高中数学概率统计练习题.docx

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高中数学概率统计练习题

2015 年 12 月 31 日期末复习题

（二）

一．选择题（共 12 小题）

1．某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：

3：

5．现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，

则此样本的容量为（）

A．40B．80 C．160 D ．320

2．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从 5000 名参加

今年大联考的学生中抽取了 250 名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列

表述正确的是（）

A．5000 名学生是总体B．250 名学生是总体的一个样本

C．样本容量是 250D．每一名学生是个体

3．（2015?

抚顺模拟）某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理

状况，将每个班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法．抽取 4 个班进行调

查，若抽到的最小编号为 3，则抽取最大编号为（）

A．15 B．18 C．21 D．22

4．一个频率分布表（样本容量为 30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数

据在[20，60）上的频率为 0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个

数共为（）

A．15 B．16 C．17 D．19

5．如图是一容量为 100 的样本的重量的

频率分布直方图，则由图可估计样本重量

的中位数为（）

A．11 B．11.5C．12 D．12.5

6．某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：

万元）与

月支出 （单位：

万元）的统计资料如下表所示：

月份1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份

收入 x 12.314.515.017.019.820.6

支出 Y 5.635.755.825.896.116.18

根据统计资料，则（）

A．月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系

B．月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系

C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系

D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系

7．下列事件是随机事件的是（）

（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．

（2）异性电荷相互吸引

（3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．

A．

（1）

（2） B．

（2）（3） C．（3）（4） D．

（1）（4）

8．从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么

对立的两个事件是（）

A．至少有 1 个白球，至少有 1 个红球 B．至少有 1 个白球，都是红球

C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D．至少有 1 个白球，都是白球

9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 2011 次，那么第 2010 次出现正面

朝上的概率是（）

A．B．C．D．

10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红

球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（）

A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7

11．已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，

恰有一件次品的概率为（）

A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1

12．函数 f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点 x0，使 f（x0）≤0

的概率是（）

A．B．C．D．

二．填空题（共 4 小题）

13．在棱长为 2 的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于 1

的概率．

14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为。

15．已知盒子中有 5 个白球、3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从盒子中

随机地取出 2 个球，则其中至少有 1 个黑球的概率是．

16．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为，则 a 的值

为．

x23456

y251254257262266

三．解答题（共 6 小题）

17．一个单位有职工 160 人，其中业务员 120 人，管理人员 16 人，后勤服务人

员 24 人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，用分层

抽样的方法写出抽取样本的过程．

18．已知向量 =（2，1）， =（x，y）

（Ⅰ）若 x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量 ⊥ 的概率；

（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域 Ω：

，求

二元数组（x，y）满足 x2+y2≥1 的概率．

19．农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从

两块试验田中任意选取 6 颗该种作物果实，测得籽重（单位：

克）数据如下：

甲种作物的产量数据：

111，111，122，107，113，114

乙种作物的产量数据：

109，110，124，108，112，115

（1）计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；

（2）作出两组数据的茎叶图．

20．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数

的茎叶图．

（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；

（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，

根据结果比较，哪位选手的数据波动小？

21．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建

议．现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析．下面是该生 7 次考

试的成绩．

数学888311792108100112

物理949110896104101106

（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？

请给出你的理由；

（2）已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达

到 115 分，请你估计他的数学成绩大约是多少？

（已知 88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497，

882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994）

（参考公式：

==， = ﹣）

22．某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：

度），以[160，180），[180，

200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分

组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中 x 的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）

的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220.240）

的用户中应抽取多少户？

2015 年 12 月 31 日期末复习题

（二）

参考答案与试题解析

一．选择题（共 12 小题）

1．（2015?

陕西校级模拟）某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次

为 2：

3：

5．现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，则

此样本的容量为（）

A．40B．80C．160 D．320

【考点】分层抽样方法．

【专题】概率与统计．

【分析】根据分层抽样的定义和方法可得

【解答】解：

根据分层抽样的定义和方法可得

故选 B．

=  ，解方程求得 n 的值，即为所求．

=  ，解得 n=80，

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之

比，属于基础题．

2．（2015 春?

白山期末）某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从 5000

名参加今年大联考的学生中抽取了 250 名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述

正确的是（）

A．5000 名学生是总体

B．250 名学生是总体的一个样本

C．样本容量是 250

D．每一名学生是个体

【考点】简单随机抽样．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征

的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先

找出考查的对象，考查对象是某地区初中毕业生参加中考的数学成绩，再根据被收集数据

的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【解答】解：

总体指的是 5000 名参加今年大联考的学的成绩，所以 A 错；

样本指的是抽取的 250 名学生的成绩，所以 B 对；

样本容量指的是抽取的 250，所以 C 对；

个体指的是 5000 名学生中的每一个学生的成绩，所以 D 错；

故选：

C．

【点评】考查统计知识的总体，样本，个体，等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：

学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．

3．（2015?

抚顺模拟）某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每

个班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法．抽取 4 个班进行调查，若抽到的最小编号

为 3，则抽取最大编号为（）

A．15B．18C．21D．22

【考点】系统抽样方法．

【专题】概率与统计．

【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．

【解答】解：

抽取样本间隔为 24÷6=6，

若抽到的最小编号为 3，则抽取最大编号为 3+3×6=21，

故选：

C

【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．

4．（2015?

陕西二模）一个频率分布表（样本容量为 30）不小心倍损坏了一部分，只记得

样本中数据在[20，60）上的频率为 0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数

共为（）

A．15B．16C．17D．19

【考点】频率分布表．

【专题】概率与统计．

【分析】根据样本数据在[20，60）上的频率求出对应的频数，再计算样本在[40，50），[50，

60）内的数据个数和即可．

【解答】解：

∵ 样本数据在[20，60）上的频率为 0.8，

∴ 样本数据在[20，60）上的频数是 30×0.824，

∴ 估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为 24﹣4﹣5=15．

故选：

A．

【点评】本题考查了频率=的应用问题，是基础题目．

5．（2015?

烟台二模）如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计

样本重量的中位数为（）

A．11B．11.5 C．12D．12.5

【考点】众数、中位数、平均数．

【专题】概率与统计．

【分析】由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可估计样本重量的中位数．

【解答】解：

由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可估计样本重量的中位数

是 12．

故选：

C．

【点评】本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基

础题．

6．（2015?

湖南一模）某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：

万元）与月支出 y（单位：

万元）的统计资料如下表所示：

月份1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份

收入 x 12.314.515.017.019.820.6

支出 Y 5.635.755.825.896.116.18

根据统计资料，则（）

A．月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系

B．月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系

C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系

D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系

【考点】变量间的相关关系．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】月收入的中位数是

=16，收入增加，支出增加，故 x 与 y 有正线性相关关

系．

【解答】解：

月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故 x 与 y 有正线性相关

关系，

故选：

C．

【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．

7．（2015 春?

重庆期末）下列事件是随机事件的是（）

（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．

（2）异性电荷相互吸引

（3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．

A．

（1）

（2）B．

（2）（3）C．（3）（4）D．

（1）（4）

【考点】随机事件．

【专题】概率与统计．

【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：

（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．是随机事件；

（2）异性电荷相互吸引，是必然事件；

（3）在标准大气压下，水在 1℃时结冰，是不可能事件；

（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．是随机事件；

故是随机事件的是

（1），（4），

故选：

D

【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：

必然

事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事

件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适

中．

8．（2014 春?

邯郸期末）从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2

个球，那么对立的两个事件是（）

A．至少有 1 个白球，至少有 1 个红球

B．至少有 1 个白球，都是红球

C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球

D．至少有 1 个白球，都是白球

【考点】随机事件．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这

个定义，对各选项依次加以分析，不难得出选项 B 才是符合题意的答案．

【解答】解：

对于 A，“至少有 1 个白球”发生时，“至少有 1 个红球”也会发生，

比如恰好一个白球和一个红球，故 A 不对立；

对于 B，“至少有 1 个白球”说明有白球，白球的个数可能是 1 或 2，

而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是 0，

这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故 B 是对立的；

对于 C，恰有 1 个白球，恰有 2 个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生

但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；

对于 D，至少有 1 个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了

故选 B

【点评】本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题．互斥是对立

的前提，对立是两个互斥事件当中，必定有一个要发生．

9．（2015?

龙川县校级模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 2011 次，那么第 2010

次出现正面朝上的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】概率的意义．

【专题】应用题；概率与统计．

【分析】简化模型，只考虑第 2010 次出现的结果，有两种结果，第 2010 次出现正面朝上只

有一种结果，即可求

【解答】解：

抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 2010 次，有两种结果：

正面朝上，反面

朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为 ．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有 n 种可

能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）

= ．

10．（2015?

张掖一模）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，

摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（）

A．0.42 B．0.28 C．0.3D．0.7

【考点】互斥事件与对立事件．

【专题】计算题．

【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的

概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是 1﹣

0.42﹣0.28，得到结果．

【解答】解：

∵ 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，

在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的

摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，

∵ 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，

∴ 摸出黑球的概率是 1﹣0.42﹣0.28=0.3，

故选 C．

【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个

简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．

11．（2015?

广东）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2

件，恰有一件次品的概率为（）

A．0.4B．0.6C．0.8D．1

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从 5 件产品任取 2 件的取法，取

到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．

【解答】解：

这是一个古典概型，从 5 件产品中任取 2 件的取法为

∴ 基本事件总数为 10；

；

设“选的 2 件产品中恰有一件次品”为事件 A，则 A 包含的基本事件个数为

=6；

∴ P（A）==0.6．

故选：

B．

【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的

概念，掌握组合数公式，分步计数原理．

12．（2015?

芜湖校级模拟）函数 f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点 x0，

使 f（x0）≤0 的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．

【专题】计算题．

【分析】先解不等式 f（x0）≤0，得能使事件 f（x0）≤0 发生的 x0 的取值长度为 3，再由 x0

总的可能取值，长度为定义域长度 10，得事件 f（x0）≤0 发生的概率是 0.3

【解答】解：

∵ f（x）≤0?

x2﹣x﹣2≤0?

﹣1≤x≤2，

∴ f（x0）≤0?

﹣1≤x0≤2，即 x0∈[﹣1，2]，

∵ 在定义域内任取一点 x0，

∴ x0∈[﹣5，5]，

∴ 使 f（x0）≤0 的概率 P==

故选 C

【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，

是解决问题的关键

二．填空题（共 4 小题）

13．（2015?

景洪市校级模拟）在棱长为 2 的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心

的距离大于 1 的概率1﹣．

【考点】几何概型．

【专题】计算题．

【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：

OQ≥1 几何体的体积，再将求得的体积值

与整个正方体的体积求比值即得．

【解答】解：

取到的点到正方体中心的距离小于等于 1 构成的几何体的体积为：

×13=，

∴ 点到正方体中心的距离大于 1 的几何体的体积为：

v=V 正方体=8﹣

取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率：

P==1﹣

．

故答案为：

1﹣

．

【点评】本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运

算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．

14．（2015•上海模拟）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为

．

【考点】等可能事件的概率．

【专题】计算题．

【分析】由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率．

【解答】解：

由题意：

甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：

甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，

因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为 ．

故答案为：

 ．

【点评】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结

果出现的可能性相等求出对应事件的概率．

15．（2015 春•宿迁期末）已知盒子中有 5 个白球、3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，

若从盒子中随机地取出 2 个球，则其中至少有 1 个黑球的概率是．

【考点】互斥事件的概率加法公式．

【专题】概率与统计．

【分析】利用对立事件的概率公式，可得至少有 1 个黑球的概率．

【解答】解：

由题意，利用对立事件的概率公式，可得至少有 1 个黑球的概率是 1﹣

=．

故答案为：

．

【点评】此题主要考查了概率公式，考查对立事件的概率公式的运用，比较基础．

16．（2015•锦州二模）已知下列表格所示的数据的回归直线方程为

为242.8．

x23456

y251254257262266

【考点】线性回归方程．

【专题】计算题．

【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求出 a．

，则 a 的值

【解答】解：

由表格可知，样本中心横坐标为：

=4，

纵坐标为：

=258．

由回归直线经过样本中心点，

所以：

258=3.8×4+a，

a=242.8．

故答案为：

242.8．

【点评】本题考查的知识点是线性回归直线方程，其中样本中心点在回归直线上，满足线性

回归方程．是解答此类问题的关键．

三．解答题（共 6 小题）

17．（2015 春•兰州期中）一个单位有职工 160 人，其中业务员 120 人，管理人员 16 人，

后勤服务人员 24 人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20 的样本，用分层

抽样的方法写出抽取样本的过程．

【考点】分层抽样方法．

【专题】概率与统计．

【分析】根据分层抽样的定义即可得到 结论．

【解答】解：

∵ 样本容量与职工总人数的比为 20：

160=1：

8，

∴ 业务员，管理人员，后勤服务人员抽取的个数分别为，

即分别抽取 15 人，2 人和 3 人．

每一层抽取时，可以采用简单随机抽样或系统抽样，

再将各层抽取的个体合在一起，就是要抽取的样本．

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键，比

较基础．

18．（2014•泉州模拟）已知向量 =（2，1）， =（x，y）

（Ⅰ）若 x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量 ⊥ 的概率；

（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域 Ω：

，求二元数组（x，

y）满足 x2+y2≥1 的概率．

【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】 Ⅰ）本问为古典概型，需列出所有的基本事件，以及满足向量 ⊥ 的基本事件，

再由古典概型的概率计算公式求出即可；

（Ⅱ）本问是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是 Ω={（x，y）|﹣1＜x＜1，

﹣2＜y＜2}，

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满足条件的事件对应的集合是 A={（x，y）﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，x2+y2≥1}，做出两个集

合对应的图形的面积，根据几何概型概率公