全等三角形专题整理.docx
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全等三角形专题整理
全等三角形专题整理
一、考点分析
题型
年份
选择题
解答题
2016
1、正方形中全等三角形的对数
2、三角形中位线与等腰三角形性质运
全等三角形的判定与性质运用
2015
判断等腰三角形的个数
无
2014
无
全等三角形的判定与性质
2013
判断全等三角形的对数
全等三角形的判定与性质
2012
平行四边形性质确定全等三角形的对数
正方形的性质，三角形全等判
二、三角形和全等三角形知识点
1．三角形的边、角关系
三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__；在同一个三角形中，大边对大角，__小边对小角__．
三角形的一个外角__等于__和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角．
2．三角形的分类
（1）按边分类
（2）按角分类
3．三角形的要紧线段
（1）角平分线：
一个角的极点和那个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，那么叫三角形的内心，它到各边的距离相等．
（2）中线：
连接三角形的一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．
（3）高：
三角形的一个极点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．
（4）中位线：
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
（5）垂直平分线：
三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各极点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．
4．全等三角形
（1）全等三角形的性质
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；
（2）全等三角形的判定方式
①三边对应相等的两个三角形全等。
②两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（3）角平分线的性质及判定
性质：
角平分线上的点到那个角的两边的距离相等
判定：
到一个角的两边距离相等的点在那个角平分线上
五、灵活运用定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必需具有三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻觅全等的条件时，老是先寻觅边相等的可能性。
（2）要擅长发觉和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
（3）要擅长灵活选择适当的方式判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）
六、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高彼此重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线确实是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线别离相等，两底角的平分线也相等.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于那个三角形的底边.
7、等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，而且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线相互重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.若是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
°的等腰三角形是等边三角形.
5.两个边和其中一个夹角对应相等的两个三角形全等（ASA）；
6.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）．
5．一个防范
按边分类时，必然要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来．选择题中常常把它作为一个错误项显现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或有一个角是钝角，就能够判定它是直角三角形或是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定．
（1）当图形明显具有对称性（轴对称或中心对称）或旋转性时，试探途径是：
从居于对称位置的线、角或部份证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件；
（2）图形不具有明显的对称性或旋转性，现在要证明两个三角形全等，在试探上的关键是找准对应关系．其方式是：
已知条件中相等的角、边对应，那么它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角别离对应．
（1）有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；
（2）有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；
（3）有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要擅长挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．
（1）顺推分析：
从已知条件动身，运用相应的定理，别离或联合几个已知条件加以进展，一步一步地去靠近欲证目标；
（2）逆推分析：
从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，慢慢沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方式；
（3）顺推分析与逆推分析相结合；
（4）联想分析：
关于一道与证明过的题目有类似的地方的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的试探转用于此刻的题目中，从而找到它的解法．
9六种全等模式
（1）“公共角”模式；
（2）“公共边”模式；（3）“对顶角”模式；（4）“角平分线”模式；（5）“平移”模式；（6）“旋转”模式．
三、真题演练
考点一、全等三角形的性质和判定
1、（2021陕西卷7,3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,假设连接AC，BD相交于点O，那么图中全等三角形共有（）
对对对对
2、（2021·德阳）若是三角形的两边别离为3和5，那么连接那个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）
A．B．5C．D．4
3、（2021·宜昌）已知三角形两边长别离为3和8，那么该三角形第三边的长可能是（）
A．5B．10C．11D．12
4、（2021·滨州）假设从长度别离为3，5，6，9的四条线段中任取三条，那么能组成三角形的概率为（）
A.
B.
C.
D.
5、（2021·赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角极点放在矩形桌面CDEF的一个极点C处，桌面的另一个极点F与三角板斜边相交于点F，若是∠1＝40°，那么∠AFE＝（）
A．50°B．40°C．20°D．10°
6．（2021·邵阳）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（）
A．45°B．54°C．40°D．50°
第9题图）
第10题图）
7．（2021·厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（）
A．∠EDBB．∠BED∠AFBD．2∠ABF
8．（2021·南通）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360°B．250°C．180°D．140°
第8题图）
第9题图）
9．（2021·威海）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论中不正确的选项是（）
A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°
10．（2021·铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D
11．（2021·广州）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是__．
12．（2021·长沙）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．
第12题图）
第13题图）
13．（2021·白银）如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，那么应添加的一个条件为____．（答案不唯一，只需填一个）
14．（2021·乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ.那么：
（1）∠A1＝___；
（2）∠An＝____．
15．（2021·黄石）将以下正确命题的序号填在横线上____．
①若n为大于2的正整数，则n边形的所有外角之和为（n－1）·180°；
②三角形的三条中线的交点确实是三角形的重心；
③证明两个三角形全等的方式有：
SSS，SAS，ASA，SSA及HL等．
16、（2020陕西卷18,6分）
（第20题图）
图
C
E
A
D
已知：
如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，
AC＝CE，∠ACD＝∠B
求证：
△ABC≌△CDE
17、（2021陕西卷18,6分）如图，∠AOB=90°，OA=OB,直线
通过点O，别离过A、B两点作AC⊥
交
于点C，BD⊥
交
于点D。
求证：
AC=OD
18、（2021陕西卷19,7分）如图，在
△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E，求证AD=CE.
19．（2021·重庆）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
（1）求证：
BE＝CF；
（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：
①ME⊥BC；②DE＝DN.
考点二、全等三角形和平行四边形证等边和等角
一、（2006陕西卷20,8分）如图。
O为
的对角线AC的中点，过点O左一条直线别离与AB、CD交于点M、N，E、F在直线MN上，且
分析：
证全等得等边
2、（2020陕西卷18,6分）如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，别离以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.求证：
FN=EC
3、（2020陕西卷18,6分）在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点别离作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足别离为E，F两点，求证：
△ADF≌△BAE．
4、（2021·邵阳）如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
①从图中任找两组全等三角形；
②从①中任选一组进行证明．
四、考点练习
1旋转成图
1.如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，取得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1别离交AC、BC于点D、F，以下结论：
①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE.其中正确的选项是（写出正确结论的序号）.
2.如图，已知
中，
，
是高
和
的交点，
，那么线段
的长度为（）.
A．
B．4C．
D．
A
B
C
E
F
3.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
（1）求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
（2）假设∠CAE=30º,求∠ACF度数.
6.已知:
如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.求证:
AB=AC
7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
（1）证明：
∠DFA=∠FAB；
（2）证明:
△ABE≌△FCE.
9.如图．在△ABC中．D是AB的中点．E是CD的中点．过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．连接BF。
（1）（4分）求证：
DB=CF；
（2）（4分）若是AC=BC．试判定四边彤BDCF的形状．并证明你的结论。
图2
10．如图2，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，
将△ABC绕点A逆时针旋转15°后取得△AB′C′，那么图
中阴影部份面积等于_________cm2．
11.如入，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D。
求证：
△BEC≌△CDA
2翻折成图
2.如图2，
平分
于点
，点
是射线
上的一个动点，假设
，那么
的最小值为（）
D.4
3.如图，点D，E别离在AC，AB上．
（1）已知，BD=CE，CD=BE，求证：
AB=AC；
（2）别离将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论组成命题1，添加条件②、③以①为结论组成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
4.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如下图的方式叠放，阴影部份为重叠部份，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部份△AOF与△DOC是不是全等？
什么缘故？
5.如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
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