第1112课时平面向量讲义.docx
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第1112课时平面向量讲义
第1课时 平面向量的线性运算与基本定理
1．向量的有关概念
（1）向量：
既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
（2）零向量：
长度为0的向量，其方向是任意的．
（3）单位向量：
长度等于1个单位的向量．
（4）平行向量：
方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：
0与任一向量共线．
（5）相等向量：
长度相等且方向相同的向量．
（6）相反向量：
长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
（a＋b）＋c＝
a＋（b＋c）
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），|a|＝.
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
7．判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（√）
（2）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（×）
（3）＝－.（√）
（4）向量a－b与b－a是相反向量．（√）
（5）若a∥b，b∥c，则a∥c.（×）
（6）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（×）
（7）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（√）
（8）同一向量在不同基底下的表示是相同的．（×）
（9）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（√）
考点一 平面向量的概念
命题点
判断有关向量的模、方向、相等、共线、单位向量等概念
[例1] 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是（ ）
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入大一轮复习 数学（理）A.②③ B．①②
C．③④D．①④
解析：
①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥.
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，因此，＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.
答案：
A
[方法引航]
（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（2）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
（4）非零向量a与
的关系：
是a方向上的单位向量.
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0（λ为实数），则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.
答案：
C
考点二 平面向量基本定理与线性运算
命题点
1.利用基本定理进行线性运算
2.利用基本定理求参数
3.利用向量线性运算研究几何性质
[例2]
（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（ ）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋bD.a＋b
解析：
如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
∴＝，
∴＝＋＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b.
答案：
B
（2）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：
在平行四边形中，有＝＋，因E、F分别为CD、BC的中点，
∴＝（＋），＝（＋），则＋＝＝，∴＝＋，
∴λ＝μ＝，则λ＋μ＝.
答案：
（3）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝________.
解析：
由G为△ABC的重心知＋＋＝0，则＝－－，因此a＋b＋c（－－）＝＋＝0，又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cosA＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝.
答案：
[方法引航] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：
先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.
1．在本例
（1）中已知条件不变，求用a和b表示．
解：
∵ABCD为平行四边形，∴
∴＝（a－b）．
由题意得＝＝＝（a－b）．
2．若将本例
（2）改为：
如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x·＋y·，则3x－2y＝________.
解析：
＝＋＝＋又E为BC的中点．
∴＝（＋）＝＋，
根据平面向量的基本定理，知y＝，x＝，
所以3x－2y＝3×－2×＝1.
答案：
1
3．将本例（3）改为：
若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为________．
解析：
设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.
如图所示．
故C，M，D三点共线，且＝.
所以△ABM与△ABC的面积之比为.
答案：
考点三 平面向量基本定理与坐标运算
命题点
1.已知点的坐标求向量坐标
2.已知向量坐标进行向量坐标运算
[例3]
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝（ ）
A.a－b B．－a＋b
C．－a＋bD.a＋b
解析：
根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝，则A（1,0），B（0,0），C（0,1），D，
∴＝（－1,0），＝（－1,1），＝，令＝λ＋μ，
则有，得，
∴＝－a＋b.
答案：
B
（2）已知向量a＝（2,4），b＝（－1,1），则2a－b＝（ ）
A．（5,7） B．（5,9）
C．（3,7）D．（3,9）
解析：
由a＝（2,4）知2a＝（4,8），
所以2a－b＝（4,8）－（－1,1）＝（5,7）．
答案：
A
1．已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A.∵A（1,3），B（4，－1），
∴＝（3，－4），∴||＝5，
∴与同向的单位向量为＝.
2．若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－1,2）则c＝（ ）
A．－a＋bB.a－b
C.a－bD．－a＋b
解析：
选B.设c＝λ1a＋λ2b，则（－1,2）＝λ1（1,1）＋λ2（1，－1）＝（λ1＋λ2，λ1－λ2），
∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，
所以c＝a－b.
考点四 向量共线问题
命题点
1.判定向量共线
2.利用向量共线求参数
3.三点共线与向量
[例4]
（1）在下列向量组中，可以把向量a＝（3,2）表示出来的是（ ）
A．e1＝（0,0），e2＝（1,2）
B．e1＝（－1,2），e2＝（5，－2）
C．e1＝（3,5），e2＝（6,10）
D．e1＝（2，－3），e2＝（－2,3）
解析：
由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B事实上，a＝（3,2）＝2e1＋e2.
答案：
B
（2）（2016·高考全国甲卷）已知向量a＝（m,4），b＝（3，－2），且a∥b，则m＝________.
解析：
∴a＝（m,4），b=（3，－2），a∥b，－2m－12＝0，所以m＝－6.
答案：
－6
（3）已知△ABC的三个顶点A，B，C及所在平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在边AB上D．P在边AC上
解析：
由＋＋＝＝－，得2＋＝0，∴＝2，即∥，∴C、P、A三点共线．
答案：
D
[方法引航]
（1）两向量平行的充要条件,若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
（2）三点共线的判断方法,判断三点是否共线，先求由三点组成的任意两个向量，然后再按两向量共线进行判定.
1．若在本例
（1）中，A，B，C，D的四组向量e1＋e2与e2同向的有哪些．
解：
由题意可知A，C，D中都是e1∥e2
A组e1＋e2＝（1,2）＝e2，C组e1＋e2＝（3,5）＋（6,10）＝（9,15）＝（6,10），D组e1＋e2＝0，故与e2同向的有A，C，D.
2．已知b＝（3，－2）求使a∥b，且|a|＝13时a的值．
解：
设a＝λb＝（3λ，－2λ）
∴|a|＝＝＝13，
∴|λ|＝13，|λ|＝，∴λ＝±.
∴a＝（3，－2），或a＝－（3，－2）
3．设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b,0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析：
选D.＝－＝（a，－1）－（1，－2）＝（a－1,1），
＝－＝（－b,0）－（1，－2）＝（－b－1,2），
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴2（a－1）＝－b－1，∴2a＋b＝1.
∴＋＝（2a＋b）＝2＋＋＋2≥4＋
2＝8，
当且仅当＝即2a＝b＝时，取等号．
[思想方法]
用函数与方程思想求解向量的线性运算
[典例] 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧
上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
[解] 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（1,0），B，
设∠AOC＝α，则C（cosα，sinα），
由＝x＋y，
得，
所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，
所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，
又α∈，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
[回顾反思] 根据向量相等，建立实数方程（组），把变量表示为函数求最值．
[高考真题体验]
1．（2014·高考广东卷）已知向量a＝（1,2），b＝（3,1），则b－a＝（ ）
A．（－2,1） B．（2，－1）
C．（2,0）D．（4,3）
解析：
选B.由于a＝（1,2），b＝（3,1），于是b－a＝（3,1）－（1,2）＝（2，－1），选B.
2．（2015·高考课标全国卷Ⅰ）已知点A（0,1），B（3,2），向量＝（－4，－3），则向量＝（ ）
A．（－7，－4）B．（7,4）
C．（－1,4）D．（1,4）
解析：
选A.设C（x，y），∵A（0,1），＝（－4，－3），
∴解得∴C（－4，－2），又B（3,2），
∴＝（－7，－4），选A.
3．（2015·高考课标全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（ ）
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：
选A.由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故选A.
4．（2016·高考北京卷）设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.
5．（2015·高考课标全国Ⅱ）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：
由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.
答案：
6．（2015·高考北京卷）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
解析：
由题中条件得＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.
答案：
－
课时规范训练
A组 基础演练
1．设向量a＝（2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（ ）
A．2 B．3
C．4D．6
解析：
选B.∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
2．若向量＝（2,3），＝（4,7），则等于（ ）
A．（－2，－4）B．（2,4）
C．（6,10）D．（－6，－10）
解析：
选A.由于＝（2,3），＝（4,7），
所以＝＋＝（2,3）＋（－4，－7）＝（－2，－4）．
3．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（ ）
A．（－2,7）B．（－6,21）
C．（2，－7）D．（6，－21）
解析：
选B.＝3＝3（2－）
＝6－3＝（6,30）－（12,9）
＝（－6,21）
4．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝（ ）
A.－
B.＋
C.＋
D.－
解析：
选D.在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.
5．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于（ ）
A．aB．b
C．cD．0
解析：
选D.∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②
由①得：
b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝（λ1＋1）c－a＝λ2a.
∴，即，
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.
6．若a＝（1,2），b＝（－3,0），（2a＋b）∥（a－mb），则m＝（ ）
A．－B.
C．2D．－2
解析：
选A.∵a＝（1,2），b＝（－3,0），
∴2a＋b＝（－1,4），a－mb＝（1＋3m,2），
又∵（2a＋b）∥（a－mb），
∴－1×2－4（1＋3m）＝0，∴m＝－.
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（ ）
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：
选A.由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝.
8．若a，b为已知向量，且（4a－3c）＋3（5c－4b）＝0，则c＝________.
解析：
（4a－3c）＋3（5c－4b）＝0，则a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a.
答案：
b－a
9．设向量a，b不共线，且＝k1a＋k2b，＝h1a＋h2b，若＋＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.
解析：
＋＝（k1＋h1）a＋（k2＋h2）b＝ma＋nb，由平面向量基本定理知m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.
答案：
k1＋h1 k2＋h2
10．已知向量a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析：
因为a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝（1,2）＋2（x,1）＝（2x＋1,4），
v＝2（1,2）－（x,1）＝（2－x,3），
又因为u∥v，所以3（2x＋1）－4（2－x）＝0，
即10x＝5，解得x＝.
答案：
B组 能力突破
1．设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2,1），则“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C.若a＝（4,2），则|a|＝2，且a∥b都成立；
因a∥b，设a＝λb＝（2λ，λ），由|a|＝2，知
4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，
∴a＝（4,2）或a＝（－4，－2）．
因此“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的充分不必要条件．
2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1D．λμ＝1
解析：
选D.∵A、B、C三点共线，
∴存在实数t，满足＝t，
即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，
∴，∴λμ＝1.
3．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是（ ）
A.B.
C．－3D．0
解析：
选D.∵＝＝（－）
＝－
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0，故选D.
4．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：
若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1.
答案：
k≠1
5．已知a＝（1,0），b＝（2,1）．求：
（1）|a＋3b|；
（2）当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：
（1）因为a＝（1,0），b＝（2,1），
所以a＋3b＝（7,3），
故|a＋3b|＝＝.
（2）ka－b＝（k－2，－1），a＋3b＝（7,3），
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3（k－2）＋7＝0，即k＝－.
此时ka－b＝（k－2，－1）＝，
a＋3b＝（7,3），则a＋3b＝－3（ka－b），
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
第2课时 平面向量的数量积及应用
1．平面向量的数量积
（1）向量的夹角
①定义：
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
②范围：
设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
③共线与垂直：
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
（2）平面向量的数量积
①定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
②几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角．
（1）数量积：
a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
（2）模：
|a|＝＝.
（3）夹角：
cosθ＝＝.
（4）两非零向量a⊥b的充要条件：
a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
（5）|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
3．平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a（交换律）．
（2）λa·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．
4．判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．（√）
（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．（√）
（3）由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.（×）
（4）两向量a⊥b的充要条件：
a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.（×）
（5）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．（×）
（6）（a·b）·c＝a·（b·c）．（×）
（7）a·b＝a·c（a≠0），则b＝c.（×）
（8）在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．（×）
（9）因|e|＝1，故a·e＝e·a＝1.（×）
（10）在△ABC中，与的夹角为内角B.（×）
考点一 平面向量数量积的运算
命题点
1.用数量积的定义运算数量积
2.用坐标计算数量积
3.用向量的射影计算数量积
[例1]
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于（ ）
A．－16 B．－8
C．8D．16
解析：
法一：
·＝（－）·（－）＝－·＋2＝16.
法二：
∵在方向上的投影是AC，∴·＝||2＝16.
答案：
D
（2）（2017·河北石家庄质检）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则·的最大值为________．
解析：
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直
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