一元二次方程求根公式及其应用优秀教案.docx

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一元二次方程求根公式及其应用优秀教案

《用公式法解一元二次方程》之教学设计

【课标分析】

《2011版数学课程标准》中，对一元二次方程整章学习的要求为：

体验从具体到情境中抽象出数学符号的过程，理解方程；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数学关系和变化规律，掌握用方程进行表述的方法；通过用方程表述数量关系列出方程，体会模型的思想，建立符号意识；能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；经历估计方程解的过程；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；了解一元二次方程的根与系数的关系；能用具体问题的实际意义，检验方程解的合理性；

在整体要求的框架之下，本节课选取三点，一是用公式法解一元二次方程。

二是会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个方程是否相等。

三了解一元二次方程的根与系数的关系。

其中第二第三条在教材上是另外两节的内容，但在推导结论的过程中，求根公式、根的存在性、韦达定理是可以作为一个整体的，为了不割裂知识整体体系，我选择整合教材，并且但为了突出重点与难点的突破，在本节适当降低了对根的存在性和韦达定理的要求，只是实现推导出结论，把更深入的研究放在后续的学习中，实践证明，当在后续的学习中再次深入研究以上两项内容时，学生的理解和掌握显得更加轻松，水到渠成。

【教材分析】

在课程教材体系中的地位：

用配方法推导一元二次方程的求根公式，是在学生学习了一元一次方程（组）分式方程，一元二次方程的概念，开平方配方法的基础上学习的，求根公式的推导可以引出一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及为后续研究二次函数的相关知识做好铺垫。

用配方法推导一元二次方程的求根公式，提供了了解一元二次方程的具有一般性的直接法，便于操作，便于使用，更重要的是在这一过程中，所体现的由特殊到一般由具体到抽象的，具有数学思维特征的通法，可以有效地提高学生推理能力和运算能力。

公式法是解一元二次方程的基本方法，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结果，省略了配方过程，计算更加直接，且具有普适性。

不同教材的内容处理：

新鲁教版对这节内容的处理方式是：

求公式的推导和公式的初步运用。

并未涉及根的判别式及韦达定理。

新人教版对本节内容的处理方式：

将求根公式的推导、根的判别式和求根公式的初步运用作为一节的内容，在学完因式分解后，以选学的方式安排了一节一元二次方程的根与系数的关系。

两种版本均安排了3课时。

立德树人：

对照山东省中小学德育课程一体化实施指导纲要指出将立德树人目标融入各学科教学之中，根植于学科的核心素养，紧密结合学科教学内容，结合本节课教材的特点，可以从理性精神和思维严谨两处着手。

理性精神：

在公式推导中，组织学生开展观察、猜测、实验、计算、推理、验证等探究活动，引导学生独立思考、坚持己见，不人云亦云，培养学生求真求实的科学态度，以及勇于探索、敢于质疑、善于创新的科学精神。

思维严谨：

公式推导，解方程：

在解决实际问题的过程中，让学生根据计算法则、运算顺序进行计算，体会计算法则和运算顺序的合理性和必要性，培养学生的规则意识，自觉尊重并运用法则解决问题的意识与习惯。

通过习题演算逻辑推理、例题示范方式，使学生掌握逻辑归纳与演绎、思维严谨与流畅的思维品质；自觉学会尊重并运用定理、公理、公式、法则、规则、口诀解决问题的意识与习惯，养成做事条理分明、严谨细致、一丝不苟、严肃认真的个性品质。

【学情分析】

本班学生特点：

大部分学生个性活泼、开朗、学习数学的积极性高，兴趣浓厚，但数学基础一班

但为了更好的掌握这节课，在课前，我对本校，九年级已经学过1元2次方程求根公式的学生做了调查。

调查对象：

已经学过一元二次方程求根公式的九年级学生。

调查内容：

用配方法推导一元二次方程的求根公式。

调查人数：

72人。

调查结果：

推导过程完全正确的有三人，而其他同学均有不同程度的错误。

其中：

（1）配方出现错误的有13人。

（2）对b2-4ac未进行讨论的有61人。

（3）分式计算出错21人。

（4）二次根式化简出错21人。

通过调查的记过及对学生的访谈，普遍认为推导过程中字母太多，运算量太大，一元二次方程的求根公式结构太复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背。

同时，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉。

这节课需要借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式。

但学生对一般形式的一元二次方程的配方过程存在一定困难，由于之前教学缺乏对分类思想的渗透，且求根公式的推导面临字母系数，将使这里的分类讨论成为学生学习的一个难点。

在用配方法进行公式推导时，忽视对b2-4ac取值的讨论是学生的易错点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现。

部分学生对为什么要用公式法解一元二次方程理解不够深刻，导致后续过程中直接套用公式的现象。

因此采用从具体到抽象再到具体的学法。

【教学设计】

课题：

用公式法解一元二次方程

（1）

教学目标：

1.通过经历探索一元二次方程求根公式的推导过程，培养理性精神。

2.会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程，培养缜密严谨的思维品质。

3.在公式推导中了解根的判别式、根与系数的关系，增强概括性、严密性、思想性的数学素养。

教学重点：

1.一元二次方程求根公式的推导过程。

2.用公式法解一元二次方程。

教学难点：

一元二次方程求根公式的推导过程。

教学过程

一、情境激趣课前热身

【活动1】--教师

1.在对比配方法解一元二次方程解法的同时给学生呈现一个一元二次方程的工具，只要输入一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项就可以直接得到方程的根。

引发学生思考：

这个解方程的工具奥妙在哪里，就在我们学的这节课的内容里。

【活动1】--学生

学生兴趣盎然，自编方程，尝试计算器的奥妙与神奇。

【活动1】--设计意图

通过神奇的计算器，激发学生研究学习本节课的热情。

二、复习回顾提出问题

【活动2】--教师

2.请用配方法解下列方程

思考：

通过解方程，

（1）比较三个方程的根有什么不同。

（2）是什么导致了根的不同？

（3）如何不解方程就能判断出根的不同？

【活动2】--学生

学生三人上黑板每人一道，其余学生在练习本上。

一生通过自己解的方程带领大家复习配方法解一元二次方程的步骤。

观察所解三个方程的根的情况，发现有两个相同实根、两个不同实数根没有实数根，系数发生了变化，根就发生了变化。

从配方右边的结果可以看出根的不同。

【活动2】--设计意图

通过解方程，

（1）回顾用配方法解一元二次方程的步骤，为推导求根公式做方法的铺垫。

（2）发现根的特点的不同，探求系数不同，导致根的不同。

（3）启发从配方的结果，结合平方根的定义，发现根的不同，为求根公式推导过程中，对

的讨论，做好铺垫。

三、自主探究排难解惑

【活动3】--教师

3.数字系数能够用配方法解决，换成字母系数，我们还能用配方法解决吗？

ax2+bx+c=0（a≠0）

引导学生返回到开始所解三个方程，观察这三部分，引导发现配方后的右边其实是有三种情况的，而这三种情况决定了后续根的情况。

从而思考

的正负是需要讨论的。

【活动3】--学生

（1）学生尝试用配方法解含有字母系数的一元二次方程，一生到黑板上展示解题的过程。

（2）通过该生的展示，根据前面解三个方程时的发现为启发，对

展开分类讨论。

四、交流归纳揭示新知

【活动4】--教师

4.根的存在性

（1）类比刚才学生对三个方程根的不同的比较，引导学生发现

需要分类讨论。

（2）在分类谈论的基础上，发现b2-4ac是判断根的情况的依据。

引导学生发现通过△=b2-4ac判断根的情况的方法。

<1>当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根。

<2>当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根。

<3>当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。

（后续会深入研究，只推导出结论）

5.公式法解一元二次方程

（1）求根公式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是：

x=

即

（2）公式法及步骤归纳

【活动4】--学生

（1）类比刚才学生对三个方程根的不同的比较，引导学生发现

需要分类讨论。

（2）在分类谈论的基础上，发现b2-4ac是判断根的情况的依据。

发现通过△=b2-4ac判断根的情况的方法。

（3）推导出求根公式

（4）归纳出公式法的步骤

【活动3】【活动4】---设计意图

按照类比-探究-归纳的模式来设计，使学生建立配方法与求根公式法的内在联系，让学生亲身体会公式推导的全过程，并在得到求根公式过程中，感悟化归思想和分类讨论思想。

通过学生出错点的讨论突破难点，渗透分类思想，并突出判别式＝b2-4ac对一元二次方程根的情况判别的重要性。

同时得到一元二次方程ax2+bx+c=0有根时的求根公式及归纳解题步骤。

培养学生的理性精神。

通过对求根公式的分析，丰富了公式的内涵，明确了公式的结构、性质和功能，使学生能更加深刻的理解公式，突出教学重点。

【活动5】--教师

6.请用公式法解下列方程

老师巡视过程中，用QQ同步上传图片的方式拍摄学生出现的各种资源。

【活动5】--学生

三名学生到黑板上展示解题过程。

所有同学比较公式法与配方法的优势与不足，找到不同类型的题目更简单的解决方程求根的方法。

【活动5】-设计意图

熟练掌握用求根公式解一元二次方程。

类比配方法，找到公式法与配方法的优势与不足。

为下一步解法优化选择做铺垫。

培养学生思维严谨。

五、情景揭示再探新知

【活动6】--教师

7.揭示开始展示的计算器的奥秘，换上字母系数的方程与呈现公式的根的存在状态，让学生感悟到计算器的原理就是程序里编了一求根公式。

【活动6】--学生

找到计算器解一元二次方程的奥秘所在，加深对求根公式的理解和认识。

【活动6】-设计意图

通过计算器展示含有求根公式的程序

加深学生对求根公式的理解和认识。

六、巩固练习拓展提升

【活动7】--教师

8.用合适的方法解一元二次方程

⑴

-

-18=0

⑵9

+6x+1=0

9.编一组不同类型的一元二次方程，你能编几种？

10.发现韦达定理

观察求根公式中，方程两根的异同，求两根的积与两根的和，有什么发现？

x1+x2=--

x1x2=

【活动7】--学生

学生选择自己认为比较简单和喜欢的方法解方程。

第

（2）题，配方法更加简单。

把编的题目分类。

对比根的不同，进行求和与求积发现韦达定理。

【活动7】--设计意图

通过学生选择不同的方法求解方程，进一步巩固配方法和公式法解一元二次方程的方法，并且在方法的选择上根据解法的特点实现最优化。

编题是为了让学生加深对根的存在性的理解，通过思维的逆向体会b2-4ac与根的关系，进一步强化求根公式、根的情况与一元二次方程的系数的联系。

为下一节做好铺垫。

同时让学生了解数学家韦达《论方程的识别与订正》等相关世界数学史。

七、盘点收获布置作业

【活动8】--教师

盘点收获：

在学生盘点收获的基础上老师进一步归纳并用结构图的方式呈现（见课件）：

配方法是推导一元二次方程求根公式的基础，求根公式不仅帮助我们解决了根的存在性问题，根的求法，同时向我们揭示了根与系数的内在联系，这为后续学习奠定了基础。

【活动8】--学生

学生自主梳理本节课的收获，分别从知识方法和思想三个层面去谈。

【活动8】--设计意图

在师生共同盘点收获中，让学生明确一根主线：

配方法是推导一元二次方程求根公式的基础，求根公式不仅帮助我们解决了根的存在性问题，根的求法，同时向我们揭示了根与系数的内在联系，这为后续学习奠定了基础。

【布置作业】--

基础型作业

1.分析求根公式推导过程中，出现的典型错例，提出修改建议。

2.完成课本P63习题8.6第1、2题；P802

（1）（4）

提升型作业

关于一元二次方程mx2+（m+1）x+

m=0,m取何值时，方程有实数根，并求出实数根。

拓展型作业

阅读《古代数学家对一元二次方程的贡献》

【设计意图】--布置作业

作业分层设计，满足不同层次学生提升的需要，特别通过拓展性作业，加深学生对中国数学家的了解，培养学生的爱国主义精神。