整式的乘法.docx

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整式的乘法

15.2整式的乘法

目录

15.2.1同底数幂的乘法

15.2.2幂的乘方

15.2.3积的乘方

15.2.4整式的乘法

15.2.1同底数幂的乘法

[教学目标]

1．知识与能力：

（1）经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义．

（2）了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题．

2．过程与方法：

在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力；学习同底数幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观：

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心．

[重点难点]

1．教学重点：

同底数幂的乘法运算法则及其应用．

2．教学难点：

同底数幂的乘法运算法则的灵活运用．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究内容

活动1：

问题1：

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？

问题2：

光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年．一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？

学生活动设计：

根据距离=速度×时间，可得地球距离太阳的距离为：

3×105×5×102=3×5×（105×102）（千米），比邻星与地球的距离约为：

3×105×3×107×4.22=37.98×（105×107）（千米）．

根据幂的意义1：

105×102=

=

=107；

活动2：

根据乘方的意义填空，观察计算的结果有什么规律？

（1）32×33=______；

（2）a4×a3=______；（3）2m×2n=______．

学生活动设计：

学生根据自己的理解独立完成上述问题，然后观察结果发现同底数幂在进行乘法运算时，可以转化为指数的加法运算．

教师活动设计：

在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则．am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得

am·an=am+n．

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：

am·an=am+n（m、n都是正整数）．

二、知识应用，巩固提高

活动3：

（1）（-3）7×（-3）6；

（2）；

（3）-x3·x5；（4）b2m·b2m+1．

是不是都能用同底数幂的乘法的性质运算呢？

学生活动设计：

学生自主探索发现

（1）、

（2）、（4）都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加．（3）也能用同底数幂乘法的性质．因为-x3·x5中的-x3相当于（-1）×x3，也就是说-x3的底数是x，x5的底数也为x，只要利用乘法结合律即可得出．

教师活动设计：

让四个学生板演．

解：

（1）（-3）7×（-3）6=（-3）7+6=（-3）13；

（2）；

（3）-x3·x5=［（-1）×x3］·x5=（-1）（x3·x5）=-x8；

（4）b2m·b2m+1=b2m+（2m+1）=b4m+1．

师生共同分析可能存在的问题．

巩固练习：

教材第170页练习．

活动4：

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）．

学生分析：

（1）×．因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8．

（2）×．x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4．

（3）×．x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算．

（4）×．x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质得x2·x2=x2+2=x4．

（5）√．

（6）√．因为a3·a2-a2·a3=a5-a5=0．

（7）×．a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同．

（8）×．y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出

y7+y7=2y7．

三、应用提高、拓展创新

问题：

计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+210．

学生分析：

注意到210-29=29·2-29×1=29·（2-1）=29，同理，29-28=28，

…23-22=22，即2n+1-2n=2·2n-2n=（2-1）·2n=2n．逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·2n．

教师活动设计：

引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．

〔解答〕原式=210-29-28-27-26-25-24–23-22+2

=2·29-29-28-27-26-25-24-23-22+2

=29-28-27-26-25-24-23-22+2

=…

=22+2

=6．

四、归纳小结、布置作业

小结：

同底数幂的乘法法则．

作业：

预习下一节课的内容． 

15.2.2幂的乘方

[教学目标]

1．知识与能力：

（1）经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；

（2）了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．

2．过程与方法：

在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观：

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步提高学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．

[重点难点]

1．教学重点：

幂的乘方的运算性质及其应用．

2．教学难点：

幂的乘方的运算性质的灵活运用．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容

活动1：

一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？

如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？

学生活动设计：

正方体的体积等于边长的立方，所以边长为102毫米的正方体的体积V=（102）3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为103毫米，此时正方体的体积变为V1=（103）3立方毫米．

（102）3，（103）3很显然不是最简,此时在教师的引导下进一步探索其结果．

根据幂的意义可知（102）3表示三个102相乘，于是就有

（102）3=102×102×102=102+2+2=106；

同样根据幂的意义可知

（103）3=103×103×103=103+3+3=109．

于是就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米．

活动2：

计算下列各式并说明理由．

（1）（62）4；

（2）（a2）3；（3）（am）2；（4）（am）n．

学生活动设计：

学生根据自己的理解独立完成．例如分析

（2），（a2）3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3；

（3）（am）2=am·am=am+m=a2m；

然后观察结果发现，幂在进行乘方运算时可以转化为指数的乘法运算．

教师活动设计：

在解决问题后引导学生归纳同底数幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

即（am）n=amn（m，n都是正整数）．

二、知识应用，巩固提高

活动3：

计算.

（1）（102）3；　　　

（2）（b5）5；　　　　（3）（an）3；

（4）-（x2）m；　　　　（5）（y2）3·y；　　　（6）2（a2）6-（a3）4．

学生活动设计：

首先分析问题

（1）、

（2）、（3），可以发现它们都是幂的乘方的运算．请几个同学解答．

（1）（102）3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

（2）（b5）5=b5·b5·b5·b5·b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25；

（3）（an）3=an·an·an=an+n+n=a3n．

接着让学生分析其余各个问题，要注意其中的符号问题．

（4）-（x2）m表示（x2）m的相反数，所以-（x2）m===-x2m；

（5）（y2）3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法.所以，

（y2）3·y=（y2·y2·y2）·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7；

（6）2（a2）6-（a3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以

2（a2）6-（a3）4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12．

教师活动设计：

我们开始练习幂的乘方的运算性质时，不要急着直接套入公式（am）n=amn中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义．我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，师生对学生的解答共同分析可能存在的问题．

巩固练习：

教材第171页练习．

三、应用提高、拓展创新

问题：

如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍．

地球、木星、太阳可以近似地看作是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

学生分析：

根据问题中的前提条件，可得木星的体积是地球体积的103倍；太阳的体积是地球体积的（102）3倍，即106倍．

教师活动设计：

引导学生进行探索，必要时进行适当的启发与提示．

〔解答〕略．

四、归纳小结、布置作业

小结：

幂的乘方法则．

作业：

预习下一节课的内容．

15.2.3积的乘方

[教学目标]

1．知识与能力：

（1）经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；

（2）了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．

2．过程与方法：

在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习积的乘方的运算性质，提高解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观：

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步提高学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．

[重点难点]

1．教学重点：

积的乘方的运算性质及其应用．

2．教学难点：

积的运算性质的灵活运用．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容

活动1：

计算．

（1）（3×5）7=3（）·5（）；

（2）（3×5）m=3（）·5（）；

（3）（ab）n=a（）·b（）．

你能说出得出结论的理由吗？

你能运用自己的语言描述你所发现的规律吗？

学生活动设计：

学生自己分析其中的结果并进行讨论，主要讨论每一步的依据，感受乘法交换律与结合律在其中所起的作用．

（1）（3×5）7——积的乘方

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

=37×57——乘方的意义

（2）（3×5）m

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

=3m·5m——乘方的意义

（3）（ab）n

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

=anbn——乘方的意义

由

（1）、

（2）、（3）的化简，得出

（1）（3×5）7=37×57；

（2）（3×5）m=3m×5m；

（3）（ab）n=anbn．

由上面的三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

即（ab）n=an·bn（n为正整数）．

教师活动设计：

在本活动中教师应主要关注：

（1）学生能否自己主动参与探索；

（2）学生能否自行分析每一步的依据；

（3）学生在交流中所投入的情感和态度．

二、知识应用，巩固提高

活动2：

计算．

（1）（3x）3；　

（2）（-2b）5；　（3）（-2xy）4；（4）（3a2）n．

学生活动设计：

应用积的乘方的运算性质进行计算、化简，得首先看积中含有哪些因数或因式，同时要明白算理．开始练习积的乘方的运算，可以不直接套用，先多写几步，等熟悉后再直接套用．

学生板演：

（1）（3x）3=（3x）·（3x）·（3x）=（3×3×3）·（x·x·x）=27x3或（3x）3=33·x3=27x3；

（2）（-2b）5=（-2b）·（-2b）·（-2b）·（-2b）·（-2b）

=[（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）]·（b·b·b·b·b）=（-2）5·b5=-32b5

或（-2b）5=（-2）5·b5=-32b5；

（3）（-2xy）4=（-2xy）·（-2xy）·（-2xy）·（-2xy）

=[（-2）×（-2）×（-2）×（-2）]·（x·x·x·x）·（y·y·y·y）

=（-2）4·x4·y4

=16x4y4

或（-2xy）4=（-2x）4·y4

=（-2）4·x4·y4=16x4y4；

（4）（3a2）n=3n·（a2）n=3na2n．

教师活动设计：

教师根据学生的板演情况和学生一起分析可能出现的问题，然后经过讨论解决．

巩固练习：

教材第172页练习．

三、应用提高、拓展创新

问题1：

地球可以近似地看作是球体．如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V=πr3．

（1）地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米？

（2）太阳的体积约为地球体积的（102）3倍，你能计算出太阳的体积大约是多少立方千米吗？

学生分析：

（1）V=πr3

=π×（6×103）3

=π×63×（103）3

≈9.05×1011（千米3），

所以地球的体积约为9.05×1011千米3．

（2）已知太阳的体积约为地球体积的（102）3=106倍，由

（1）可求出太阳的体积为

（9.05×1011）×106=9.05×1011×106=9.05×1017（千米3），

所以太阳的体积约为9.05×1017千米3．

教师活动设计：

引导学生进行探索，必要时进行适当的启发与提示．

〔解答〕略．

问题2：

已知2m=3，2n=5，求23m＋2n的值．

学生活动设计：

求23m＋2n的值，由已知条件不能求出m，n的值，因此可以想到将2m、2n整体代入，这就需要逆用同底数幂的乘法的运算性质和幂的乘方的运算性质．

教师活动设计：

引导学生作以下探索和分析，必要时提醒学生．由题可得，

23m＋2n=23m·22n=（2m）3·（2n）2=33·52=27×25=675．

问题3：

猜想是否可以将（ab）n=anbn推广？

即（abc）n=anbncn，正确吗？

大家可以亲自推理一下．

学生活动设计：

学生小组讨论，交流本组得到的结论．

教师活动设计：

让学生在交流中完善自己的解答，进一步引导学生分析活动2中的第（3）小题．将（ab）n=anbn推广后，得到了（abc）n=anbncn．所以第（3）小题也可为（-2xy）4=（-2）4·x4·y4=16x4y4．

四、归纳小结、布置作业

小结：

积的乘方法则．

作业：

习题15.2第1、2、9题．

15.2.4整式的乘法

[教学目标]

1．知识与能力：

经历探索单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．

2．过程与方法：

在探索运算法则的过程中体会乘法交换律与结合律的作用以及转化的思想．

3．情感、态度与价值观：

使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣，建立学习数学的信心和勇气．

[重点难点]

1．教学重点：

单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的运算法则的探索．

2．教学难点：

灵活地运用法则进行计算和化简．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容

活动1：

为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长6000米、名为“奥运龙”的宣传画．受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如图

（1）所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x米的空白．

图

（1）

（1）第一幅画的画面面积是__________米2；

（2）第二幅画的画面面积是__________米2．

学生活动设计：

学生独立思考得出问题的答案，然后交流如何化简，最后进行归纳．经过思考可以发现，从图中可以读出条件：

第一幅画面的长、宽分别为mx米，x米；第二幅画面的长、宽分别为mx米，

（x-），即x米．因此，第一幅画的画面面积是x·（mx）米2；第二幅画的画面面积是

（mx）·（x）米2．

教师活动设计：

学生得出答案后，引导学生分析这两个运算x·（mx）与（mx）·（x）．这里x，mx，x都是单项式，它们是单项式与单项式相乘的形式．

学生分析：

x·（mx）

=m·（x·x）——乘法交换律、结合律

=m·x1+1=mx2——同底数幂乘法运算性质

（mx）·（x）

=（m）（x·x）——乘法交换律、结合律

=mx1+1=mx2——同底数幂乘法运算性质

在此过程中注意学生对每一步依据的寻找．

在本活动中教师应主要关注：

（1）学生能否主动参与过程；

（2）学生能否自行分析每一步的依据；

（3）学生在交流中所投入的情感和态度．

类似地，3a2b·2ab3=6a2+1b1+3=6a3b4．

最后归纳：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

二、问题引申，探究单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则

活动2：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

学生活动设计：

学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现，一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入（单位：

元）为

m（a+b+c）．

另一种方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入（单位：

元）为

ma+mb+mc．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

m（a+b+c）=ma+mb+mc．

教师活动设计：

教师根据学生的讨论情况给予适当的提醒和启发，然后对讨论结果

“m（a+b+c）=ma+mb+mc”进行分析，发现这个等式就提供了单项式与多项式相乘的方法．

学生归纳：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

此时引导学生体会：

单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识．这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想．我们在处理一些问题时经常会用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识，复杂的知识转化为几个简单的知识等．

活动3：

操作

如图，你能利用下面四个长方形卡片，拼成一个更大的长方形吗？

若能，你能计算出大长方形的面积吗？

从中你能发现什么？

（1）　　　　　　　

（2）　　　　　　（3）　　　　（4）

学生活动设计：

学生独立思考，然后讨论交流．经过思考发现，利用四个卡片可以拼成下面的长方形．

一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即ma+ab+mn+nb．

另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（m+b）（n+a）．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

（m+b）（n+a）=ma+mn+nb+ab．

教师活动设计：

教师根据学生的讨论情况给予适当的提醒和启发，然后对讨论结果

“（m+b）（n+a）=ma+mn+nb+ab”进行分析．可以把（m+b）看作一个整体，然后运用单项式与多项式相乘的法则，得到

（m+b）（n+a）=（m+b）n+（m+b）a，

再利用单项式与多项式相乘的法则，得到

（m+b）（n+a）=（m+b）n+（m+b）a=ma+mn+nb+ab．

这个等式就提供了多项式与多项式相乘的方法．

学生归纳：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、应用提高、拓展创新

问题1：

1．计算．

（1）（2xy2）·（xy）；

（2）（-2a2b3）·（-3a）；（3）（4×105）×（5×104）；

（4）（-3a2b3）2·（-a3b2）5；（5）（-a2bc3）·（-c5）·（ab2c）．

2．计算．

（1）2ab·（5ab2+3a2b）；

（2）（ab2-2ab）·ab；

（3）-6x·（x-3y）；（4）-2a2·（ab+b2）．

3．计算．

（1）（1-x）·（0.6-x）；

（2）（2x+y）·（x-y）；（3）（x-y）2；

（4）（-2x+3）2；（5）（x+2）·（y+3）-（x+1）·（y-2）．

学生活动设计：

让几名学生进行板演，其余学生分析．

1．

（1）（2xy2）·（xy）=（2×）·（x·x）（y2·y）=x2y3；

（2）（-2a2b3）·（-3a）=［（-2）×（-3）］（a2a）·b3=6a3b3；

（3）（4×105）×（5×104）=（4×5）×（105×104）=20×109=2×1010；

（4）（-3a2b3）2·（-a3b2）5

=［（-3）2（a2）2（b3）2］·［（-1）5（a3）5（b2）5］

=（9a4b6）·（-a15b10）

=-9·（a4·a15）·（b6·b10）=-9a19b16；

（5）（-a2bc3）·（-c5）·（ab2c）

=［（-）×（-）×（）］·（a2·a）·（b·b2）·（c3·c5·c）

=a3b3c9．

2．

（1）2ab（5ab2+3a2b）=2ab·（5ab2）+2ab·（3a2b）=10a2b3+6a3b2；

（2）（ab2-2ab）·ab=（ab2）·ab+（-2ab）·ab=a2b3-a2b2；