PAB为直角三角形，（尺规作图，保留痕迹）

变式1：

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为________.

变式2：

如图，在正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF,BE相交于点P，则线段DP的最小值为________.

变式3：

直线y=x+4分别与x轴，y轴相交于M，N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0,2）长度的最小值是________.

方法三：

见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现“圆”形.

问题提出：

如图，已知线段AB，试在平面内找到符合所有条件的点C，∠ACB=30°（利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

自主探索1：

在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（-1.0），C是y轴上一动点.当∠BCA=45°时，点C的坐标为________.

自主探索1图自主探索2图

自主探索2：

在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当∠BCA=60°时，点C的坐标为_______.

自主探索3图自主探索4图

自主探索3：

在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当∠BCA=120°时，点C的坐标为_______.

自主探索4：

在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当∠BCA=135°时，点C的坐标为_______.

变式1：

如图，B是线段AC的终点，过点C的直线l于AC成60°角，在直线l上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是_______.

变式1图

变式2：

如图，在边长为2的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE=CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为_________.

变式3：

如图，点A与点B的坐标分别是A（1,0），B（5,0），P是该平面直角坐标系内的一个动点.

（1）使∠APB=30°的点P有_______个

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式4:

（1）请利用以上操作所获得的经验，在图①的矩形ABCD内部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足：

∠BPC=∠BEC，且PB=PC。

（要求:

用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹）

图①图②

（2）如图②，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A，C若点P在线段AB上滑动（点P可以与A,B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为_________.

变式5：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若BC的垂直平分线交抛物线于D，E两点，求直线DE的解析式；

（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的点P的坐标。

二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆

例如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是边BC上的一点，且AD＝１，求BD·DC的值．

三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆

例1如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

例2如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A（0，8）、B（0，2），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

例3已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．

四、四点共圆

判断四点共圆的常用方法有

（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；

（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆．判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题．

例1如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：

FE＝DE．

例2如图等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：

不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点．

例3如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14，求PB的长．　

练习

1.在直角坐标系中，过A（-1,0）和B（3,0）的⊙M上有点P.

（1）若cos∠APB=（∠APB是锐角），求⊙M的半径；

（2）在y轴上，是否存在一点D，使得∠ADB=45°？

若存在，求出点D的坐标.

2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．

（1）求直线及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标.

3.已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）B（4,0）、，抛物线过点A、B顶点为C，点P（m，n）n<0为抛物线上一点.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）当为钝角时，求的取值范围.

4.如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t.

（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；

（2）若S△BCD：

S△AOB=2：

1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若M为x轴上的点，且∠BMD最大，请求出点M的坐标.

5.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点．

（1）若点C平面直角坐标系内的一个点，且△ABC是等边三角形，则点C的坐标是；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？

若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

6.如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．

（1）求该反比例函数的关系式；

（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；

①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；

②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

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