《数量方法二》自学考试复习提纲附件1.docx
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《数量方法二》自学考试复习提纲附件1
《数量方法
（二）》（代码00994）自学考试复习提纲
第一章数据的整理和描述
。
基本知识点：
一、数据的分类：
按照描述的事物分类：
1分类型数据：
描述的是事物的品质特征，本质表现是文字形式;
2•数量型数据：
事物的数量特征，用数据形式表示；
3•日期和时间型数据。
按照被描述的对象与时间的关系分类：
1截面数据：
事物在某一时刻的变化情况，即横向数据；
2•时间序列数据：
事物在一定的时间范围内的变化情况，即纵向数据;
3•平行数据：
是截面数据与时间序列数据的组合。
数据的整理和图表显示:
1组距分组法:
1）将数据按上升顺序排列，找出最大值max和最小值min;
2）确定组数，计算组距c；
3）计算每组的上、下限（分组界限）、组中值及数据落入各组的频数vi
（个数）和频率fi（平均数
（频数组中值）的和
频数的和
m
1Vi
），形成
频率分布表；
4）唱票记频数；
5）算出组频率，组中值；
6）制表。
2•饼形图：
用来描述和表现各成分或某一成分占全部的百分比。
注意：
成分不要多于6个，多于6个一般是从中选出5个最重要的，把剩下的全部合并成为“其他”；成分份额总和必须是100%;比例必须于扇形区域的面积比例一致。
3•条形图：
用来对各项信息进行比较。
当各项信息的标识（名称）较长时，应当尽量采用条形图。
4•柱形图：
如果是时间序列数据，应该用横坐标表示时间，纵坐标表示数据大小，即应当使用柱形图，好处是可以直观的看出事物随时间变化的情况。
5•折线图：
明显表示趋势的图示方法。
简单、容易理解，对于同一组数据具有唯一性。
6.曲线图：
许多事物不但自身逐渐变化，而且变化的速度也是逐渐变化的。
具有更加自然的特点，但是不具有唯一性。
7.散点图：
用来表现两个变量之间的相互关系，以及数据变化的趋势。
8.茎叶图：
把数据分成茎与叶两个部分，既保留了原始数据，又直观的显示出了数据的分布。
数据集中趋势的度量：
1.平均数：
容易理解，易于计算；不偏不倚地对待每一个数据；是数据集地“重心”；缺点是它对极端值十分敏感。
平均数二全体数据的总和
数据的个数
2.中位数：
将数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数。
它的优点是它对极端值不像平均数那么敏感，因此,如果包含极端值的数据集来说，用中位数来描述集中趋势比用平均数更为恰当。
3.众数：
数据中出现次数最多的数。
缺点是一个数据集可能没有众数，也可能众数不唯一；优点在于它反映了数据集中最常见的数值，而且它不仅对数量型数据（数据都是数值）有意义，它对分类型数据集也有意义;并且能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。
4.分组数据的平均数（加权平均）：
m
平均数，（频数组中值）的和'沖
频数的和
m，m为组数，vi为第i组频数,'1Vi
yi为第i组组中值。
=中位数=平均数
5.平均数，中位数和众数的关系：
数据分布是对称分部时：
众数数据分布不是对称分部时：
左偏分布时：
众数v中位数v平均数
右偏分布时：
众数〉中位数〉平均数
四、
数据离散趋势的度量：
1.极差R=最大值max—最小值min
2.
Qi
四分位点：
第二四分位点Q2就是整个数据集的中位数；第一四分位点
是整个数据按从小到大排列后第专个（若专不是整数，取左右两个
的平均）；第三四分位点Q是整个数据按从小到大排列后第
3n亠1
3^不是整数，取左右两个的平均）。
四分位极差二Q3—Q1，它不像极
4
差R那么容易受极端值的影响，但是仍然存在着没有充分地利用数据所有信息地缺点。
3.方差：
离平均数地集中位置地远近；
y
nv22-
21xn2K-nx
（Xi-X）
ni壬
212
ViYi-一CViYi）2-2
viVjyi「ny
M是频数，y是组中值,
y丛即用分组数
-Vi
据计算的平均数。
4.标准差：
匚-匚2。
变异系数：
表示数据相对于其平均数的分散程度。
V100%
X
。
基本运算方法：
1、一组数据3,4,5,5,6,7,8,9,10中的中位数是（
A.5B.5.5
C.6D.6.5
解析：
按从小到大排列，此九个数中，正中间的是6,从而答案为Co
2、某企业30岁以下职工占25%，月平均工资为800元；30—45岁职工占50%,
月平均工资为1000元；45岁以上职工占25%，月平均工资1100元，该企业全部职工的月平均工资为（）
A.950元B.967元
C.975元D.1000元
解析：
25%*800+50%*1000+25%*1100=975,故选Co
3、有一组数据的平均数和标准差分别为50、25,这组数据的变异系数为
A.
B.0.4
0.2
D.0.7
解析：
变异系数V二二100%=2575，故选C。
x50
4、若两组数据的平均值相差较大，比较它们的离散程度应采用（
A.极差C.方差解析：
考变异系数的用法，先Bo
组数据4,4,5,5,6,6,7,
C.0.5
B.
D.
变异系数
标准差
5、
7,
9,10中的众数是（
A.6B.6.5C.7
解析：
出现最多的数为众数，故选C&对于峰值偏向左边的单峰非对称直方图，A.平均数＞中位数＞众数C.平均数〉众数〉中位数解析：
数据分布是对称分部时：
数据分布不是对称分部时：
7,
D.7.5
般来说（B.众数＞中位数〉平均数D.中位数〉众数〉平均数众数二中位数=平均数左偏分布时：
众数v中位数v平均数右偏分布时：
众数〉中位数〉平均数
需要记住提，峰值偏向左边的单峰非对称直方图称为右偏分布，峰值偏向右边的
单峰非对称直方图称为左偏分布，从而此题答案为Bo
第二章随机事件及其概率
。
基本知识点：
一、随机试验与随机事件：
1.随机试验：
a）可以在相同的条件下重复进行;
b）每次试验的可能结果可能不止一个，但是试验的所有可能的结果在试验之前是确切知道的；
c）试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。
2.样本空间门：
a）所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，是必然时间；
b）样本空间中每一个基本事件称为一个样本点；
c）每一个随机事件就是若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集；
d）不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件门。
3.样本空间的表示方法：
a）列举法：
如掷骰子门二｛123,4,5,6｝
b）描述法：
若掷骰子出现｛1,3,5｝可描述为：
掷骰子出现奇数点。
、事件的关系和运算
1.事件的关系：
a）包含关系：
事件A的每一个样本点都包含在事件B中，或者事件A
的发生必然导致事件B的发生，成为事件B包含事件A,记做
A二B或者B二A。
若A二B且B二A则称事件A与事件B相等，记做
A=Bo
b）事件的并：
事件A和事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并，记做AB或者A-Bo
c）事件的交：
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，记做AB或者ABo
d）互斥事件：
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称这两个事件是相容的。
AB=：
o
e）对立事件：
一个事件B若与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间Q,则称事件B是事件A的对立事件，或逆事件。
事件A的对立事件是A，AA=■，AA—。
f）事件的差：
事件A发生，但事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记做A-Bo
2.运算律：
a）交换律：
AB=BA，AB二BA;
b）结合律：
A（BC）=（AB）C，A（BC）=（AB）C;
c）分配律：
A（BC）=（AB）（AC），A（BC）=（AB）（AC）:
d）对偶律：
可B二瓦「|B,荀B=^UB。
三、事件的概率与古典概型：
1.事件A发生的频率的稳定值p称为事件A发生的概率，记做：
P（A）二p,
0_p_1。
2.概率的性质：
a）非负性：
P（A）_0；
b）规范性：
0乞p叮；
qQOQ
c）完全可加性：
P（A）^-P（A）；
1i4
d）P（）=0；
e）设A，B为两个事件，若AB，则有P（B-A）=P（B）-P（A），且
P（B）_P（A）；
3.古典概型试验与古典概率计算：
a）古典概型试验是满足以下条件地随机试验：
①它的样本空间只包含有限个样本点；
①每个样本点的发生是等可能的。
b）古典概率的计算：
P（A^Na；
N
c）两个基本原理：
①加法原理：
假如做一件事情有两类办法，在第一类办法中有m
种不同方法，而在第二类办法中有n种不同方法，那么完成这件事情就有m+n种不同方法。
加法原理可以推广到有多类办法的情况；
①乘法原理：
假设做一件事情可以分成两步来做，做第一步有m
种不同方法，做第二步有n种不同方法，那么完成这件事情有mn种不同方法。
乘法原理也可以推广到多个步骤的情形。
4.条件概率：
在事件B发生的条件下（假定P（B）>0），事件A发生的概率称为事件A在给定事件B下的条件概率，简称A对B的条件概率，记做：
P（A|B）=P（AB）；
P（B）
5.概率公式：
a）互逆：
对于任意的事件A,P（A）P（A^1；
b）广义加法公式：
对于任意的两个事件A和B,
P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）,
广义加法公式可以推广到任意有限个事件的并的情形，特别地：
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）P（ABC）
c）减法公式：
P（A_B）=P（A）_P（AB）>A二B，贝VP（A_B）=P（A）_P（B）;
d）乘法公式：
P（AB=P（A）P（B|A）,P（A）工0;
e）事件独立：
若P（AB）=P（A）P（B），则A与B相互独立。
f）全概率公式：
设事件A,A2,…,An两两互斥，A+A++Q
（完备事件组），且P（A）>0,i=1,2,…，n则对于任意事件B,有：
n
P（B）二'P（Ai）P（B|Ai）；
g）贝叶斯公式：
条件同上,则对于任意事件B,如果P（B）>0,有：
P（Aj|B）
P（Aj）P（B|Aj）.
二n
送p（a）p（B|A）
i=1
。
基本运算方法：
事件的表示：
1、设A、BC是三个随机事件,但B与C发生为（）
1、
例
用A、
C的运算关系表示事件：
A不发生
A.
ABC
B.ABC
C.ABC
D.ABC
解析：
本题考察事件的表示方法,
Bo
例2、对随机事件A、B、C,用
E表示事件：
A、B、C三个事件中至少有一个事
件发生，则E可表示为（
A.AUBUC
C.AUBUC
B.Q—ABC
D.ABC
解析：
选Ao
2、古典概型
例1、正方体骰子六个面点数分别为2、4、6、8、10、12,掷二次所得点数之和
大于等于4的概率为（）
B.
36
C.1
丄
12
D.1
A.
8
1
3
C.
D.
解析：
样本空间一共有8个样本点，全部正面向上只有一次，故选Bo例3、某夫妇按国家规定，可以生两胎。
如果他们每胎只生一个孩子，贝U两胎全
是女孩的概率为（）
A.—
16
C.1
4
8
D.1
解析：
生两胎，样本空间共有4个样本点，故选Co
3、加法公式、减法公式、条件概率
例1、设AB为两个事件，P（A）=0.4，P（B）=0.3。
如果BA,则P（AB）=
（）
A.0.1B.0.3
C.0.4D.0.7
解析：
BA,则P（AB）=P（B），故选Bo
例2、设A、B为两个事件，P（A）=0.4,P（B）=0.8,P（AB）=0.5，则P（B|A）=（）
A.0.45
C.0.65
B.0.55
D.0.375
解析：
由P（AB）=P（B）-
-P（AB），从而P（AB）=0.3,P（B|A）=P（AB）=0.375,P（B）
故选Do
例3、事件A和B相互独立，且P（A）=0.7，P（B）=0.4，则P（AB）=（）
A.0.12
C.0.28
B.0.21
D.0.42
解析：
事件A和B相互独立知事件A与B独立，从而P（AB）=P（A）P（B）=0.12,A
例4、事件A，B相互独立，P（A）=0.3，P（B|A）=0.6，贝UP（A）+P（B）=
解析：
样本空间中样本点一共有36个，两次掷得点数和不可能小于4,从而选D。
例2、在一次抛硬币的试验中，小王连续抛了3次，则全部是正面向上的概率为
（）
A.0.
C.
B.0.3
D.1
解析：
由事件A，B相互独立知P
4、事件的互斥、对立、独立关系：
（B|A）=P（B）=0.6，从而选
Co
0.9
例1、A与B为互斥事件，则AB为（
A.
B.B
AB
C.A
解析:
A与B为互斥事件，即AB=：
」
D.A+B
从而选CO
例2、
A.0
C.0.3解析：
例3、
A.0.50
事件A、B相互对立，P（A）=0.3，P（B）=0.7，则P（A-B）=
B.0.2
D.1
由事件A、B相互对立知AB=「，从而P（A-B）=P（A）=0.3，事件A、B相互独立，P（A）=0.2，P（B）=0.4，则P（A+B）=（
B.0.51
选Co
）
C.0.52D.0.53
解析：
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）,由AB相互独立知P（AB）=P（A）P（B）,从而P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.52，选C。
例4、事件A、B互斥，P（A）=0.3,P（B|A）=0.6，则P（A-B）=（
A.0B.0.3
选Bo
已知
C.0.9D.1
解析：
事件A、B互斥有AB=「，从而P（A-B）=P（A）-P（AB）=P（A）=0.3,
5、全概率公式和贝叶斯公式：
例1、在厂家送检的三箱玻璃杯中，质检部门抽检其中任一箱的概率相同第一箱的次品率为0.01，第二箱的次品率为0.02，三箱玻璃杯总的次品率为0.02o求第三箱的次品率。
若从三箱中任抽一只是次品，求这个次品在第一箱中的概率。
解析：
设A表示抽到第i箱，i=1，2，3.B表示次品，则
1
P（A沪P（A2“P（A3）匚，P（B|A“0.01，p（bIA2^0-02
3
P（B）=為P（A）P（B|AJ=0.02，从而P（B|A3）=0.03，即第三箱的次品率为0.03.
i=i
p（A1|b）「p（a）p（B|a）J
无P（A）P（B|Ai）6
i=1
即从三箱中任抽一只是次品，这个次品在第一箱中的概率为1/6o
例2、实战演习中，在甲、乙、丙三处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1，而在甲、乙、丙三处射击时命中目标的概率分别为0.8,0.4,0.6。
若最终目标被命中，求目标是由乙处射击命中的概率。
解析：
设A表示在甲处射击，A2表示在乙处射击，A表示在丙处射击，B表示
命中，贝UP（AJ=0.2,P（A）=0.7,P（A3）=0.1，
P（B|A）=0.8，P（B|A2）=0.4，P（B|A3）=0.6
P（A2|B）=
P（A）P（B|A2）
n
=0.56
'P（A）P（B|A）
i4
从而目标是由乙处射击命中的概率为0.56.
第三章随机变量及其分布
。
基本知识点:
离散型随机变量：
取值可以逐个列出
1.数学期望:
1）定义：
Ex八人Pi，以概率为权数的加权平均数;
i
2）性质：
E（C）=C（常数期望是本身）
E（aX）=aE（X）（常数因子提出来）
E（aX+b）=aE（X）+b（一项一项分开算）
E（aX+bY=aE（X）+bE（Y）（线性性）
2.方差:
1）定义：
Dx=E（x-Ex）2区-Ex）2Pj;
i
2）性质：
D（c）=0（常数方差等于0）
D（aX）=a2D（X）（常数因子平方提）
2
D（aX+b）=aD（X）
3）公式：
D（X）=E（X2）-E2（X）（方差=平方的期望—期望的平方）
3.常用随机变量：
1）0-1分布：
a）随机变量X只能取0,1这两个值;
b）X〜B（1,P）;
c）E（X）二pD（X）=p（1-p）
2）二项分布：
a）分布律：
P（X=k）二C：
pk（1-p）z,k=0,1,2.
b）X〜B（n,p）
c）E（X）=np
d）D（X）=np（1-p）
e）适用：
随机试验具有两个可能的结果A或者A,且P（A）=p,
P（A）=1-p,将试验独立重复n次得到n重贝努里试验。
3）泊松分布：
真ke-九
a）分布律：
P（X=k）,k=0,1,2……,入>0
k!
b）X〜P（入）
c）E（X）=入
d）D（X）=入
e）适用：
指定时间内某事件发生的次数。
连续型随机变量：
1.设X是一个连续型随机变量：
1）X的均值，记做卩，就是X的数学期望，即卩二EX
2）X的方差，记做D（X）或二2，是（X-」）2的数学期望，即：
D（X）二E[（X72]=E（X2）
3）X的标准差，记做c,是X的方差二2的算术平方根，即-2;
2.常用连续型随机变量：
名称
分布律或密度
记法
E（X）
D（X）
均匀分布
1
f（X）=<
'1
（a兰x^b）
b—a
0,其他
X~U[a,b]
a+b
2
（b-a）2
12
指数分布
f（X）=
Wx,xaO
，入>0
0,x兰0
X~Ep.）
1
X
1
T2扎
正态分布
1Z2
p（x）—.■——-2&，坊>0弋2兀坊
X〜N（巴▽2）
□
a2
标准正态分布
1x2
*（x）=-^CUx兀
X〜N（0,1）
0
1
3.正态分布的密度曲线y=P（x）是一条关于直线x=卩的对称的钟形曲线，在
x=y处最高，两侧迅速下降，无限接近X轴；c越大（小），曲线越矮胖（高瘦）。
4.标准正态分布的密度曲线y=©（x）,是关于丫轴对称的钟形曲线。
5.随机变量的标准化
X-EX
（减去期望除标差）
6.标准化定理：
设X~N（），、二2）,则Z=〜n（0,1）。
a
二维随机变量：
1.用两个随机变量合在一起（X，Y）描述一个随机试验，（X，丫）的取值带有随意性，但具有概率规律，则称（X，丫为二维随机变量。
2.X，丫的协方差：
cov（X,丫=E[（X-EX）（Y—EY]=E（XY）-EX・EYcov（X，Y）>0说明X与丫之间存在一定程度的正相关关系，cov（X，Y）=0称X与丫不相关，cov（X，Y）<0说明X与丫存在一定程度的负相关关系；
3.X，Y的相关系数：
如=竺X，2，取值范围是—1兰％丫兰1，越接近
Jdx2dy
1,表明X与丫之间的正线性相关程度越强，越接近于—1,表明X与丫之间的负线性相关程度越弱，当等于0时，X与丫不相关。
4.随机变量的线性组合：
1）E（aX+bY）=aE（X）+bE（Y）;
2）D（aXbY）=a2D（X）2abCov（X,Y）b2D（Y）
四、决策准则与决策树：
1.对不确定的因素进行估计，从几个方案中选择一个，这个过程称为决策；
2.决策三准则：
1）极大极小原则：
将各种方案的最坏结果（极小收益）进行比较，从
中选择极小收益最大的方案；
2）最小期望损失原则：
选择期望损失最小的方案；
3）最大期望收益原则：
选择期望收益最大的方案。
3.决策树：
使我们把不确定因素的过程以图解的形式表示出来，有简单、直观的优点。
。
基本运算方法：
1、随机变量的含义：
1/4,试验4次，该事件出现的次数将是（
B.大于1次
D.上述结果均有可能
例1、某一事件出现的概率为
A.1次
C.小于1次
解析：
答案为D，此题考察对随机变量的理解
2、六种常见分布
例1、某企业出厂产品200个装一盒，产品分为合格与不合格两类，合格率为99%,
设每盒中的不合格产品数为
A.正态分布
C.均匀分布
解析：
将任一个合格品记为
X，则X通常服从（）
B.泊松分布
D.二项分布
0,不合格记为1,则X〜B（200,0.01），选Db
例2、
般正态分布N（卩，（T2）的概率分布函数F（x）转换为标准正态分布
A.①（x）
C.①（x-[1）
B•①（X」）
CF
解析：
本题考察正态分布的标准化X~N（）,
X~N（0,1）,选B.
例3、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为
二2）,则Z=
3，将此硬币连掷3次，贝『恰好2
4
次正面朝上的概率是（
A.-9
64
C.27
64
B.
解析：
记X表示正面向上的次数，则X~B（3,
12
64
36
64
27-）,P（X=2）=c；0.7520.25=—，C。
64
D.①（△）
例4、若随机变量X服从正态分布，则随机变量Y=aX+b（a丰0）服从（）
A.正态分布B.二项分布
C.泊松分布D.指数分布
解析：
本题考察正态分布的线性组合仍为正态分布，选A。
例5、某电梯一星期发生故障的次数通常服从（）
A.两点分布B.均匀分布
C.指数分布D.泊松分布
解析：
选D，泊松分布描述不常发生的事情。
B.2/3
D.3
例&一个服从二项分布的随机变量，其方差与期望之比为1/3,则该二项分布的参数P为（
A.1/3
C.1
解析：
此题考察二项分布的方差与期望，器二晋十PE，从而选B。
例7、设随机变量X的概率密度函数为（x）=1e'X3/8（—：
：
:
:
:
x；：
：
：
：
）则X的
212n
方差D（X）=（
A.1B.2
C.3D.4
解析：
此题考察正态分布的密度函数，选D。
k-0.4
例8、随机变量X分布律为P（x=k）=0.4-e,k=0,1,2,3,…则X的方差
k!
A.0.4B.2
C.2.5D.3
解析：
此题考察泊松分布的方差，选A。
例9、据调查，某单位男性
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