南阳市中考数学试题及答案.docx

南阳市中考数学试题及答案.docx

《南阳市中考数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南阳市中考数学试题及答案.docx（31页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

南阳市中考数学试题及答案

南阳市 2019 年中考数学试题与答案

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．﹣ 的绝对值是（）

A．﹣B．C．2D．﹣2

2．成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）

A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5

3．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D 的度数为（）

A．45°B．48°C．50°D．58°

4．下列计算正确的是（）

A．2a+3a＝6a

C．（x﹣y）2＝x2﹣y2

B．（﹣3a）2＝6a2

D．3  ﹣  ＝2

5．如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几

何体的三视图，下列说法正确的是（）

A．主视图相同

C．俯视图相同

B．左视图相同

D．三种视图都不相同

6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3 的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

B．有两个相等的实数根

D．没有实数根

7．某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图

所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A．1.95 元

B．2.15 元          C．2.25 元         D．2.75 元

8．已知抛物线 y＝﹣x2+bx+4 经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（）

A．﹣2B．﹣4C．2D．4

9．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点 A，C 为圆心，大于 AC 长为

半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）

A．2B．4C．3D．

10．如图，在△OAB 中，顶点 O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点

O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（）

A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）

二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。

）

11．计算：

12．不等式组

﹣2﹣1＝      ．

的解集是      ．

13．现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除

颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是．

14．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC⊥OA．若 OA＝2

的面积为．

，则阴影部分

15．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE＝ α．连接 

，将 ABE 沿 AE 折叠，

若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为．

三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）

16．（8 分）先化简，再求值：

（﹣1）÷，其中 x＝．

17．（9 分）如图，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是

不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G．

（

）求证：

ADF≌△BDG；

（2）填空：

上

①若 AB＝4，且点 E 是

的中点，则 DF 的长为      ；

②取

的中点 H，当∠EAB 的度数为      时，四边形 OBEH 为菱形．

18．（9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50

名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在 70≤x＜80 这一组的是：

7072747576767777777879

c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级

七

八

平均数

76.9

79.2

中位数

m

79.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有人；

（2）表中 m 的值为；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排

名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数．

19．（9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像

DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测

得塑像顶部 D 的仰角为 60°，求炎帝塑像 DE 的高度．

（精确到 1m．参考数据：

sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

20．（9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120

元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．

（1）求 A，B 两种奖品的单价；

（2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请设计出最省钱

的购买方案，并说明理由．

21．（10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”

的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy＝4，即 y＝ ；由周长为 m，得 2（x+y）

＝m，即 y＝﹣x+ ．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数 y＝ （x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+ 的图象可由直线 y＝﹣x 平移得到．请在同一直

角坐标系中直接画出直线 y＝﹣x．

（3）平移直线 y＝﹣x，观察函数图象

①当直线平移到与函数 y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？

请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为．

22．（10 分）在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α ．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点．连接 AP，将

线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP．

（1）观察猜想

如图 1，当 α ＝60°时，

（2）类比探究

的值是      ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是      ．

如图 2，当 α ＝90°时，请写出

的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形

说明理由．

（3）解决问题

当 α ＝90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直

线上时的值．

23．（11 分）如图，抛物线y＝ax2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y＝﹣ x﹣2 经过点 A，

C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．

①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；

②作点 B 关于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B′到该直线的距离都相等．当点 P

在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：

y＝kx+b 的解析式．（k，b 可用含 m

的式子表示）

参考答案

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．B2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.D9.A10. D

二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。

）

11． 1 ．12． x≤﹣2．13．．14．+π．15．或．

三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）

16．解：

原式＝（﹣）÷

＝•

＝，

当 x＝时，原式＝＝．

17．解：

（1）证明：

如图 1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°

∴∠DAF＝∠DBG

∵∠ABD+∠BAC＝90°

∴∠ABD＝∠BAC＝45°

∴AD＝BD

∴△ADF≌△BDG（ASA）；

（2）①如图 2，过 F 作 FH⊥AB 于 H，∵点 E 是的中点，

∴∠BAE＝∠DAE

∵FD⊥AD，FH⊥AB

∴FH＝FD

∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，

∴，即 BF＝FD

∵AB＝4，

∴BD＝4cos45°＝2，即 BF+FD＝2，（+1）FD＝2

∴FD＝

故答案为

＝4﹣2

．

②连接 OE，EH，∵点 H 是

的中点，

∴OH⊥AE，

∵∠AEB＝90°

∴BE⊥AE

∴BE∥OH

∵四边形 OBEH 为菱形，

∴BE＝OH＝OB＝ AB

∴sin∠EAB＝＝

∴∠EAB＝30°．

故答案为：

30°

18．解：

（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 15+8＝23 人，

故答案为：

23；

（2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 78、79，

∴m＝＝77.5，

故答案为：

77.5；

（3）甲学生在该年级的排名更靠前，

∵七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之前，

八年级学生乙的成绩小于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之后，

∴甲学生在该年级的排名更靠前．

（4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400×

19．解：

∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，

＝224（人）．

∴tan∠CAE＝

∴AC＝

，

＝     ≈82.1m，

∵AB＝21m，

∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，

在 

BCD 中，tan60°＝＝，

∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，

∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，

答：

炎帝塑像 DE 的高度约为 51m．

20．解：

（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，

根据题意，得

，

∴，

∴A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；

（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为 W 元，

由题意可知，z≥ （30﹣z），

∴z≥，

W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，

当 z＝8 时，W 有最小值为 570 元，

即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少；

21．解：

（1）x，y 都是边长，因此，都是正数，

故点（x，y）在第一象限，

答案为：

一；

（2）图象如下所示：

（3）①把点（2，2）代入 y＝﹣x+ 得：

2＝﹣2+ ，解得：

m＝8；

②在直线平移过程中，交点个数有：

0 个、1 个、2 个三种情况，

联立 y＝ 和 y＝﹣x+ 并整理得：

x2﹣ mx+4＝0，

△＝ m2﹣4×4≥0 时，两个函数有交点，

解得：

m≥8；

（4）由（3）得：

m≥8．

22．解：

（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，

∴∠CAP＝∠BAD，

∵CA＝BA，PA＝DA，

∴△CAP≌△BAD（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵∠AOC＝∠BOE，

∴∠BEO＝∠CAO＝60°，

∴＝1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60°，

故答案为 1，60°．

（2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵＝＝，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA＝∠DBA，

＝  ＝  ，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠OABB＝45°，

∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45°．

（3）如图 3﹣1 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H．

∵CE＝EA，CF＝FB，

∴EF∥AB，

∴∠EFC＝∠ABC＝45°，

∵∠PAO＝45°，

∴∠PAO＝∠OFH，

∵∠POA＝∠FOH，

∴∠H＝∠APO，

∵∠APC＝90°，EA＝EC，

∴PE＝EA＝EC，

∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，

∴∠H＝∠BAH，

∴BH＝BA，

∵∠ADP＝∠BDC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴BD⊥AH，

∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，

∵∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴A，D，C，B 四点共圆，

∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，

∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，

∴DA＝DC，设 AD＝a，则 DC＝AD＝a，PD＝

∴＝＝2﹣．

a，

如图 3﹣2 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：

DA＝DC，设 AD＝a，则 CD＝AD＝a，PD＝

a，

∴PC＝a﹣

∴＝

a，

＝2+  ．

23．解：

（1）当 x＝0 时，y＝﹣ x﹣2＝﹣2，

∴点 C 的坐标为（0，﹣2）；

当 y＝0 时，﹣ x﹣2＝0，

解得：

x＝﹣4，

∴点 A 的坐标为（﹣4，0）．

将 A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入 y＝ax2+ x+c，得：

，解得：

，

∴抛物线的解析式为 y＝ x2+ x﹣2．

（2）①∵PM⊥x 轴，

∴∠PMC≠90°，

∴分两种情况考虑，如图 1 所示．

（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x 轴，

∴点 P 的纵坐标为﹣2．

当 y＝﹣2 时， x2+ x﹣2＝﹣2，

解得：

x1＝﹣2，x2＝0，

∴点 P 的坐标为（﹣2，﹣2）；

（ii）当∠PCM＝90°时，设 PC 与 x 轴交于点 D．

∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，

∴∠OAC＝∠OCD．

又∵∠AOC＝∠COD＝90°，

∴△AOC∽△COD，

∴＝，即＝，

∴OD＝1，

∴点 D 的坐标为（1，0）．

设直线 PC 的解析式为 y＝kx+b（k≠0），

将 C（0，﹣2），D（1，0）代入 y＝kx+b，得：

，解得：

，

∴直线 PC 的解析式为 y＝2x﹣2．

联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，得：

，

解得：

，，

点 P 的坐标为（6，10）．

综上所述：

当△PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．

②当 y＝0 时， x2+ x﹣2＝0，

解得：

x1＝﹣4，x2＝2，

∴点 B 的坐标为（2，0）．

∵点 P 的横坐标为 m（m＞0 且 m≠0），

∴点 P 的坐标为（m， m2+ m﹣2），

∴直线 PB 的解析式为 y＝ （m+4）x﹣ （m+4）（可利用待定系数求出）．

∵点 B，B′关于点 C 对称，点 B，B′，P 到直线 l 的距离都相等，

∴直线 l 过点 C，且直线 l∥直线 PB，

∴直线 l 的解析式为 y＝ （m+4）x﹣2．