选修31 第七章第2讲 电场的能的性质届高中物理大一轮复习讲义.docx

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选修31第七章第2讲电场的能的性质届高中物理大一轮复习讲义

第2讲　电场的能的性质

知识要点

一、电势能、电势

1.电势能

（1）电场力做功的特点：

电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。

（2）电势能

①定义：

电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。

②电场力做功与电势能变化的关系：

电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。

2.电势

（1）定义：

试探电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。

（2）定义式：

φ＝

。

（3）矢标性：

电势是标量，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）。

（4）相对性：

电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。

3.等势面

（1）定义：

电场中电势相等的各点组成的面。

（2）四个特点

①等势面一定与电场线垂直。

②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。

③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。

④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

二、电势差

1.定义：

电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功与移动电荷的电荷量的比值。

2.定义式：

UAB＝

。

3.电势差与电势的关系：

UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。

三、匀强电场中电势差与电场强度的关系

1.电势差与电场强度的关系：

匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。

即U＝Ed，也可以写作E＝

。

2.公式U＝Ed的适用范围：

匀强电场。

四、静电平衡

导体处于静电平衡状态的两大特点

（1）导体内部的场强处处为零。

（2）导体是一个等势体，导体表面是等势面。

基础诊断

1.关于静电力做功和电势能的理解，下列说法正确的是（　　）

A.静电力做功与重力做功相似，均与路径无关

B.正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的

C.静电力做正功，电势能一定增加

D.静电力做功为零，电荷的电势能也为零

答案　A

2.一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移动到B点时，静电力做了5×

10－6J的功，那么（　　）

A.电荷在B点将具有5×10－6J的电势能

B.电荷在B点将具有5×10－6J的动能

C.电荷的电势能减少了5×10－6J

D.电荷的电势能增加了5×10－6J

解析　电荷只在静电力作用下从电场中的A点移动到B点时，静电力做正功，电势能减少，静电力做了多少正功，电荷的电势能就减少多少。

因为不知道电荷在A点的动能和电势能，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，故选项C正确。

答案　C

3.如图1所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9C的正电荷从A经B、C到达D点，整个过程中电场力对电荷做的功为（　　）

图1

A.4.8×10－8J

B.－4.8×10－8J

C.8.0×10－8J

D.－8.0×10－8J

解析　电场力做功与路径无关，WAD＝qUAD＝q（φA－φD）＝－4.8×10－8J，B项正确。

答案　B

4.将两金属球P、Q固定，让球P带上正电后，形成稳定的电场如图2所示，已知实线为电场线，虚线为等势面，其中A、B、C、D为静电场中的四点，则（　　）

图2

A.C、D两点的电场强度相同，电势相等

B.A、B两点的电势相同，电场强度不同

C.将电子从A点移至B点，电场力做负功

D.将电子从A点移至D点，电势能增大

解析　C、D两点在同一等势面上，电势相等，但场强方向不同，故电场强度不相同，则A项错误；A、B两点不在同一等势面上，电势不相同，场强方向相反，电场强度不同，故B项错误；由题图可知从A点移至B点电势降低，故将电子从A点移至B点，电场力做负功，则C项正确；A点、D点在同一等势面上，故将电子从A点移至D点，电场力不做功，电势能不变，故D项错误。

答案　C

　描述电场的能的性质的物理量

1.电势高低常用的两种判断方法

（1）沿电场线方向电势逐渐降低。

（2）若UAB＞0，则φA＞φB；若UAB＜0，则φA＜φB。

2.电势能大小的判断方法

判断角度

判断方法

做功判断法

电场力做正功，电势能减小；

电场力做负功，电势能增大

电荷电势法

正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大

公式法

由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大

能量守恒法

在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大

【例1】（多选）（2019·全国Ⅲ卷，21）如图3，电荷量分别为q和－q（q>0）的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。

则（　　）

图3

A.a点和b点的电势相等

B.a点和b点的电场强度大小相等

C.a点和b点的电场强度方向相同

D.将负电荷从a点移到b点，电势能增加

解析　b点

距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误；如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。

其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确；由于φa＜φb，负电荷从低电势移至高电势过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。

答案　BC

1.（2016·全国Ⅲ卷，15）关于静电场的等势面，下列说法正确的是（　　）

A.两个电势不同的等势面可能相交

B.电场线与等势面处处相互垂直

C.同一等势面上各点电场强度一定相等

D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功

解析　若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，选项A错误；电场线一定与等势面垂直，选项B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，选项C错误；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，故选项D错误。

答案　B

2.（2020·河南郑州模拟）如图4所示，以O点为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f，等量异种点电荷分别放置在a、d两点上，下列说法正确的是（　　）

图4

A.b、c、e、f四点的场强相同

B.b、c、e、f四点的电势相等

C.将一带正电的试探电荷从O点移到e点，电场力做负功

D.将一带正电的试探电荷从O点移到e点，电场力做正功

解析　由题意可知，对两点电荷在b、c、e、f四点处的电场强度各自进行矢量合成，可知四点处的电场强度大小相等，方向不同，A错误；依据等量异种点电荷等势线的分布，可知b、f两点的电势为正，而c、e两点的电势为负。

O点的电势为零，B错误；将一带正电的试探电荷从O点移到e点，即从高电势处移到低电势处，电势能减小，因此电场力做正功，C错误，D正确。

答案　D

3.（多选）（2018·全国Ⅰ卷，21）图5中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。

一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。

下列说法正确的是（　　）

图5

A.平面c上的电势为零

B.该电子可能到达不了平面f

C.该电子经过平面d时，其电势能为4eV

D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍

解析　电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2eV，电子由a到d的过程电场力做负功，电势能增加6eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2eV，C错误；电子在等势面b的动能为8eV，电子在等势面d的动能为4eV，由公式Ek＝

mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的

倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。

答案　AB

　电势差与电场强度的关系

1.公式E＝

的三点注意

（1）只适用于匀强电场。

（2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。

（3）电场强度的方向是电势降低最快的方向。

2.由E＝

可推出的两个重要推论

推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝

，如图6甲所示。

推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且

＝

，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图6乙所示。

　　　　甲　　　　　　乙

图6

3.解题思路

【例2】（多选）（2017·全国Ⅲ卷，21）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图7所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。

下列说法正确的是（　　）

图7

A.电场强度的大小为2.5V/cm

B.坐标原点处的电势为1V

C.电子在a点的电势能比在b点的低7eV

D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV

解析　如图所

示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则

＝

＝

，所以d点的坐标为（3.5cm，6cm），过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。

由几何关系可得，cf的长度为3.6cm，电场强度的大小E＝

＝

V/cm＝2.5V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV，故选项D正确。

答案　ABD

1.如图8所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。

已知A点的电势φA＝30V，B点的电势φB＝－10V，则C点的电势（　　）

图8

A.φC＝10VB.φC＞10V

C.φC＜10VD.上述选项都不正确

解析　由于A、C之间的电场线比C、B之间的电场线密，相等距离之间的电势差大，所以φC＜10V，C项正确。

答案　C

2.在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf，电场线与六边形所在平面平行，如图9所示。

已知a、b、h三点的电势分别为8V、12V、－4V，带电荷量为3e的粒子（重力不计）以48eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域，当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点，下列判断正确的是（　　）

图9

A.粒子带正电

B.粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域

C.粒子经过f点时动能为84eV

D.粒子可能从b点射出该区域

解析　依题意可知，

Ubh＝φb－φh＝16V＝4Uba，作直线bh、ac相交于g，则

＝4

，因此φg＝8V＝φa，a、g在同一等势面上且bg⊥ac，结合电势高低可判断匀强电场的方向沿bh方向由b指向h，如图所示。

沿bd射入的带电粒子经过c点，粒子做曲线运动，可判断粒子所受电场力与场强方向相反，粒子带负电，A错误；带电粒子沿bh方向做直线运动时克服电场力做功最大，且做的功Wbh＝3e×Ubh＝48eV，与带电粒子的初动能相等，因此粒子到达h点时速度为零，然后反向加速沿直线hb从b点射出，故B错误，D正确；Ubf＝φb－φf＝12V－0＝12V，由动能定理得－qUbf＝Ekf－Ek0，故Ekf＝Ek0－qUbf＝12eV，C错误。

答案　D

　电场线、等势面和带电粒子轨迹问题

1.判断速度方向：

带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。

2.判断电场力（或电场强度）的方向：

仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。

3.判断电场力做功的正负及电势能的增减：

若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。

【例3】（2018·天津理综，3）如图10所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。

下列判断正确的是（　　）

图10

A.vM

C.φM<φN，EpM

解析　由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM

N点电场线比M点的密，故场强EM

知aM

粒子若从N点运动到M点，电场力做正功，动能增加，故vM>vN。

综上所述，选项D正确。

答案　D

1.下列选项中实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力作用，运动过程中电势能一直减少，关于粒子运动到b处时的速度方向与受力方向，下列选项表示的可能正确的是（　　）

解析　因粒子所受电场力的方向指向粒子运动轨迹的凹侧，所以可判断出粒子所受电场力的方向与电场线重合且向右，由于运动过程中粒子的电势能一直减少，所以电场力一直做正功，则电场力方向与粒子速度方向的夹角一定为锐角，故选C。

答案　C

2.如图11所示，虚线a、b、c是电场中的三条等势线，相邻等势线间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一个带负电的粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。

下列说法正确的是（　　）

图11

A.三个等势线中，等势线a的电势最低

B.带负电的粒子通过Q点时的电势能比通过P点时的小

C.带负电的粒子通过Q点时的加速度比通过P点时的大

D.带负电的粒子通过P点时的加速度的方向沿着等势线c在P点处的切线方向

解析　由曲线运动的轨迹与电场力的关系可知，该粒子所受的电场力方向指向运动轨迹的凹侧，即大致向下，由于粒子带负电，因此电场强度方向大致指向上方，则电场线方向大致指向上方，由于电场线与等势线处处垂直。

且由高电势指向低电势，故等势线a的电势最高，A错误；假设粒子从Q点运动到P点，从Q到P电场力对粒子做负功，故粒子电势能增加，故B正确；因等差等势线越密，电场强度越大，所以Q点处的电场强度较小，故粒子在Q点所受的电场力较小，由牛顿第二定律可知粒子在该点的加速度较小，故C错误；由于电场线与等势线处处垂直，故粒子通过P点时所受电场力的方向，即加速度的方向一定与等势线c在P点处的切线垂直，故D错误。

答案　B

3.（多选）如图12所示，在两个固定的等量正点电荷产生的电场中，实线为等势面，虚线ABC为甲粒子的运动轨迹，虚线MBN为乙粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上，粒子重力均不计。

下列说法正确的是（　　）

图12

A.甲、乙两粒子一定都带负电

B.甲、乙两粒子到达B点时的加速度一定为零

C.甲粒子到达B点时的速度一定不为零

D.甲、乙两粒子分别到达C、N位置时，速度均可能为零

解析　从轨迹ABC的弯曲方向可知，甲粒子在A点时，速度一定不为零，且应受到向下的电场力，所以甲粒子一定带负电，当乙粒子在M点的初速度方向指向N点时，乙粒子可以带负电，也可以带正电，A错误；由于是等量正点电荷产生的电场，所以B点场强一定为零，粒子到达B点时的加速度一定为零，B正确；由于φA＜φB，由A到B的过程，甲粒子的电势能减小，根据能量守恒，甲粒子的动能一定增大，所以一定有vB＞vA，即甲粒子到达B点时的速度一定不为零，C正确；由于φA＝φC，根据能量守恒，一定有vC＝vA，即甲粒子到达C点时的速度一定不为零，当乙粒子在M点速度为零时，则其在N点速度也为零，D错误。

答案　BC

　电场中常考的“四类”图象问题

考向

　v－t图象

（1）根据v－t图象中速度变化、斜率确定电荷所受电场力的方向与大小变化。

（2）由电场力方向确定电场的方向、电势高低及电势能变化。

【例4】（多选）（2020·安徽黄山模拟）光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图13甲所示。

一质量m＝1g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v－t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（　　）

图13

A.中垂线上B点电场强度最大

B.A、B两点之间的位移大小

C.B点是连线中点，C与A

点必在连线两侧

D.UBC＞UAB

解析　v－t图象的斜率表示加速度，可知小物块在B点的加速度最大，所受的电场力最大，所以B点的电场强度最大，A正确；小物块由A运动到B的过程中，由图乙可知A、B两点的速度，已知小物块的质量，则由动能定理可知qUAB＝

mv

－

mv

，由上式可求出小物块由A运动到B的过程中电场力所做的功qUAB，因为电场强度的关系未知，则不能求解A、B两点之间的位移大小，B错误；中垂线上电场线分布不是均匀的，B点不在连线中点，C错误；在小物块由A运动到B的过程中，根据动能定理有qUAB＝

mv

－

mv

＝（

×1×10－3×42－0）J＝8×10－3J，同理，在小物块由B运动到C的过程中，有qUBC＝

mv

－

mv

＝（

×1×10－3×72－

×1×10－3×42）J＝16.5×10－3J，对比可得UBC＞UAB，D正确。

答案　AD

考向

　φ－x图象

（1）φ－x图线上某点切线的斜率的绝对值等于电场强度的大小，φ－x图线存在极值，极值点切线的斜率为零，则对应位置处电场强度为零。

（2）在φ－x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。

（3）在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB＝q（φA－φB）进而分析WAB的正负，然后作出判断。

【例5】（多选）（2017·全国Ⅰ卷，20）在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图14所示。

电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。

点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标（ra，φa）标出，其余类推。

现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。

下列选项正确的是（　　）

图14

A.Ea∶Eb＝4∶1B.Ec∶Ed＝2∶1

C.Wab∶Wbc＝3∶1D.Wbc∶Wcd＝1∶3

解析　由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1m、2m、3m、6m，根据点电荷的场强公式E＝k

可知，

＝

＝

，

＝

＝

，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3V、1V、1V，所以

＝

，

＝

，故C正确，D错误。

答案　AC

考向

　E－x图象

（1）描述电场强度随位移变化的规律。

（2）场强E正负表示场强的方向。

（3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差。

【例6】（多选）（2019·安徽省皖南八校联考）某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图15所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。

一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到x＝3x0处，假设粒子仅受电场力作用，E0和x0已知，则（　　）

图15

A.粒子一定带负电

D.粒子的初动能大小为

qE0x0

C.粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先增大后减小

D.粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为2qE0x0

解析　如果粒子带负电，粒子在电场中一定先做减速运动后做加速运动，因此粒子x＝3x0处的速度不可能为零，故粒子一定带正电，A错误；根据动能定理

qE0x0－

×2qE0·2x0＝0－Ek0，可得Ek0＝

qE0x0，B正确；粒子向右运动的过程中，电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，C错误；粒子运动到x0处动能最大，根据动能定理

qE0x0＝Ekmax－Ek0，解得Ekmax＝2qE0x0，D正确。

答案　BD

考向

　Ep－x图象

（1）描述电势能随位移变化的规律。

（2）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。

（3）根据W＝Ep－Ep0＝Fx，图象Ep－x的斜率为电场力。

【例7】在坐标－x0到x0之间存在一沿x轴方向的电场，一质量为m的带正电的粒子由－x0处运动到x0处的电势能随位移的变化规律如图16所示，已知粒子只受电场力作用。

则下列说法正确的是（　　）

图16

A.粒子的初速度可以等于零

B.粒子初动能的最小值应为E0

C.原点的电势一定等于零

D.粒子由原点运动到x0的过程中，加速度一直减小

解析　粒子由－x0运动到原点的过程中，粒子的电势能一直增加，则粒子的动能一直减少，因此粒子的初速度不可能为零，A错误；由于粒子从－x0运动到原点的过程中，电场力一直做负功，由功能关系可知，粒子要运动到原点，则在－x0处具有的动能至少为E0，B正确；－x0处的电势能为零，则－x0处的电势为零，由题图可知，粒子在原点处的电势能大于零，故原点处的电势一定大于零，选项C错误；由

＝

＝Eq可知Ep－x图象的斜率等于电场力，粒子从原点运动到x0的过程中，图象的斜率先增大后减小，则粒子的加速度先增大后减小，D错误。

答案　B

1.一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的v－t图象如图17所示，起始点O为坐标原点，下列关于电势φ、粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a与位移x的关系图象中可能合理的是（　　）

图17

解析　由v－t图象可知速度减小，且加速度逐渐减小，电场力做负功，动能逐渐减小，而电场强度E＝

＝

，所以沿＋x方向场强逐渐减小，则电势不是均匀减小，所以A、B、D错误，C可能合理。

答案　C

2.（2020·福建泉州模拟）在坐标－x0到x0之间有一静电场，x轴上各点的电势φ随坐标x的变化关系如图18所示，一电荷量为e的质子从－x0处以一定初动能仅在电场力作用下沿x轴正向穿过该电场区域。

则该质子（　　）

图18

A.在－x0～0区间一直做加速运动

B.在0～x0区间受到的电场力一直减小

C.在－x0～0区间电势能一直减小

D.在－x0～0区间电势能一直增加

解析　从－x0到0，电势逐渐升高，意味着该区域内的场强方向向左，质子受到的电场力向左，与运动方向相反，所以质子做减速运动，A错误；设在x～x＋Δx，电势为φ～φ＋Δφ，根据场强与电势差的关系式E＝

，当Δx无限趋近于零时，

表示x处的场强大小（即φ－x图线的斜率），从0到x0区间，图线的斜率先增大后减小，所以电场强度先增大后减小，根据F＝Ee，质子受到的电场力先增大后减小，B错误；在－x0～0区间质子受到的电场力方向向左，与运动方向相反，电场力做负功，电势能增加，C错误，D正确。

答案　D

课时作业

（时间：

40分钟）

基础巩固练

1.如图1所示，虚线表示某电场的等势面。

一带电粒子仅在电场力作用下由A运动到B的径迹如图中实线所示。

粒子在A点的加速度为aA、电势能为EA；在B点的加速度为aB、电势能为EB。

则下列结论正确的是（　　）

图1

A.粒子带正电，aA＞aB，EA＞