完整九年级数学锐角三角函数学生讲义docx.docx
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完整九年级数学锐角三角函数学生讲义docx
锐角三角函数与解直角三角形
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠叫做斜边．
BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠BA的邻边，直角C所对的边AB记为c，
B
c
a
A
b
C
锐角A的对边与斜边的比叫做∠
A的正弦，记作
sinA，即sinA
A的对边
a；
斜边
c
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠
A的余弦，记作
cosA，即cosA
A的邻边
b；
斜边
c
锐角A的对边与邻边的比叫做∠
A的正切，记作
tanA，即tanA
A的对边
a.
A的邻边
b
同理sinB
B的对边
b；cosB
B的邻边
a；tanB
B的对边
b．
斜边
c
斜边
c
B的邻边
a
要点诠释：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条
线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
1
，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的
乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF），其正切
应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
2
、常
写成、
、．
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（4）由锐角三角函数的定义知：
3
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，
，tanA＞0．
考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
（1）通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：
如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：
若
4
，则锐角
．
（2）仔细研究表中数值的规律会发现：
sin0、、
5
、、
sin90的值依次为0、、
、
、1，
6
而cos0、、
、、
cos90的值的顺序正好相反，、
7
、的
值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）互余关系：
，
8
；
（2）平方关系：
；
（3）倒数关系：
或
9
；
（4）商数关系：
．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：
a2+b2=c2（勾股定理）.
②锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
10
，
，，
，
11
，.
④，h为斜边上的高.
要点诠释：
（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°），是已知的值.
（2）
这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系
（如不等关系）.
（3）
对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解
.
考点五、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件解法步骤
Rt△ABC两两直角边（a，b）由
12
边
求∠A，
∠B=90°－∠A，
由
斜边，一直角边（如c，a）求∠A，
∠B=90°－∠A，
13
∠B=90°－∠A，
锐角、邻边
（如∠A，b），
一
边一直角边
一和一锐角∠B=90°－∠A，
角
锐角、对边
（如∠A，a），
14
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角（如c，∠A）
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些
元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条
件为边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数
量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形
的问题.
（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角
形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
15
（1）坡角：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母
表示.
坡度（坡比）：
坡面的铅直高度h和水平距离的比
叫做坡度，用字母表示，则
16
，如图，坡度通常写成
=∶
的形式.
17
（2）仰角、俯角：
视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
（3）方位角：
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标
方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
18
（4）方向角：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②
中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏
西60°.特别如：
东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，
最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示
意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
1．
（1）如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．
A
．10·tan50°
B．10·cos50°
C．10·sin50°
D．
10
sin50°
（2）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3，求cosA+tanB的值．
5
19
（3）如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．
【思路点拨】
（1）在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．
（2）直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数
值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．
（3）要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】
已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：
利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；
（2）题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2A+cos2A＝1，读者可自己
尝试完成．
举一反三：
【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于（）
（A）acosA
bsinB
（B）
a
b
（D）
（C）
sinB
sinA
类型二、特殊角的三角函数值
asinAbsinB
ab
cosAsinB
2．解答下列各题：
（1）化简求值：
tan60°tan45°sin45°sin30°；sin60°cos30°cos45°
（2）在△ABC中，∠C＝90°，化简12sinAcosA．
．
【总结升华】
由第
（2）题可得到今后常用的一个关系式：
1±2sinαcosα=（sinα±cosα）2．
例如，若设sinα+cosα＝t，则sin
cos
1
（t21）．
2
20
举一反三：
【变式】若sin2
3
sin，（2α，β为锐角），求tan（2
）的值.
，cos
2
3
3．
（1）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝30°，AC＝8，求AB和BC的长；
（2）在△ABC中，∠ABC＝135°，∠A＝30°，AC＝8，如何求AB和BC的长?
（3）在△ABC中，AC＝17，AB＝26，锐角A满足sinA12，如何求BC的长及△ABC的面积？
13
若AC＝3，其他条件不变呢?
【思路点拨】
第
（1）题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝45°；过点C作CD
⊥AB于D，则Rt△ACD是可解三角形，可求出CD的长，从而Rt△CDB可解，由此得解；第
（2）题的条件是“两角一对边”；第（3）题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．
类型三、解直角三角形及应用
4．如图所示，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD:
S△CDB
2:
3，cosDCB
4
，
5
AC+CD＝18，求tanA的值和AB的长．
21
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1：
锐角三角函数的定义
【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．
例1如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，
则下列结论正确的是（）
A．sinA＝
3
B．tanA＝1
2
2
C．cosB＝
3
D．tanB＝3
2
例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝3
则tanA等于（
）
5
A．3
B．4
C．3
D．4
5
5
4
3
专题2特殊角的三角函数值
【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．
例4计算|－3|＋2cos45°－（3－1）0．
例5
计算－
1＋
9＋（－1）2007－cos60°．
2
例6计算|－2|＋（cos60°－tan30°）0＋8．
1
3
1
例7
计算
－（π－3.14）
0－|1－tan60°|－
.
2
3
2
专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用
【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.
例8如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC
4
边的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
（1）求线段DC的长；
（2）求tan∠EDC的值.
22
例9如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.
（1）求证AC＝BD；
12
（2）若sinC＝，BC＝12，求AD的长．
例10如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30
＋303，求AB的长．
23
专题4用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．
例13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识
去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD
＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?
（结果保留小数点后两位）
例14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现
海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入
海中；2号救生员沿岸边（岸边可以看成是直线）向前跑到C点再跳入海中；3号救
生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的
速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，
三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．（参考数据2≈1.4，3
≈1.7）
例15如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航
行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周
围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?
试说明理由．
24
例16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别
在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F
三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．（3≈1.73，结果保留
整数）
例17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，
坝高4m，背水坡的坡度是1：
1，迎水坡的坡度是1：
1.5，求坝底宽BC.
例18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点
A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水
平距离AB．（参考数据：
sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）
25
二、规律方法专题
专题5公式法
【专题解读】
本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．
1
sin
2
例19当0°＜α＜90°时，求
的值．
cos
三、思想方法专题
专题6类比思想
【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角
三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程（组）一样求直角
三角形中的未知元素．
例20在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b
2
＝15，解这个直角三角形．
2
．
专题7
数形结合思想
【专题解读】由“数”思“形”
，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，
是解决几何问题常用的方法之一．
例21
如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－
3
x＋
3
，则cosα等于（
）
3
3
A．1
2
B．
2
2
C．
3
3
2
D．
3
26
专题8分类讨论思想
【专题解读】当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．
例22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加
油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km．要经过C修一条笔直的公路
与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．（结果可保
留根号）
专题9转化思想
例24如图28－140所示，A，B两城市相距100km．现计划在这两座城市中间
修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°
和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km
为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?
（参
考数据：
3≈1.732，2≈1.414）
例25小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：
“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果保留整数；参考数据：
sin36°≈0．6，cos36°
≈0．8，tan36°≈0.7）
例26如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼
的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°
27
角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?
28
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