高中数学第一章坐标系1.docx

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高中数学第一章坐标系1

——教学资料参考参考范本——

高中数学第一章坐标系1

______年______月______日

____________________部门

[读教材·填要点]

1．球坐标系

设空间中一点M的直角坐标为（x，y，z），点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与0的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组（r，θ，φ）称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.

2．直角坐标与球坐标的转化

空间点M的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为

[小问题·大思维]

球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？

提示：

空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.

将球坐标化为直角坐标

[例1]　已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．

[思路点拨]　本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．

[精解详析]　∵M的球坐标为，

∴r＝5，φ＝，θ＝.

由变换公式

得

故它的直角坐标为.

已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.

1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．

解：

由变换公式得

x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2，

y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2，

z＝rcosφ＝4cos＝－2.

∴它的直角坐标为（2,2，－2）.

将直角坐标化为球坐标

[例2]　设点M的直角坐标为（1,1，），求它的球坐标．

[思路点拨]　本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．

[精解详析]　由坐标变换公式，可得

r＝＝＝2.

由rcosφ＝z＝，

得cosφ＝＝，φ＝.

又tanθ＝＝1，θ＝（x>0，y>0），

所以知M点的球坐标为.

由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为（r，θ，φ），再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．

2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．

解：

由变换公式得

r＝＝＝1.

由rcosφ＝z＝－得cosφ＝－，φ＝.

又tanθ＝＝（r>0，y>0），

得θ＝，

∴M的球坐标为.

球坐标系的应用

[例3]　在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．

[思路点拨]　本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．

[精解详析]　如图所示，因为A，

B，

可知∠AOO1＝∠O1OB＝，

∴∠O1AO＝∠O1BO＝.

又∠EOC＝，∠EOD＝，

∴∠COD＝－＝.

∴∠AO1B＝∠COD＝.

在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，

∴O1B＝O1A＝R.

∵∠AO1B＝，∴AB＝R.

在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.

故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.

我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．

3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．

解：

由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，

∠BOO1＝.

∴在△AOO1中，OO1＝4.

在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，

∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.

即两个截面间的距离O1O2为8.

一、选择题

1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为（　　）

A．－　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选A　∵φ＝，

∴OP与OP0之间的夹角为＝.

2．点M的球坐标为（r，φ，θ）（φ，θ∈（0，π）），则其关于点（0,0,0）的对称点的坐标为（　　）

A．（－r，－φ，－θ）B．（r，π－φ，π－θ）

C．（r，π＋φ，θ）D．（r，π－φ，π＋θ）

解析：

选D　设点M的直角坐标为（x，y，z），则点M关于（0,0,0）的对称点M′的直角坐标为（－x，－y，－z），设M′的球坐标为（r′，φ′，θ′），因为

所以

可得

即M′的球坐标为（r，π－φ，π＋θ）．

3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为（　　）

A．（1,0,0）B．（－1，－1,0）

C．（0，－1,0）D．（－1,0,0）

解析：

选D　x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，

y＝rsinφsinθ＝1·sinsinπ＝0，

z＝rcosφ＝1·cos＝0，

∴它的直角坐标为（－1,0,0）．

4．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（　　）

A．P（5,1,1），B

B．P（1,1,5），B

C．P，B（1,1,5）

D．P（1,1,5），B

解析：

选B　球坐标与直角坐标的互化公式为

柱坐标与直角坐标的互化公式为

设P点的直角坐标为（x，y，z），

则x＝cos＝×＝1，

y＝sin＝1，z＝5.

设B点的直角坐标为（x′，y′，z′），

则x′＝sincos＝××＝，

y′＝sinsin＝××＝，

z′＝cos＝×＝.

所以点P的直角坐标为（1,1,5），点B的直角坐标为.

二、填空题

5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．

解析：

由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，，.

答案：

6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．

解析：

由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．

答案：

（－2,2,2）　

7．设点M的直角坐标为（－1，－1，），则它的球坐标为________．

解析：

由坐标变换公式，

得r＝＝＝2，

cosφ＝＝，∴φ＝.

∵tanθ＝＝＝1，

又∵x<0，y<0，∴θ＝.

∴M的球坐标为.

答案：

8．在球坐标系中，方程r＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．

解析：

数形结合，根据球坐标的定义判断形状．

答案：

球心在原点，半径为1的球面　顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面

三、解答题

9．如图，请你说出点M的球坐标．

解：

由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ.设M在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组（R，θ，φ）表示．

∴M点的球坐标为M（R，θ，φ）．

10．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．

解：

根据坐标变换公式

得

∴点P的直角坐标为.

11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．（其中O是△BCD的中心）

解：

O是△BCD的中心，则OC＝OD＝OB＝，AO＝.

∴C，D，B，A.

[对应学生用书P19]

[对应学生用书P19]

利用平面直角坐标系解决几何问题

1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴（对称中心）正好是坐标系中的x轴，y轴（坐标原点）．

2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．

[例1]　线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．

[解]　以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示．设P（x，y），则A（－a,0），B（a,0），C（0，－b），D（0，b），由题设，知

|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.

∴·

＝·.

化简得x2－y2＝，

∴动点P的轨迹方程为x2－y2＝.

平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P（X，Y）对应点P′（x′，y′），称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

[例2]　在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线（X－5）2＋（Y＋6）2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．

[解]　将代入（X－5）2＋（Y＋6）2＝1中，

得（2x－5）2＋（2y＋6）2＝1.化简，得

2＋（y＋3）2＝.

该曲线是以为圆心，为半径的圆.

极坐标的求法

1．在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F（ρ，θ）＝0.如果曲线C是由极坐标（ρ，θ）满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F（ρ，θ）＝0为曲线C的极坐标方程．

2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．

3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．

[例3]　△ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．

[解]　如图，令A（ρ，θ）．

△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，

又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.

极坐标与直角坐标的互化

1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．

2．互化公式为

3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．

[例4]　把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．

（1）ρ＝2acosθ（a＞0）；

（2）ρ＝9（sinθ＋cosθ）；

（3）ρ＝4；

（4）2ρcosθ－3ρsinθ＝5.

[解]　

（1）ρ＝2acosθ，两边同时乘以ρ，

得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax.

整理得x2＋y2－2ax＝0，即（x－a）2＋y2＝a2.

它是以（a,0）为圆心，以a为半径的圆．

（2）两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ（sinθ＋cosθ），

即x2＋y2＝9x＋9y，

又可化为2＋2＝.

它是以为圆心，以为半径的圆．

（3）将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.

它是以原点为圆心，以4为半径的圆．

（4）2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5.

它是一条直线.

柱坐标系与球坐标系

1．柱坐标：

设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的射影为M0，用（ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ＜2π）来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组（ρ，θ，z）表示，叫做点M的柱坐标．

2．球坐标：

建立空间直角坐标系Oxyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M（r，θ，φ）为M点的球坐标．

[例5]　在柱坐标系中，求满足的动点M（ρ，θ，z）围成的几何体的体积．

[解]　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M（ρ，θ，z）的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.

[例6]　如图，长方体OABC—D′A′B′C′中，OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．

[解]　r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，

而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，

tan∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，

θ＝∠AOB＝.∴点P的球坐标为.

[对应学生用书P21]

一、选择题

1．点M的直角坐标是（－1，），则点M的极坐标为（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.，k∈Z

解析：

选C　ρ2＝（－1）2＋（）2＝4，∴ρ＝2.

又∴

∴θ＝π＋2kπ，k∈Z.

即点M的极坐标为，k∈Z.

2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为（　　）

A．x2＋y2＝0或y＝1　　　　　B．x＝1

C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1

解析：

选C　ρ（ρcosθ－1）＝0，ρ＝＝0，或ρcosθ＝x＝1.

3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为（　　）

A．一条射线和一个圆B．两条直线

C．一条直线和一个圆D．一个圆

解析：

选C　ρcosθ＝4sinθcosθ，cosθ＝0，或ρ＝4sinθ（ρ2＝4ρsinθ），则x＝0，或x2＋y2＝4y.

4．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于（　　）

A.－1B.－1

C．1D.

解析：

选A　将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，点Q的直角坐标为（0,1），则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.

二、填空题

5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．

解析：

原方程化为直角坐标方程为－＝1，

∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为（，0），（－，0），故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为（，0），（，π）．

答案：

（，0），（，π）

6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．

解析：

x＝6·sin·cos＝3，

y＝6sinsin＝3，

z＝6cos＝0，

∴它的直角坐标为（3,3，0）．

答案：

（3,3，0）

7．在极坐标系中，若过点（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：

过点（3,0）且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，

解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.

答案：

2

8．在极坐标系中，过点A（6，π）作圆ρ＝－4cosθ的切线，则切线长为________．

解析：

圆ρ＝－4cosθ化为（x＋2）2＋y2＝4，点（6，π）化为（－6,0），故切线长为＝＝2.

答案：

2

三、解答题

9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．

解：

设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，

得a2x2＋b2y2＝1.

又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，

∴又∵a>0，b>0，

∴a＝，b＝.

∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为

10．已知A，B两点的极坐标分别是，，求A，B两点间的距离和△AOB的面积．

解：

求两点间的距离可用如下公式：

|AB|＝＝＝2.

S△AOB＝|ρ1ρ2sin（θ1－θ2）|＝2×4×sin＝×2×4＝4.

11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．

解：

（1）如图所示，设M（ρ，θ）为圆C上任意一点．在△OCM中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos.化简整理，

得ρ2－6·ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．

（2）设Q（ρ1，θ1），

则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①

设P（ρ，θ），则OQ∶QP＝ρ1∶（ρ－ρ1）＝2∶3⇒ρ1＝ρ，

又θ1＝θ，所以

代入①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，

整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．