第五单元 数学广角鸽巢问题人教版小学数学六年级下册教案.docx
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第五单元数学广角鸽巢问题人教版小学数学六年级下册教案
第五单元数学广角—鸽巢问题
【单元教学内容】
第五单元数学广角
【学情教材分析】
教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：
第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。
那么，这里的“一定有一个抽屉”是什么意思？
“至少两个物体”是什么意思？
“一定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。
第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。
若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。
第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。
【学段课程标准】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：
“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：
“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。
【单元学习目标】
1.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.使学生通过“抽屉原理”的学习，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学生学习数学的兴趣和应用意识。
【单元学习重点】
初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。
【单元学习难点】
初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。
【单元课时安排】
2课时
鸽巢问题
（1）
【学习内容】
人教版小学数学六年级下册教材第68～69页例1、2。
【课标描述】
《鸽巢问题》是数与代数领域的重要知识点。
所谓“鸽巢问题”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。
让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重要要求，也是本单元的编排意图和价值取向。
【学情分析】
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。
但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。
这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。
学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。
【学习目标】
1.创设情境，利用游戏活动“抢椅子”来展示生活中的“抽屉原理”现象，感受数学数学的奇妙与魅力，激发研究兴趣。
2.在创设活动情境的基础上，通过实际操作，深入观察，大胆尝试，动手画草图，填表格等方式进行“说理”、互动交流，通过体验式学习，认识“鸽巢问题”的特点，经历探究鸽巢问题的过程。
3.在交流中对“列举法”、“假设法”进行比较，在老师的引导下交流总结提炼归纳出“鸽巢原理”，会用鸽巢问题解决简单的生活问题。
建立模型思想。
【学习重点】
理解鸽巢原理，经历探究过程，掌握先“平均分”，再调整的方法。
【学习难点】
理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”，对一些简单问题加以“模型化”。
【学习准备】
多媒体课件、铅笔、杯子、练习纸等。
【评价方案】
1.通过游戏活动“抢椅子”来初步体验“总有”“至少”的意义，初步感受生活中的“鸽巢问题”，评价目标1。
2.通过设计笔筒方笔的活动，评价目标2。
3.通过交流互动的方法，从而提炼归纳，评价目标3。
【学习过程】
一、游戏活动，引出探究
1.游戏。
“抢凳子”的小游戏，五位同学，四个凳子。
游戏规则：
五个同学抢四个个凳子，五人必须都坐在凳子上。
游戏结束后，提问：
告诉老师，五人都坐下了吗？
激趣：
老师不用看，就知道一定有一个凳子上至少坐了两个同学。
再来一组，验证。
2.引发思考、质疑。
引课：
老师不用看，还可以肯定地说：
“一定有一个凳子上至少坐了两个同学。
”
如果再让五名同学上来玩这个游戏，老师还敢肯定地说：
“不管怎么坐，一定有一个凳子上至少坐了两个同学。
”你们相信吗？
——有同学半信半疑，我相信通过今天的学习，你一定能找到答案！
二、自主探究，初步感知
1.分组探究。
引导探究：
刚才老师为什么可以这样肯定地说：
“五名同学，抢四个凳子，总有一个凳子上至少坐了两名同学。
”其实这里面蕴含着一个非常有趣的数学原理，想不想亲自操作来验证这其中的道理呢？
出示课件，找生读合作要求，明确以小组讨论的形式展开。
小组活动。
2.小组展示、交流。
预设：
A展示有四种放法的。
B展示有五种方法或以上的放法
对比、交流、纠错、整理，发现就四种放法。
课件展示四种放法。
思考：
不管怎样放，总有一个杯子里至少放进（）支笔。
（同位讨论一下）
预设
A总有一个杯子里至少放进（0）支笔。
B总有一个杯子里少放进
（2）支笔。
引导学生分析理解“总有”、“至少”。
总有：
一定，肯定。
至少：
最少。
3.小结结论。
通过观察着四个杯子，我们可以得到结论：
不管怎么放，总有一个杯子里至少放进了两支笔。
像这样，我们把所有的情况都一一列举出来，从而得出结论，这种方法在数学上叫枚举法。
4.方法提升。
提问：
刚才我们通过实验操作得到了结论，那我们能不能找到一种更为直接的方法，能最快的得到结论呢？
组内讨论、交流
追问：
“还有其他方法吗？
”
学生展示放法。
教师及时展示课件情况，
小结放法，理解平均分，提问：
剩下的怎么放，才能做到“至少”？
引导：
无论怎么放，只有一个杯子里至少放进两支笔。
那真的是把4支笔平均分到三个杯子里了吗？
没有，这种方法叫假设平均分，在数学上叫做假设法。
提问：
那如果把5支笔放进四个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少放进（）支笔。
怎样列式呢？
同位讨论、尝试列式：
5
4=1（支）······1（支）1+1=2
追问：
那刚才把四只铅笔放进3个杯子里，可以怎样列式？
如果把6笔放进5子里呢？
把7笔放进6杯子里呢？
4
3=1（支）……1（支）1+1=2
7
6=1（支）……1（支）1+1=2
重点理解下这两个“1”的意思。
三、提升思维，构建模型
过渡：
刚才我们研究的都是铅笔比杯子多1情况，如果不是多1呢?
1.研究5支放3个杯子。
要求：
以小组为单位，用你喜欢的方式来完成。
展示交流
预设：
A摆平均分
B5÷3=1（支）······2（支）1+1=2
理解：
第一个1是第一次平均分放在在杯子里的那一支，第二个1表示余下的2支也尽量要平均分，第二次放进杯子的那一支。
小结并课件演示：
把五支笔放进3个杯子里，要“平均分”几次，两次，第一次平均分每个杯子里得到一支笔。
剩下的两支也尽量要平均分，这样，我们就得出结论……
2.问题延伸。
课件出示：
八只鸽子飞到三个鸽巢
要求：
说一说怎样分？
谁还有不同做法？
8÷3=2（支）······2（支）
理解：
2+1=3.为什么不是2+2呢？
又表示什么意思呢？
（余下的2只也要平均分）
总结：
刚才我们所探讨的这些问题都是鸽巢问题。
鸽巢问题的道理虽然简单，但却能解决许多有趣的问题。
解决这些问题的关键就是找准谁是“鸽子数”谁是“鸽巢数”。
刚才我们把谁看做鸽子数，把谁看做鸽巢数？
同学们仔细观察这些算式，怎样来求至少数呢？
（得数+1）
引导得出：
至少数=商+1
课堂延伸：
其实在很早以前，就有人对鸽巢问题进行了研究。
出示资料。
四、灵活应用，巩固练习
学以致用：
谁能解释上课之前做的小游戏了吧！
师：
“鸽巢问题”的原理在现实生活中随处可见。
课件出示：
把13只小兔子关在5个笼子里
五、联系生活，总结收获
这节课同学们有什么收获？
生谈收获，全课总结
六、布置作业
完成71页1、2、3。
【板书设计】
【学习检测】
1.玩扑克牌。
现场出示：
一副扑克牌一共有多少张？
拿出2张王牌呢？
从这幅扑克牌中任意拿出5张，猜一猜，会有什么结果？
为什么？
2.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
为什么？
【教学反思】
鸽巢问题
（2）
【学习内容】
“鸽巢问题”的具体应用（教材第70页例3）。
【课标描述】
1.让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想。
2.体会和理解数学与外部世界的紧密联系。
3.发展抽象能力、推理能力和应用能力。
【教材分析】
“鸽巢问题”即“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。
它被广泛地应用于现实生活中，如招生录取、就业安排、资源分配等方面。
所谓“抽屉原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型是一种数学思想方法。
本节课要讲的例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。
它是学生在通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。
【学情分析】
“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。
如果学生的思维能力略弱，学习时面临的压力会更大。
为此教学中选择了一些学生常见的、熟悉的事物，或者以一些有趣的、新颖的内容作为学习素材，以增强学生学习的积极性，缓解学习难度带来的压力。
【学习目标】
1.通过情境导入唤起学生的学习生活经验，引导学生学会把实际问题转化成“鸽巢问题”，感受“鸽巢问题”在生活中的广泛应用。
2.通过猜测-摸球-验证的小组活动，在教师的引导下，培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力，理解两种“颜色”即两个“抽屉”，同色即同一个“抽屉”，从而把摸球问题转化成“鸽巢问题”，形成初步感悟。
3.通过练习用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
【学习重点】
引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用“鸽巢问题”进行反向推理。
【学习难点】
学会用“鸽巢问题”的原理，解决简单的实际问题。
【学习准备】
课件，蓝、白、黄色纸条各2，1个纸盒，红球、蓝球各4个，。
【评价方案】
1.通过情境导入，学生猜测，以评价目标1。
2.通过猜测-摸球-验证的小组活动，以评价目标2。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，完成练习1-4，以评价目标3。
【学习过程】
一、情境激趣，引出课题
故事：
一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。
毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。
你们知道最少拿几只袜子出去吗？
学生猜测，实验验证。
揭题：
其实这个问题也属于我们刚刚研究过的“鸽巢问题”，像这样问题该怎么解决呢，有没有解决方法呢？
这节课一起来研究！
板书：
“鸽巢问题”的具体应用。
二、新课讲授
1.学习例3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？
（出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子，晃动几下）
提问：
同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?
（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）
追问：
如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？
要想这位同学摸出的球，
一定有2个同色的，最少要摸出几个球？
请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。
指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。
（出示课件）
摸2个球可能出现的情况：
1红1蓝；2红；2蓝
摸5个球可能出现的情况：
4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红；5红；5蓝
摸3个球可能出现的情况：
2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝
提问：
通过验证，说说你们得出什么结论。
小结：
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。
想要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸3个球。
2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。
教师：
生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？
思考：
a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？
b.应该把什么看成“鸽巢”?
有几个“鸽巢”?
要分放的东西是什么？
c.得出什么结论？
学生讨论，汇报。
教师讲解：
因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢”，“同色”就意味着“同一个鸽巢”。
这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只要分的物体个数比鸽巢多，就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。
从“最不利原则”出发，才能“保证”“一定”能，假设两种颜色的球各拿了1个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个球，不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸a个球，即a÷2=b……c（不等于0）当b=1时，a就最小。
所以一次至少应拿出1×2+1=3个球，就能保证有两个球同色。
结论：
要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。
三、巩固练习
完成第70页“做一做”的第2题。
学生独立思考。
（提示：
把什么看做鸽巢？
有几个鸽巢？
要分的东西是什么？
）
同桌讨论。
汇报交流。
完成做一做第1题。
【课堂小结】
本节课你有什么收获？
【学习检测】
1.把红、黄、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少摸（）个才能保证有2个是同色的。
在袋子中任意取出8个，至少有（）个是同色的。
2.把红、黄、蓝三种颜色的筷子各3根混在一起，如果让你闭上眼睛，每次至少拿出几根才能保证一定有2根同色的？
如果要保证有2双不同色的筷子呢？
（指一双筷子为一种颜色，另一双筷子为另一种颜色。
）
【教学反思】
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