六年级春季班第19讲长方体的再认识教师版张于.docx
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六年级春季班第19讲长方体的再认识教师版张于
长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．
1、长方体的元素
长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．
2、长方体的元素特征
（1）长方体的每个面都是长方形．
（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．
（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．
3、正方体是特殊的长方体
【例1】填空：
（1）长方体有______个顶点；
（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；
（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组
有______条棱．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】判断：
（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）
（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）
（3）长方体共有6个面；（）
（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）
（5）平面就是水平面；（）
（6）水平面是平面．（）
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】在长方体ABCD–EFGH中，与棱EF相等的棱是（）
A．棱AB、棱CD、棱GHB．棱AB、棱AE、棱BF
C．棱GH、棱EH、棱FGD．棱BC、棱CG、棱GF
【难度】★
【答案】
【解析】
【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长
方体架子，应该如何截取？
材料够吗？
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例6】长方体的长、宽、高之比为2:
1:
1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正
方体时，表面积增加了_____．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大
的纸？
最多需要多大的纸？
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例8】一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的
长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、长方体的直观图画法：
斜二侧画法
水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：
第一步：
画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，
．（如图1所示）
第二步：
过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）
第三步：
顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）
第四步：
将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）
图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：
平面ABCD、平
面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：
棱AB、棱AE、棱EF等．
【例9】图中长方体正确表示为（）
A．长方体ABCDB．长方体EFGH
C．长方体ABD．长方体ABCD-EFGH
【难度】★
【答案】
【解析】
【例10】要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是
____________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例11】画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例12】画一个棱长总和为36厘米的正方体．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）．
【难度】★★
【答案】
【解析】
1、
长方体中棱与棱的位置关系
如图所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．
棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．
棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．
空间两条直线有三种位置关系：
相交、平行、异面．
【例14】
在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD平行？
哪些棱与AD相交？
哪些棱与AD
异面？
【难度】★
【答案】
【解析】
【例15】在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条
棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】如图，在长方体ABCD—EFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．
（1）棱AD与AG：
_________________；
（2）棱DH与EG：
_________________；
（3）EG与BD：
_________________；
（4）棱DC与DB：
_________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例17】垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例18】如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是
__________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、长方体中棱与平面的位置关系
如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：
直线PQ
平面ABCD，读作：
直线PQ垂直于平面ABCD．
如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：
直线PQ//平面ABCD，读作：
直线PQ平行于平面ABCD．
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．
棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．
2、检验直线与平面是否垂直的方法
“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法．
3、检验直线与平面是否平行的方法
“铅垂线”法、“长方形纸片”法．
【例19】教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例20】
如图，在长方体ABCD-EFGH中：
（1）与棱DH垂直的平面是___________________；
（2）与棱BC平行的平面是___________________；
（3）与平面ADHE垂直的棱是________________；
（4）与平面EFGH平行的棱是________________；
【难度】★
【答案】
【解析】
【例21】铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面
平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例22】
如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂
直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】在长方体ABCD-EFGH中，AB=3厘米，BF=5厘米，与棱AB垂直的平面的面
积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
1、长方体中平面与平面的位置关系
如下左图，平面
垂直于平面
，记作平面
平面
，读作平面
垂直于平面
．
如上右图，平面
平行于平面
，记作平面
//平面
，读作平面
平行于平面
．
如图所示的长方体ABCD-EFGH中：
面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都
给我们以平面与平面垂直的形象．
面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．
2、检验平面与平面是否垂直的方法
“铅垂线”法、“合页型折纸”法、“三角尺”法．
3、检验平面与平面是否平行的方法
“长方形纸片”法．
【例25】
如图，与平面ABFE垂直的平面有____________，与平面BCGF平行的平面有
_____________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例26】下列结论正确的是（）
A．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个
B．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个
C．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等
D．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例27】
如图，与面ADHE垂直的面有__________________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例28】可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直．
可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例29】
如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C垂直的平面是________．
（用图中的字母表示）
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例30】如图，在长方体ABCD-EFGH中，找出与平面BCHE垂直的平面，并找出现成的
合页型折纸，在图上用阴影部分表示．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题1】正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】
在图中的长方体中：
（1）从正面看，看不见的棱有___________；
（2）与棱EH相等的棱有_______________；
（3）与平面ADHE相对的平面有________；
（4）位于水平位置的平面有_____________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题4】下列说法正确的是（）
A．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面
B．长方体中棱与平面不是垂直就是平行
C．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行
D．长方体中任何一条棱都与两个平面平行
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题5】如图所示的六面体中，AEFB和DHGC是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：
（1）其中有______条棱与平面ADHE垂直；
（2）其中有______条棱与平面AEFB垂直；
（3）其中有______条棱与平面ABCD垂直；
（4）其中有______条棱与平面BFGC垂直．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A、B、
C三种状态所显示的数字，可推出“?
”处的数字是（）
A．1B．2C．4D．6
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】长方体的总棱长是72厘米，它的长:
宽=2:
1，宽:
高=2:
3，这个长方体的
体积是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】把一块长是50厘米的长方体分成2:
3两部分后，它的表面积增加了300平方厘
米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同
的正方体，求这个长方体的体积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业1】长方体中经过同一顶点的面的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】如图，在一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形中：
（1）与直线DF平行的直线是_____________；
（2）与直线EF平行的直线是_____________；
与直线EF相交的直线是______________；
（3）与直线AE异面的直线是_____________；
与直线BC异面的直线是______________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（）
A．不一定存在B．有且只有一条
C．可能有一条，也可能有两条D．不止两条
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业4】补画长方体：
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业5】下列图形中，不能围成长方体的是（）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业6】如图，桌面上放着一本打开的书，
（1）与桌面垂直的平面有哪几个？
（2）平面ABFE与平面ABHG是否垂直？
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】将一个长、宽、高分别为2厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大
的正方体，则切割剩余部分的体积是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】将两个长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是
_________________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业9】12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3:
1的两段，分点为M，
过点M按平行于面ABCD的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？
【难度】★★★
【答案】
【解析】
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