根与系数的关系.docx

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根与系数的关系

一元二次方程的解法练习

姓名：

_________学号：

____时间：

[A组]

1.解下列方程

（1）2x2－6＝0；

（2）27＝4x2；

（3）3x2＝4x；（4）x（x－1）＋3（x－1）＝0；

（5）（x＋1）2＝2；（6）3（x－5）2＝2（5－x）.

2.解下列方程

（1）（2x－1）2－1＝0；

（2）

（x＋3）2＝2；

（3）x2＋2x－8＝0；（4）3x2＝4x－1；

（5）x（3x－2）－6x2＝0；（6）（2x－3）2＝x2.

3.当x取何值时，能满足下列要求？

（1）3x2－6的值等于21;

（2）3x2－6的值与x－2的值相等.

[B组]

4.用适当的方法解下列方程：

（1）3x2－4x＝2x；

（2）

（x＋3）2＝1；

（3）x2＋（

＋1）x＝0；（4）x（x－6）＝2（x－8）；

（5）（x＋1）（x－1）＝

；（6）x（x＋8）＝16；

（7）（x＋2）（x－5）＝1（8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.

5.已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？

6.已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.

[C组]

7.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）

（第7题）

8.某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.

9.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？

、填空题

`1．方程9x2=25的根是___________.

2.

.

3已知二次方程x2+（t-2）x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.

4关于x的方程6x2-5（m-1）x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.

5.关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.

6.方程（x+2）（x-a）=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.

选择题

7．一元二次方程的解法，其中正确的是（  ）.

（A）（x-3）（x-5）=10×2. （B）（2-5x）+（5x-2）2=0.

x-3=10. ∴x1=13           整理得（5x-2）（5x-3）=0

x-5=2.∴x2=7                ∴x1=

，x2=

（C）（x+2）2+4x=0.   （D）x2=x.

整理得x2+4=0         两边同除以x，得x=1

∴x1=2，x2=-2      

23．用公式法解方程：

3x2-5x+1=0，正确的结果是（  ）.

（A）

 （B）

 （C）

 （D）都不对

24．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.

（A）     因式分解法：

 （B）配方法：

 （C）分式法：

25．解方程：

（1）

（2）

一元二次方程根与系数的关系

1、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：

x1+x2=；x1·x2=；

；x21+x22=；（x1+1）（x2+1）=；｜x1－x2｜=。

3、以2和3为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

4、如果关于x的一元二次方程x2+

x+a=0的一个根是1－

，那么另一个根是，a的值为。

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。

7、一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的两根为0和－1，则q∶p=。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。

9、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－（a+1）x+1=0两根互为倒数，则a=。

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，（x1+x2）

=。

11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为

，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

（其中二次项系数为1）

14、已知关于x的一元二次方程x2－2（m－1）x+m2=0。

若方程的两根互为倒数，则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。

15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。

16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x的方程x2－3mx+2（m－1）=0的两根为x1、x2，且

，则m=。

18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。

19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m=。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。

21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。

22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

23、已知2+

是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

24、证明：

如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+

的无理数（A、B均为有理数），

那么另一个根必是A－

。

25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x31x2+x1x32

27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（x21－x22）2

29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x1－x2

30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x51·x22+x21·x52

32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+

和2－

。

33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；

（1）大3；

（2）2倍；（3）相反数；（4）倒数。

35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：

（1）一个根比另一个根大2；

（2）一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17。

36、已知关于x的方程2x2－（m－1）x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。

37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足

，求m的值。

38、已知一元二次方程8x2－（2m+1）x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：

（1）两根互为倒数；

（2）两根互为相反数；

（3）有一根为零；

（4）有一根为1；

（5）两根的平方和为

。

39、已知方程x2+mx+4=0和x2－（m－2）x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

40、已知关于x的二次方程x2－2（a－2）x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，

求a的值。

41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。

42、设：

3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

43、试确定使x2+（a－b）x+a=0的根同时为整数的整数a的值。

44、已知一元二次方程（2k－3）x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求

当k取何整数时，方程有两个整数根。

45、已知：

α、β是关于x的方程x2+（m－2）x+1=0的两根，求（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值。

46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

，

47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。

48、关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2（a+m）x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。

求a的整数值。

49、关于x的一元二次方程3x2－（4m2－1）x+m（m+2）=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。

50、已知：

α、β是关于x的二次方程：

（m－2）x2+2（m－4）x+m－4=0的两个不等实根。

（1）若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；

（2）若α2+β2=6时，求m的值。

51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：

方程x2－（k+n）x+（k－m）=0一定有实数根。

52、关于x的方程

=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

（1）求证：

这个方程有两个不相等的实根；

（2）若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2（x1≠x2），在数轴上，

表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。

54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+（α+1）x+β2=0与x2+（β+1）x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么（α－1）2+（β－1）2的最小值是多少?

56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等（mn≠0）。

求

证：

对任意实数k，方程mx2+（n+k－1）x+k+1=0恒有实数根。

57、

（1）方程x2－3x+m=0的一个根是

，则另一个根是。

（2）若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。

58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

x2+3x+1=0；

59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

3x2－2x－1=0；

60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

－2x2+3=0；

61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

2x2+5x=0。

62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。

63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。

64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（x1－4）（x2－4）；

（2）x13x24+x14x23；

（3）

；

（4）x13+x23。

65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。

66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。

67、以2，－3为根的一元二次方程是（）

A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0

C.x2－x+6=0D.x2－x－6=0

68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是（）

A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0

C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=0

69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是（）

A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0

C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=0

70、以－3，－2为根的一元二次方程为，

以

，

为根的一元二次方程为，

以5，－5为根的一元二次方程为，

以4，

为根的一元二次方程为。

71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：

（1）a+1.b+1

（2）

73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为

cm2，求这个直角三角形斜边的长。

74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

这个方程的根应该是什么?

75、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。

76、若分式

的值为0，则x的值为（）

A.－1B.3C.－1或3D.－3或1

77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则（）

A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤0

78、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（2x1－3）（2x2－3）；

（2）x13x2+x1x23。

79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求（a－1）（b－1）的值。

80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=，另一个根为。

81、已知m2+m－4=0，

，m，n为实数，且

，则

=。

82、两根为3和－5的一元二次方程是（）

A.x2－2x－15=0B.x2－2x+15=0

C.x2+2x－15=0D.x2+2x+15=0

83、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（x12+2）（x22+2）；

（2）（2x1+1）（2x2+1）；

（3）（x1－x2）2。

84、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。

85、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。

86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之比为2∶1，求证：

2b2=9ac。

87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。

88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。

（1）证明：

不论a取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?

89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。

（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根?

（2）此方程会有两个负根吗?

为什么?

90、已知关于x的方程x2－（2a－1）x+4（a－1）=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式

=25，求a，b的值。

92、已知一元二次方程8y2－（m+1）y+m－5=0。

（1）m为何值时，方程的一个根为零?

（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数?

（3）证明：

不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。

93、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：

（1）有两个大于－2的根?

（2）有一个根大于－2，另一个根小于－2?

94、已知2s2+4s－7=0，7t2－4t－2=0，s，t为实数，且st≠1。

求下列各式的值：

（1）

；;

（2）

。

95、已知x1，x2是一元二次方程x2+

x+n=0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2=3，

，求m和n的值。

《第一元二次方程》应用题专题练习题

一、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）

1．一专利产品，2007年元月份在电视台做了广告后，三月份产品销售量比第一个月翻了两番，则平均每个月销售的增长率是

．

2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了

人．

3．三个连续的正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16，那么这三个分别为

．

4．面积为54cm2的长方形，一边剪短5cm，另一边剪短2cm后，恰好是一个正方形，则这个正方形的边长是

cm．

5．一个n边形（n＞3）有 

条对角线；若某一个多边形对角线条数为170条，则它的内角和为 

．

6．一次篮球锦标赛，每个队都进行了3场比赛后，有6个队被淘汰，剩下的队进行单循环赛，共进行了33场比赛，则共有个队．

7．某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为

元．

二、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

8．小明同学存入300元的活期储蓄，存满3个月时取出，共得本息和302.16元（不计利息税），则此活期储蓄的月利率是（　　）

A．0.24%

B．0.72%

C．0.24

D．0.72

9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2+130x-1400=0

B．x2+65x-350=0

C．x2-130x-1400=0

D．x2-65x-350=0

10．某个体户同时卖出两件衣服，每件售价都是1350元，按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么这次买卖中该个体是（　　）

A．不赔不赚

B．赚了90元

C．赚了180元

D．赔了180元

11．两数之差为3，这两数的平方和为117，那么这两数的积为（　　）

A．-54

B．54

C．±54

D．以上都不对

12．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（　　）

A．

37

B．5

C．

38

D．7

13．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为（　　）

A．26元

B．27元

C．28元

D．29元

三、解答题（共5小题，满分0分）

14．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少？

这时，应进货多少？

15．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2？

16．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．

（1）该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

（2）该经营户要想每天盈利最大，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

17．如图，一块矩形耕地长162m，宽64m，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠应挖多宽？