整理等差数列二.docx
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整理等差数列二
等差数列
（二）
[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 等差数列与一次函数
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点（n，an）分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点．
2．公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝
（n≥2，n∈N*）．
知识点二 推广的等差数列的通项公式
已知a1求an，则an＝a1＋（n－1）d.（n≥1）
已知am求an，则an＝am＋（n－m）d.（m≤n）
思考 已知等差数列{an}中的am和an，如何求d?
答案 由{an}的通项公式得
an＝a1＋（n－1）d，
am＝a1＋（m－1）d，
两式相减得an－am＝（n－m）d，
∴d＝
.
知识点三 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数 列
结 论
{c＋an}
公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an}
公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）
2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…….
3．下标性质：
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.
特别的，若m＋n＝2p（m，n，p∈N*），则有am＋an＝2ap.
思考 等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________.
答案 a2＋a12＝a5＋a9＝26 a7＝13
题型一 等差数列的性质及应用
例1
（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
解
（1）方法一 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝
.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝
.
方法二 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝
，
∴a4＋a8＝2a6＝
.
（2）{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d（d>0），
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
跟踪训练1 在等差数列{an}中：
（1）若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
（2）a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________．
答案
（1）15
（2）18
解析
（1）a1＋2a4＝a1＋（a3＋a5）＝（a1＋a5）＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
（2）由已知可得（a1＋a2＋a3）＋（a18＋a19＋a20）＝－24＋78⇒（a1＋a20）＋（a2＋a19）＋（a3＋a18）＝54⇒a1＋a20
＝18.
题型二 等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d>0，
所以解得a＝±
，d＝
，
此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解 方法一 设这三个数为a，b，c，则由题意得
解得a＝4，b＝6，c＝8.
这三个数为4,6,8.
方法二 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.
题型三 等差数列的综合问题
例3 已知数列{an}中，a1＝
，an＝2－
（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝
（n∈N*）．
（1）求证：
数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项．
解
（1）因为an＝2－
（n≥2，n∈N*），
所以an－1＝
，
所以
＝
＝1＋
，
即
－
＝1.
因为bn＝
，所以bn－bn－1＝1（n≥2，n∈N*）．
又a1＝
，b1＝
＝－
，
所以数列{bn}是以b1＝－
为首项，1为公差的等差数列．
故bn＝－
＋（n－1）×1＝n－
（n∈N*）．
（2）由
（1）得an＝
＋1＝1＋
，当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1.
又a1＝
，a2＝－2，a3＝
，所以在数列{an}中，最大项为a3＝
，最小项为a2＝－2.
跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{
}为递减数列，则（ ）
A．d<0B．d>0
C．a1d<0D．a1d>0
答案 C
解析 设bn＝
，则bn＋1＝
，由于{
}是递减数列，则bn>bn＋1，即
>
.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1（an＋d）>0，∴a1（an－an－d）>0，即a1（－d）>0，∴a1d<0.
题型四 等差数列的实际应用
例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋（n－1）d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，即an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损．
跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：
现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．1升B.
升C.
升D.
升
答案 B
解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，
由条件得
，即
，
解得
，所以a5＝a1＋4d＝
.
审题不仔细致误
例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为________．
错解 方法一 由a10>0得－24＋9d>0，∴d>
.
方法二 由
得
，
∴
答案
错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a10>0”的同时还表明“a9≤0”这一条件．
正解 依题意得
即
∴
答案
误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于（ ）
A．5B．8C．10D．14
2．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－
a8的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（ ）
A．a1＋a101>0B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0D．a51＝51
4．下列是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：
数列{an}是递增数列；p2：
数列{nan}是递增数列；
p3：
数列
是递增数列；
p4：
数列{an＋3nd}是递增数列；
其中的真命题为（ ）
A．p1，p2B．p3，p4
C．p2，p3D．p1，p4
5．在等差数列{an}中，已知a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝________.
一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于（ ）
A．0B．37C．100D．－37
2．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于（ ）
A．45B．75C．180D．300
3．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）的值是（ ）
A．－2B．－
C．2D.
4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是（ ）
A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（ ）
A.
B．±
C．－
D．－
6．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列{
}是等差数列，那么a11等于（ ）
A.
B.
C.
D．1
二、填空题
7．在公差为2的等差数列{an}中，a3＝12，则a8＝______.
8．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
9．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1（n∈N*，n≥2），a1＝5，则使得数列{
}为等差数列的实数m的值为________．
10．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第（n＋1）列的数是________．
三、解答题
11．已知数列{an}中，a1＝4.
（1）若an＝an＋1＋3，求a10.
（2）若数列{
}为等差数列，且a6＝
，求数列{an}的通项公式．
12．下表给出一个“等差数阵”
4
7
…
a1j
…
7
12
…
a2j
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
…
aij
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
（1）写出a45的值；
（2）写出aij的计算公式．
13．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
（1）求b1和b2.
（2）求数列{bn}的通项公式．
（3）数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
当堂检测答案
1．答案 B
解析 方法一 设等差数列的公差为d，
则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，
所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
2．答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－
a8＝
（2a7－a8）＝
（a6＋a8－a8）＝
a6＝8.
3．答案 C
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴a51＝0＝a3＋a99.
4．答案 D
解析 an＝a1＋（n－1）d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以p1正确；an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d＞0，所以是递增数列，p4正确，故选D.
5．答案 24
解析 ∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
课时精练答案
一、选择题
1．答案 C
解析 a1＋b1＝100＝a2＋b2，
∴{an＋bn}是常数列，
∴a37＋b37＝100.
2．答案 C
解 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
3．答案 C
解析 ∵an＋1－an＝3，
∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3（a4＋3d）＝3（3＋3×3）＝36，
∴log6（a5＋a7＋a9）＝log636＝2.
4．答案 C
解析 ∵（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
5．答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝
.
∴tan（a2＋a12）＝tan（2a7）＝tan
＝tan
＝－
.
6．答案 B
解析 依题意得
＋
＝2·
，
∴
＝
－
＝
，
∴a11＝
.
二、填空题
7．答案 22
解析 a8＝a3＋（8－3）×2＝12＋10＝22.
8．答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得
或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
9．答案 －
解析 a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，
a3＝3×23＋33－1＝95，
依题意得
，
，
成等差数列，
∴2·
＝
＋
，
∴m＝－
.
10．答案 n2＋n
解析 观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第（n＋1）列的数是n＋[（n＋1）－1]×n＝n2＋n.
三、解答题
11．解
（1）因为an＝an＋1＋3，所以an＋1－an＝－3，
所以数列{an}是首项为4，公差为－3的等差数列，
所以a10＝4＋9×（－3）＝－23.
（2）因为a1＝4，a6＝
，所以
＝
，
＝4，
设等差数列{
}的公差为d，则
＝
＋5d，
所以4＝
＋5d，解得d＝
，
所以
＝
＋（n－1）×
＝
.
所以an＝
.
12．解
（1）因为每行都成等差数列，
所以a15＝a11＋4（a12－a11）＝16.
a25＝a21＋4（a22－a21）＝27，
又因为每列成等差数列，
所以a45＝a15＋3（a25－a15）＝49.
（2）该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，
所以a1j＝4＋（j－1）·3＝3j＋1，
第二行是首项为7，公差为5的等差数列，
所以a2j＝7＋（j－1）·5＝5j＋2，
第j列是首项为a1j，公差为d＝a2j－a1j＝2j＋1的等差数列，因此aij＝3j＋1＋（i－1）（2j＋1）＝2ij＋i＋j.
13．解
（1）由题意，等差数列{an}的通项公式为
an＝3＋（n－1）（－5）＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，
则需满足m＝4n－1，n∈N*，
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
（2）由
（1）知bn＋1－bn＝a4（n＋1）－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以新数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋（n－1）d′
＝－7＋（n－1）×（－20）＝13－20n.
（3）因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，
m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
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