全等三角形模型教学案.docx

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全等三角形模型教学案

全等三角形模型

适用学科

初中数学

适用年级

初中一年级

适用区域

江苏

课时时长（分钟）

60

知识点

全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定

教学目标

熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。

教学重点

熟练掌握三角形全等的判定定理

教学难点

能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理

教学过程

一、课堂导入

【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？

【思考】△ABD≌△ACE

二、复习预习

【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？

请你说明理由．

【解答】OP平分∠AOB

理由如下：

∵OM=ON，PM=PN，OP=OP

∴△MOP≌△NOP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

∴OP平分∠MON

（即OP是∠AOB的角平分线）

三、知识讲解

考点1

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

考点2

全等三角形的判定：

所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；

直角三角形HL

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．

求证：

AE=BF．

【答案】证明：

∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，

∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．

【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．

【例题2】

【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：

AE=CF；

（2）求证：

AE⊥CF．

【答案】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．

（2）延长AE交BC于O，交CF于H，

∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，

∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，

∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，

∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF

【解析】

（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．

（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．

【例题3】

【题干】（2014•顺义区一模）已知：

如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．

（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；

（2）参考

（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：

CD=AB．

【答案】：

（1）如图1，以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．

主要根据“SSS”判定三角形的全等．

（2）如图3，

延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．

∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DACDAC+∠EAC=180°∴∠BACBCA=∠EAC

在△EAC和△BAC中，

∴△AECEAC≌△BCA（SAS），∴∠B=∠E，AB=CE

∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．

【解析】

（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：

∠B=∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．

【例题4】

【题干】问题背景：

如图1：

在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】问题背景：

EF=BE+DF；

探索延伸：

EF=BE+DF仍然成立．

证明如下：

如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；

实际应用：

如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=

∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：

此时两舰艇之间的距离是210海里．

【解析】问题背景：

根据全等三角形对应边相等解答；

探索延伸：

延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；

实际应用：

连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=

∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．

五、课堂运用

【基础】

1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：

（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

【答案】证明：

（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，

BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，

∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，

在△BCH和△DCE中，

，

∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；

（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，

又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，

∴BH⊥DE．

【解析】

（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．

2.

（1）操作发现

如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？

并证明你的结论；

（2）类比探究

如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，

（1）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

【答案】

（1）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°

在等边△AMN中，AM=AN，∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC，

在△ABM和△ACN中，

，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（2）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC

在等边△AMN中，AM=AN，∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC，∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC，

在△ABM和△ACN中，

，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

【解析】

（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；

（2）和

（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.

【巩固】

1.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：

BD=CE．

【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD=AE，AB=AC，

又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中

，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．

【解析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．

2.如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：

∠EDB=∠CAD．

【答案】如图，过点D作DG∥AB交AC于G，

∵△ABC是等边三角形，∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°，AC=BC，

∴△CDG是等边三角形，∴DG=CD=CG，∠AGD=120°，∴BD=AG，

∵CD=BE，∴BE=DG，又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°，∴∠EBD=∠DGA=120°，

在△EBD和△DGA中．

．∴△EBD≌△DGA（SAS），∴∠EDB=∠CAD．

【解析】过点D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根据SAS证△EBD≌△DGA，根据全等三角形的性质推出即可．

【拔高】

正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：

；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照

（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：

．

【答案】

（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，∴AE=AF=BF=BG，

在△AEF和△BFG中，

，∴△AEF≌△BFG（SAS），

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，∴EF⊥FG，EF=FG；

（2）BF+EQ=BP．

理由：

如图2，取BC的中点G，连接FG，

则EF⊥FG，EF=FG，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，

在△FQE和△FPG中，

，∴△FQE≌△FPG（SAS），

∴QE=PG且BF=BG，∵BG+GP=BP，∴BF+EQ=BP；

（3）如图3所示，BF+BP=EQ．

【解析】

（1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG，然后利用“边角边”证明△AEF和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°，再求出∠EFG=90°，然后根据垂直的定义证明即可；

（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；

（3）根据题意作出图形，然后同

（2）的思路求解即可．

课程小结

1.全等三角形的性质

2.全等三角形的判定