高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案.docx

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高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案

高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案

学案8　对数与对数函数

导学目标：

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a0，a≠1），体会对数函数是一类重要的函数模型．

自主梳理

1．对数的定义

如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（a0且a≠1）

①＝____；②＝____；

③＝____；④＝____.

（2）对数的重要公式

①换底公式：

logbN＝________________（a，b均大于零且不等于1）；

②＝，推广＝________.

（3）对数的运算法则

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga（MN）＝___________________________；

②logaMN＝______________________；

③logaMn＝__________（n∈R）；

④＝nmloga．对数函数的图象与性质

a10a1

图

象

性

质

（1）定义域：

______

（2）值域：

______

（3）过点______，即x＝____时，y＝____

（4）当x1时，______

当0x1时，______（5）当x1时，______当0x1时，______

（6）是（0，＋∞）上的______函数（7）是（0，＋∞）上的______函数

4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．

自我检测　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．（2010四川）2log510＋log50.25的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

2．（2010辽宁）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为（　　）

A.10B．10C．20D．100

3．（2009辽宁）已知函数f（x）满足：

当x≥4时，f（x）＝12x；当x4时，f（x）＝f（x＋1）．则f（2＋log23）的值为（　　）

A.124B.112C.18D．（2010安庆模拟）定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上递增，f（13）＝0，则满足0的x的取值范围是（　　）

A．（0，＋∞）B．（0，12）∪（2，＋∞）

C．（0，18）∪（12，2）D．（0，12）

5．（2011台州期末）已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______.

探究点一　对数式的化简与求值

例1　计算：

（1）；

（2）12lg3249－43lg8＋lg245；

（3）已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求变式迁移1　计算：

（1）log2748＋log212－12log242－1；

（2）（lg2）2＋lg2lg50＋lg2探究点二　含对数式的大小比较

例2　

（1）比较下列各组数的大小．

①log323与log565；

②log1.10.7与log1.20

（2）已知log12blog12alog12c，比较2b,2a,2c的大小关系．

变式迁移2　

（1）（2009全国Ⅱ）设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则（　　）

A．abcB．acb

C．bacD．bca

（2）设a，b，c均为正数，且2a＝，（12）b＝，（12）c＝log2c，则（　　）

A．abcB．cba0

C．cabD．bac

探究点三　对数函数的图象与性质

例3　已知f（x）＝logax（a0且a≠1），如果对于任意的x∈[13，2]都有|f（x）|≤1成立，试求a的取值范围．

变式迁移3　（2010全国Ⅰ）已知函数f（x）＝|lgx|，若0ab，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是（　　）

A．（22，＋∞）B．[22，＋∞）

C．（3，＋∞）D．[3，＋∞）

分类讨论思想的应用

例　（12分）已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a0，a≠1）．

（1）解关于x的不等式：

loga（1－ax）f

（1）；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是f（x）图象上的两点，求证：

直线AB的斜率小于0.

【答题模板】

（1）解　∵f（x）＝loga（1－ax），

∴f

（1）＝loga（1－a）．∴1－a0.∴0a1.

∴不等式可化为loga（1－ax）loga（1－a）．

∴1－ax0，1－ax1－a.，即ax1，axa.∴0x1.

∴不等式的解集为（0,1）．[4分]

（2）证明　设x1x2，则f（x2）－f（x1）＝－＝.

∵1－ax0，∴ax1.

∴a1时，f（x）的定义域为（－∞，0）；[6分]

0a1时，f（x）的定义域为（0，＋∞）．

当0a1时，∵x2x10，∴.

∴1.∴0.

∴f（x2）f（x1），即y2同理可证，当a1时，也有y2y1.[10分]

综上：

y2y1，即y2－y10.∴kAB＝y2－y1x2－x10.

∴直线AB的斜率小于0.[12分]

【突破思维障碍】

解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a1或0a1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．

1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：

（1）确定定义域；

（2）弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f（u），u＝g（x）；

（3）分别确定这两个函数的单调区间；

（4）若这两个函数同增或同减，则y＝f（g（x））为增函数，若一增一减，则y＝f（g（x））为减函数，即“同增异减”．

2．用对数函数的性质比较大小

（1）同底数的两个对数值的大小比较

例如，比较logaf（x）与logag（x）的大小，

其中a0且a≠1.

①若a1，则logaf（x）logag（x）⇔f（x）g（x）0.

②若0a1，则logaf（x）logag（x）⇔0f（x）g（x）．

（2）同真数的对数值大小关系如图：

图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1ab.

3．常见对数方程式或对数不等式的解法

（1）形如logaf（x）＝logag（x）（a0且a≠1）等价于f（x）＝g（x），但要注意验根．对于logaf（x）logag（x）等价于0a1时，a1时，

（2）形如F（logax）＝0、F（logax）0或F（logax）0，一般采用换元法求解．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2010北京市丰台区高三一调）设M＝{y|y＝（12）x，x∈[0，＋∞）}，N＝{y|y＝log2x，x∈（0,1]}，则集合M∪N等于（　　）

A．（－∞，0）∪[1，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（－∞，1]D．（－∞，0）∪（0,1）

2．（2010全国Ⅰ）设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则（　　）

A．abcB．bca

C．cabD．cba

3．（2010天津）若函数f（x）＝log2x，x0，log12（－x），x0，若f（a）f（－a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）

4．（2011济南模拟）设函数f（x）定义在实数集上，f（2－x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lnx，则有（　　）

A．f（13）f

（2）f（12）

B．f（12）f

（2）f（13）

C．f（12）f（13）f

（2）

D．f

（2）f（12）f（13）

5．（2011青岛模拟）已知函数f（x）＝ax＋logax（a0，a≠1）在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为（　　）

A.12B.14C．2D．4

题号12答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．2lg5＋23lg8＋lg5lg20＋lg22＝________.

7．（2011湖南师大附中检测）已知函数f（x）＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．

8．已知f（3x）＝4xlog23＋233，则f

（2）＋f（4）＋f（8）＋…＋f（28）＝________.

三、解答题（共38分）

9．（12分）已知f（x）＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值及y取最大值时x的值．

10．（12分）（2011北京东城1月检测）已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a0且a≠1.

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（3）若a1时，求使f（x）0的x的解集．．（14分）（2011郑州模拟）已知函数f（x）＝lg（ax－bx）（a1b0）．

（1）求y＝f（x）的定义域；

（2）在函数y＝f（x）的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．

答案自主梳理

1．ax＝N（a0，且a≠1）　x＝logaN　a　N　2.

（1）①N　②0　③N　④1　

（2）①logaNlogab　②logad　（3）①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nlogaM　3.

（1）（0，＋∞）　

（2）R　（3）（1,0）　1　0　（4）y0　y0　（5）y0　y0（6）增　（7）减　4.y＝logax　y＝x

自我检测

1．C　2.A

3．A　[因为32＋log234，故f（2＋log23）＝f（2＋log23＋1）＝f（3＋log23）．又3＋log234，故f（3＋log23）＝123＋log23＝12313＝124.]

4．B　[由题意可得：

f（x）＝f（－x）＝f（|x|），f（|log18x|）f（13），f（x）在[0，＋∞）上递增，于是|log18x|13，解得x的取值范围是（0，12）∪（2，＋∞）．]

5．mn

解析　∵m0，n0，∵mn＝logaclogcb＝logablogaa＝1，∴m堂活动区

例1　解题导引　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．

解　

（1）方法一　利用对数定义求值：

设＝x，

则（2＋3）x＝2－3＝12＋3＝（2＋3）－1，

∴x＝－1.

方法二　利用对数的运算性质求解：

＝

＝＝－1.

（2）原式＝12（lg32－lg49）－43lg812＋

12lg245＝12（5lg2－2lg7）－43×32lg2＋12（2lg7＋lg5）

＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5

＝12lg2＋12lg5

＝12lg（2×5）＝12lg10＝12.

（3）由已知得lg（x－y2）2＝lgxy，

∴（x－y2）2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.

∴（xy）2－6（xy）＋1＝0.∴xy＝3±22.

∵x－y0，x0，y0，∴xy1，∴xy＝3＋22，

∴log（3－22）xy＝log（3－22）（3＋22）

＝log3－2213－22＝－1.

变式迁移1　解　

（1）原式＝log2748＋log212－log242－log22

＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.

（2）原式＝lg2（lg2＋lg50）＋lg25

＝21g2＋lg25＝lg100＝2.

例2　解题导引　比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．

解　

（1）①∵log323log31＝0，

而log565log51＝0，∴log323log②方法一　∵00.71,1.11.2，

∴0log0.71.1log0.71.2.

∴1log0.71.11log0.71.2，

由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.

方法二　作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，

如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20

（2）∵y＝log12x为减函数，

且log12blog12alog12c，∴bac.

而y＝2x是增函数，∴2b2a2c.

变式迁移2　

（1）A　[a＝log3π1，b＝12log23，则12b1，c＝12log3212，∴abc.]

（2）A　[∵a，b，c均为正，

∴log12a＝2a1，log12b＝（12）b∈（0,1），

log2c＝（12）c∈（0,1）．

∴0a12，12b1,1c2.

故abc.]

例3　解题导引　本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[13，2]时，|f（x）|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：

一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．

解　∵f（x）＝logax，

则y＝|f（x）|的图象如右图．

由图示，可使x∈[13，2]时恒有|f（x）|≤1，

只需|f（13）|≤1，即－1≤loga13≤1，

即logaa－1≤loga13≤logaa，

亦当a1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；

当0a1时，得a－1≥13≥a，得0a≤综上所述，a的取值范围是（0，13]∪[3，＋∞）．

变式迁移3　C

　[画出函数f（x）＝|lgx|的图象如图所示．∵0ab，f（a）＝f（b），∴0a1，b1，∴lga0，lgb0.由f（a）＝f（b），

∴－lga＝lgb，ab＝1.

∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，

又0a1，函数t＝a＋2a在（0,1）上是减函数，

∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.]

课后练习区

1．C　[∵x≥0，∴y＝（12）x∈（0,1]，∴M＝（0,1]．

当0x≤1时，y＝log2x∈（－∞，0]，即N＝（－∞，0]．　∴M∪N＝（－∞，1]．]

2．C　[∵1a＝log231，1b＝log2e1，log23log2e.

∴1a1b1，∴0ab1.

∵a＝log32log33＝12，∴a12.

b＝ln2lne＝12，∴b12.

c＝5－12＝1512，∴cab.]

3．C　[①当a0时，f（a）＝log2a，f（－a）＝，

f（a）f（－a），即log2a＝log21a，

∴a1a，解得a1.

②当a0时，f（a）＝，f（－a）＝log2（－a），

f（a）f（－a），即log2（－a）＝，

∴－a1－a，解得－1a0，

由①②得－1a0或a1.]

4．C　[由f（2－x）＝f（x）知f（x）的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f（x）＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，

∵|2－1||13－1||12－1|，

∴f（12）f（13）f

（2）．]

5．C　[当x0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f（x）＝ax＋logax是（0，＋∞）上的单调函数，f（x）在[1,2]上的最大值与最小值之和为f

（1）＋f

（2）＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3（舍去）．]

6．3

7．（1,2）

解析　因为f（x）＝lga＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，所以g（x）＝a＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，且g

（1）0，于是a－20，且2a－20，即1a2.

8．2008

解析　令3x＝t，f（t）＝4log2t＋233，

∴f

（2）＋f（4）＋f（8）＋…＋f（28）＝4×（1＋2＋…＋8）＋8×233＝4×36＋1864＝200．解　∵f（x）＝2＋log3x，

∴y＝[f（x）]2＋f（x2）＝（2＋log3x）2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝（log3x＋3）2－3.……（4分）

∵函数f（x）的定义域为[1,9]，

∴要使函数y＝[f（x）]2＋f（x2）有意义，必须1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，（8分）

∴6≤（log3x＋3）2－3≤当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝∴当x＝3时，函数y＝[f（x）]2＋f（x2）取最大值13.………………………………………（12分）

10．解　

（1）f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），则x＋10，1－x0，解得－1x1.

故所求函数f（x）的定义域为{x|－1x1}．………………………………………………（4分）

（2）由

（1）知f（x）的定义域为{x|－1x1}，

且f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）

＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]

＝－f（x），故f（x）为奇函数．………………………………………………………………（8分）

（3）因为当a1时，f（x）在定义域{x|－1x1}内是增函数，所以f（x）0⇔x＋11－x1.

解得0x1.所以使f（x）0的x的解集是{x|0x1}．…………………………………（12分）

11．解　

（1）由ax－bx0，得（ab）x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f（x）的定义域为（0，＋∞）．…………………………………………………………………………………………（4分）

（2）任取x1x20，a1b0，则0，，所以0，

即．故f（x1）f（x2）．

所以f（x）在（0，＋∞）上为增函数．………………………………………………………（8分）

假设函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f（x）是增函数矛盾．

故函数y＝f（x）的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………（10分）

（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）f

（1）．这样只需f

（1）＝lg（a－b）≥0，即当a≥b＋1时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．……………………………………………（14分）