运筹学建模增加的内容.docx

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运筹学建模增加的内容

运筹学其它方面的应用

一、农作物布局问题

某农场要在A1,A2,…，Am,这m块土地上种植B1,B2,…，Bn种农作物,已知Ai块土地的面积为ai亩（i=1,2,…,m）,Bj种农作物计划播种bj亩。

（j=1,2,…,n）,Bj种农作物在Ai块土地上的单位产值为Cij（元/亩）,在现有土地面积和计划播种面积相等的情况下,应如何安排种植计划,才能使总产值最高?

解:

该问题所要确定的量是每块土地上种植每种农作物的面积数,这就是决策变量。

设在Ai块土地上种植Bj种农作物xij亩（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）.

在该问题中,要受到如下的条件限制。

在一块土地上各种农作物的播种面积之和应等于该块土地的实际面积,即：

x11+x12+…+x1n=a1

x21+x22+…+x2n=a2

…………………

xm1+xm2+…+xmn=am

一种农作物在各块土地上的播种面积之和应等于该种农作物的计划播种面积，即：

x11+x21+…+xm1=b1

x12+x22+…+xm2=b2

…………………

x1n+x2n+…+xmn=bn

目标函数为：

maxZ=

二、配套问题

例1：

机器加工配套问题。

某工厂用A1,A2,…，Am这m种机床生产由B1,B2,…，Bn种零件组成的机器,如果每台机器所用各种零件的数目分别为d1,d2…,dn,机床Ai每小时生产零件Bj的件数为cij,问应如何安排每天的生产才能使工厂日生产的机器最多（1日＝24小时）?

解：

1〉该问题所要决定的量是每台机器生产各种零件的时间数,这就是决策变量。

设xij表示机床Ai生产零件Bj的时间数〈小时〉〈i=1,2,…,m,j=1,2,…,n〉.

2〉该问题要受到如下条件的限制。

i〉每台机床生产各种零件时间的总和应等于一天的实际工作时数〈以24小时计算〉,即

〈i=1,2,…,m〉

ii〉各种机床所生产的各种零件的总数应与一台机器所需的各种零件数对应成比例,即生产的各种零件数恰好装配成整套机器,即：

iii〉每台机床安排生产每种零件的时间数不能为负数,即：

xij≥O〈i=1,2,…m；j=1,2,…,n〉

3〉该问题的目的是生产的机器最多,由于生产的各种零件数目正好全部组装成套机器,所以,一种零件所能组装的机器数即为整套机器的数目,从而目标函数为

因此,该问题的数学模型为

max

〈i=1,2,…,m〉

xij≥O〈i=1,2,…m；j=1,2,…,n〉

例2：

流水作业的人员安排问题。

被服厂的某车间有工人50名,按照过去的经验每个工人每天能裁衣100件,或包缝200件,或缝纫30件,或锁眼、钉扣80件,间应如何安排生产,才能使车间在连续生产过程中出成衣最多?

解:

1〉该问题要确定的量是每天安排的每道工序的人数,使得每天四道工序所完成衣服数相同以保证出成衣最多,因此,设x1、x2、x3、x4分别表示每天安排的上述四道工序的人数。

2〉该问题要受如下条件的限制：

每天安排的工人总人数不超过实有工人数,即：

x1+x2+x3+x4≤50

每道工序所完成的衣服数相同,即:

100x1=200x2=30x3=80x4

每道工序安排的工人数不能为负数,即xj≥0j=1,2,3,4

3〉由于每造工序所完成的衣服数相同,所以每个工序l完成的成衣数都等于最后的成衣,所以,目标函数:

Z=100x1

因此,该问题的数学模型为:

maxZ=100x1

x1+x2+x3+x4≤50

100x1=200x2=30x3=80x4

xj≥0j=1,2,3,4

三、广告问题

例:

某工厂准备在电视上作广告、电视台的收费标准为:

时间Ⅰ:

星期一至星期日18：

30到22：

30以外的时间每半分钟收费180元；

时间Ⅱ：

星期一至星期五18：

30到22：

30热门时间每半分钟收费300元；

时间Ⅲ：

星期六至星期日18：

30到22：

30热门时间每半分钟收费420元；

该工厂计划用7200元在电视台作一个月〈30天〉每天半分钟的广告。

电视台规定,每周在时间Ⅱ和时间Ⅲ播出的次数之和不能超过时间Ⅰ播出次数的一半,而工厂希望时间Ⅲ播出的次数不少于4次,也就是平均一周要至少有一次。

据估计,在时间Ⅰ收视率为一百万人次,在时间Ⅱ和时间Ⅲ的收视率分别为时间Ⅰ的3倍和5倍,问应如何安排播放次数,才能使收视率最高?

解：

该问题所要确定的量是在三种时间播出的次数,这就是决策变量,设xj表示在时间i播出的次数（j=1,2,3）该问题要受到如下条件的限制

i〉全月播放的总次数是30次,即:

x1+x2+x3=30

ii〉在时间Ⅱ和时间Ⅲ播出的次数不能超过时间I播出次数的一半,即:

x2+x3≤

x1

在时间Ⅲ播出的次数不少于4次,即:

x3≥4

每种时间播出的次数不能为负数,即:

xj≥0,j=1,2,3

广告费用不能超支,即:

180x1+300x2+420x3≤7200

3〉该问题的目的是收视率最高,所以收视率是目标函数,即

Z=x1+3x2+5x3

因此,该问题的数学模型为:

求maxZ=x1+3x2+5x3

x1+x2+x3=30

x2+x3≤

x1

x3≥4

180x1+300x2+420x3≤7200

xj≥0,j=1,2,3

四、军事应用

计划用三种不同类型的武器对某些目标实施突击。

武器A的突击时间为3分钟,武器B为5分钟,武器C为4分钟。

火器保证射击的可能性是：

武器A使用3分钟,武器B使用2分钟和武器C使用4分钟时的总数不应超过15,武器A使用2分钟和武器B使用3分钟时,射击总数不应超过8。

此外,为了克服敌方的对抗,还必需做到：

武器A在3分钟发射数应超过武器B在1分钟的发射数,超过数不小于5。

需要计算能使突击中的射击总数为最大的三种类型武器的射击速度（一分钟射击数）,也就是需要分别求A，B，C型武器的射击速度,设为x1,x2,x3,此时应使目标函数:

maxZ=3x1+5x2+4x3

3x1+2x2+4x3≤15

2x1+3x2≤8

3x1-x3≥5

xj≥0,j=1,2,3

上面我们通过一些实际问题给出了建立线性规划问题时数学模型的方法,但是,读者在实际工作中建立线性规划问题的数学模型时还应注意以下四点。

1.对-个实际问题进行决策时,在该问题中起作用的因素、限制条件可能有许多个.我们要想把所有起作用的因素都考虑进去是很困难的,有时甚至是不可能的。

这就需到决策者选取那些对该问题影响较大的因素进行考虑和决策,而对那些影响较小的因素忽略不计,使得决策既较为合理又较为简单。

也就是说,具体选取决策因素是一个非常关键的问题,这就需要对问题选行认真的研究,以作出比较符合实际的选择。

2.有些实际问题建立的数学模型是线性规划模型,但它要求决策变量取整数值〈例如,人员调配就不应出现小组点以后的数字〉,这实际上已属于整数规划的畴。

但是通过线性规划也能得到满意的结果,这就是对线性规划所得最优解采取四舍五入的方法取整。

这在以后的例子中还将详细说明。

3.对于流水作业的工作,应考虑连续工作,从中抽出一段时间来考虑。

如上面的例2,它的数学模型与机器加工配套问题的数学模型相同。

4.并非任何实际问题的数学模型都是线性规划模型，只有实际问题满足下列条件时,才能建立出线性规划模型。

i〉比例性:

决策变量xi在各个约束条件中所使用的数量与目标函数中所产生的效应都与xi的数值成正比。

ii〉可比性:

各个约束条件的总的使用量分别等于所有xi的使用量之和,目标函数总的效应值等于所有xi的效应值之和。

iii〉续性:

xi必须是实数.

iv〉非负性:

即所有xi≥0