全回归法计算的例子和结果.docx
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全回归法计算的例子和结果
多元回归分析经典例子的计算
均匀设计的数据处理多采用回归分析方法,以下是均匀设计版本3.00的“数据建模分析”模块对部分回归分析经典例子的计算结果,这些计算采用与经典例子相同的回归分析方法,所得结果与经典例子中给出的结果是相同的。
均匀设计版本3.00提供的四种回归分析方法和计算的例子如下:
回归分析方法
例子和计算结果
全回归法
例１（RegSample1.udc）、例２（RegSample2.udc）
后退法
例３（RegSample3.udc）
逐步回归法
例４（RegSample4.udc）
双重筛选逐步回归法
例５（RegSample5.udc）
全回归法计算的例子和结果
例１高磷钢的效率（
）与高磷钢的出钢量（
）及高磷钢中的
含量（
）有关,所测数据如表１,请用线性回归模型拟合上述数据。
表１
试验序号
出钢量（
）
含量（
）
效率（
）
1
87.9
13.2
82.0
2
101.4
13.5
84.0
3
109.8
20.0
80.0
4
93.0
14.2
88.6
5
88.0
16.4
81.5
6
115.3
14.2
83.5
7
56.9
14.9
73.0
8
103.4
13.0
88.0
9
101.0
14.9
91.4
10
80.3
12.9
81.0
11
96.5
14.6
78.0
12
110.6
15.3
86.5
13
102.9
18.2
83.4
注:
本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》,化学工业出版社,1989年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标 名称:
效率 单位:
?
因素１名称:
出钢量 单位:
?
因素２名称:
FeO含量 单位:
?
-------------------多元回归分析-------------------
回归分析采用全回归法,显著性水平α＝0.10
拟建立回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）
回归系数b（i）:
b（0）＝74.6
b
（1）＝0.213
b
（2）＝-0.790
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.678
B
（2）＝-0.340
复相关系数Ｒ＝0.6770
决定系数Ｒ^2＝0.4583
修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4090
回归方程显著性检验:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝129
Ｋ＝2
Ｕ/Ｋ＝64.5
Ｆ＝4.230
剩 余
Ｑ＝153
Ｎ－１－Ｋ＝10
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝15.3
总 和
Ｌ＝282
Ｎ－１＝12
样本容量Ｎ＝13,显著性水平α＝0.10,检验值Ｆt＝4.230,临界值Ｆ（0.10,2,10）＝2.924,Ｆt＞Ｆ（0.10,2,10）,回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝3.91
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝10）:
ｔ
（1）＝2.818
ｔ
（2）＝-1.412
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝10）:
Ｆ
（1）＝7.940
Ｆ
（2）＝1.993
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝121
U
（2）＝30.4
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,2＝0.6653
ρ2,1＝-0.4077
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U
（1）＝121,U
（1）/U＝93.9%
U
（2）＝30.4,U
（2）/U＝23.6%
第２方程项[Ｘ
（2）]对回归的贡献最小,对其进行显著性检验:
检验值Ｆ
（2）＝1.993,临界值Ｆ（0.10,1,10）＝3.285,
Ｆ
（2）≤Ｆ（0.10,1,10）,此因素（方程项）不显著。
残差分析:
残差分析表
№
观测值
回归值
观测值－回归值
（回归值－观测值）/观测值×100（%）
１
82.0
82.9
-0.900
1.10
２
84.0
85.5
-1.50
1.79
３
80.0
82.2
-2.20
2.75
４
88.6
82.8
5.80
-6.55
５
81.5
80.4
1.10
-1.35
６
83.5
88.0
-4.50
5.39
７
73.0
75.0
-2.00
2.74
８
88.0
86.4
1.60
-1.82
９
91.4
84.4
7.00
-7.66
10
81.0
81.5
-0.500
0.617
11
78.0
83.6
-5.60
7.18
12
86.5
86.1
0.400
-0.462
13
83.4
82.2
1.20
-1.44
------------------回归分析结束------------------
全回归法建立的回归方程为
在显著性水平α＝0.10上是显著的,第二因素（
）在显著性水平α＝0.10上不显著。
例２某种产品的得率（
）与反应温度（
）、反应时间（
）及某反应物的浓度（
）有关,现得如表２所示的试验结果,设
与
、
和
之间成线性关系,试建立
与
、
和
之间的三元线性回归方程,并判断三因素的主次。
表２
试验号
反应温度（
）
反应时间（
）
反应物浓度（
）
得率（
）
1
70
10
1
7.6
2
70
10
3
10.3
3
70
30
1
8.9
4
70
30
3
11.2
5
90
10
1
8.4
6
90
10
3
11.1
7
90
30
1
9.8
8
90
30
3
12.6
注:
本例子引自李云雁胡传荣编著,《试验设计与数据处理》,化学工业出版社,2005年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标 名称:
得率 单位:
%
因素１名称:
反应温度 单位:
℃
因素２名称:
反应时间 单位:
h
因素３名称:
反应物浓度 单位:
%
-------------------多元回归分析-------------------
回归分析采用全回归法,显著性水平α＝0.01
拟建立回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）
回归系数b（i）:
b（0）＝2.19
b
（1）＝4.88e-2
b
（2）＝6.38e-2
b（3）＝1.31
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.316
B
（2）＝0.413
B（3）＝0.850
……………….
回归方程显著性检验:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝18.9
Ｋ＝3
Ｕ/Ｋ＝6.31
Ｆ＝187.0
剩 余
Ｑ＝0.135
Ｎ－１－Ｋ＝4
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝3.38e-2
总 和
Ｌ＝19.1
Ｎ－１＝7
样本容量Ｎ＝８,显著性水平α＝0.01,检验值Ｆt＝187.0,临界值Ｆ（0.01,3,4）＝16.69,Ｆt＞Ｆ（0.01,3,4）,回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝0.184
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝4）:
ｔ
（1）＝7.506
ｔ
（2）＝9.815
ｔ（3）＝20.21
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝4）:
Ｆ
（1）＝56.33
Ｆ
（2）＝96.33
Ｆ（3）＝408.3
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝1.90
U
（2）＝3.25
U（3）＝13.8
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,23＝0.9663
ρ2,13＝0.9799
ρ3,12＝0.9951
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U（3）＝13.8,U（3）/U＝72.8%
U
（2）＝3.25,U
（2）/U＝17.2%
U
（1）＝1.90,U
（1）/U＝10.0%
第１方程项[Ｘ
（1）]对回归的贡献最小,对其进行显著性检验:
检验值Ｆ
（1）＝56.33,临界值Ｆ（0.01,1,4）＝21.20,
Ｆ
（1）＞Ｆ（0.01,1,4）,此方程项显著。
残差分析:
残差分析表
№
观测值
回归值
观测值－回归值
（回归值－观测值）/观测值×100（%）
１
7.60
7.55
5.00e-2
-0.658
２
10.3
10.2
0.100
-0.971
３
8.90
8.83
7.00e-2
-0.787
４
11.2
11.5
-0.300
2.68
５
8.40
8.53
-0.130
1.55
６
11.1
11.2
-0.100
0.901
７
9.80
9.80
0.00
0.00
８
12.6
12.4
0.200
-1.59
------------------回归分析结束------------------
得率（
）与反应温度（
）、反应时间（
）及某反应物的浓度（
）之间具有非常显著的线性相关关系（在显著性水平α＝0.01上显著）。
由偏回归平方和的大小得知三因素的主次顺序为
。
后退法计算的例子和结果
例３研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况,得到表１所示的18组数据。
其中
为土壤中所含无机磷浓度,
为土壤中溶于
溶液并被溴化物水解的有机磷,
为土壤中溶于
但不溶于溴化物的有机磷,
为栽在20℃土壤中的玉米内的可给态磷,请建立它们的相关关系。
表１
采样号
1
0.4
53
158
64
2
0.4
23
163
60
3
3.1
19
37
71
4
0.6
34
157
61
5
4.7
24
59
54
6
1.7
65
123
77
7
9.4
44
46
81
8
10.1
31
117
93
9
11.6
29
173
93
10
12.6
58
112
51
11
10.9
37
111
76
12
23.1
46
114
96
13
23.1
50
134
77
14
21.6
44
73
93
15
23.1
56
168
95
16
1.9
36
143
54
17
26.8
58
202
168
18
29.9
51
124
99
注:
本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》,化学工业出版社,1989年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标 名称:
可给态磷 单位:
ppm
因素１名称:
无机磷浓度 单位:
ppm
因素２名称:
K2CO3+Br 单位:
ppm
因素３名称:
K2CO3-Br 单位:
ppm
-------------------多元回归分析-------------------
回归分析采用后退法,显著性水平α＝0.05
拟建立回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）
回归系数b（i）:
b（0）＝43.7
b
（1）＝1.78
b
（2）＝-8.34e-2
b（3）＝0.161
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.671
B
（2）＝-4.21e-2
B（3）＝0.273
复相关系数Ｒ＝0.7412
决定系数Ｒ^2＝0.5493
修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4893
回归方程显著性检验:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝6.81e+3
Ｋ＝3
Ｕ/Ｋ＝2.27e+3
Ｆ＝5.689
剩 余
Ｑ＝5.58e+3
Ｎ－１－Ｋ＝14
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝399
总 和
Ｌ＝1.24e+4
Ｎ－１＝17
样本容量Ｎ＝18,显著性水平α＝0.05,检验值Ｆt＝5.689,临界值Ｆ（0.05,3,14）＝3.344,Ｆt＞Ｆ（0.05,3,14）,回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝20.0
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝14）:
ｔ
（1）＝3.319
ｔ
（2）＝-0.1997
ｔ（3）＝1.443
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝14）:
Ｆ
（1）＝11.02
Ｆ
（2）＝3.986e-2
Ｆ（3）＝2.082
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝4.39e+3
U
（2）＝15.9
U（3）＝830
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,23＝0.6636
ρ2,13＝-5.328e-2
ρ3,12＝0.3598
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U
（1）＝4.39e+3,U
（1）/U＝64.6%
U（3）＝830,U（3）/U＝12.2%
U
（2）＝15.9,U
（2）/U＝0.234%
第２方程项[Ｘ
（2）]对回归的贡献最小,对其进行显著性检验:
检验值Ｆ
（2）＝3.986e-2,临界值Ｆ（0.05,1,14）＝4.600,
Ｆ
（2）≤Ｆ（0.05,1,14）,此方程项不显著,需要剔除。
第１次剔除不显著方程项,新建回归方程继续计算:
回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ（3）
回归系数b（i）:
b（0）＝41.5
b
（1）＝1.74
b
（2）＝0.155
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.654
B
（2）＝0.262
复相关系数Ｒ＝0.7403
决定系数Ｒ^2＝0.5481
修正的决定系数Ｒ^2a＝0.5198
回归方程显著性检验:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝6.79e+3
Ｋ＝2
Ｕ/Ｋ＝3.40e+3
Ｆ＝9.095
剩 余
Ｑ＝5.60e+3
Ｎ－１－Ｋ＝15
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝373
总 和
Ｌ＝1.24e+4
Ｎ－１＝17
样本容量Ｎ＝18,显著性水平α＝0.05,检验值Ｆt＝9.095,临界值Ｆ（0.05,2,15）＝3.682,Ｆt＞Ｆ（0.05,2,15）,回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝19.3
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝15）:
ｔ
（1）＝3.721
ｔ
（2）＝1.494
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝15）:
Ｆ
（1）＝13.85
Ｆ
（2）＝2.232
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝5.17e+3
U
（2）＝833
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,2＝0.6928
ρ2,1＝0.3599
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U
（1）＝5.17e+3,U
（1）/U＝76.1%
U
（2）＝833,U
（2）/U＝12.3%
第２方程项[Ｘ（3）]对回归的贡献最小,对其进行显著性检验:
检验值Ｆ
（2）＝2.232,临界值Ｆ（0.05,1,15）＝4.543,
Ｆ
（2）≤Ｆ（0.05,1,15）,此方程项不显著,需要剔除。
第２次剔除不显著方程项,新建回归方程继续计算:
回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）
回归系数b（i）:
b（0）＝59.3
b
（1）＝1.84
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.693
复相关系数Ｒ＝0.6934
决定系数Ｒ^2＝0.4808
修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4808
回归方程显著性检验:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝5.96e+3
Ｋ＝1
Ｕ/Ｋ＝5.96e+3
Ｆ＝14.82
剩 余
Ｑ＝6.43e+3
Ｎ－１－Ｋ＝16
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝402
总 和
Ｌ＝1.24e+4
Ｎ－１＝17
样本容量Ｎ＝18,显著性水平α＝0.05,检验值Ｆt＝14.82,临界值Ｆ（0.05,1,16）＝4.494,Ｆt＞Ｆ（0.05,1,16）,回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝20.1
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝16）:
ｔ
（1）＝3.849
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝16）:
Ｆ
（1）＝14.82
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝5.96e+3
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,＝0.6934
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U
（1）＝5.96e+3,U
（1）/U＝100%
对第１方程项[Ｘ
（1）]进行显著性检验:
检验值Ｆ
（1）＝14.82,临界值Ｆ（0.05,1,16）＝4.494,
Ｆ
（1）＞Ｆ（0.05,1,16）,此方程项显著。
残差分析:
残差分析表
№
观测值
回归值
观测值－回归值
（回归值－观测值）/观测值×100（%）
１
64.0
60.0
4.00
-6.25
２
60.0
60.0
0.00
0.00
３
71.0
65.0
6.00
-8.45
４
61.0
60.4
0.600
-0.984
５
54.0
67.9
-13.9
25.7
６
77.0
62.4
14.6
-19.0
７
81.0
76.6
4.40
-5.43
８
93.0
77.9
15.1
-16.2
９
93.0
80.6
12.4
-13.3
10
51.0
82.5
-31.5
61.8
11
76.0
79.4
-3.40
4.47
12
96.0
102
-6.00
6.25
13
77.0
102
-25.0
32.5
14
93.0
99.1
-6.10
6.56
15
95.0
102
-7.00
7.37
16
54.0
62.8
-8.80
16.3
17
168
109
59.0
-35.1
18
99.0
114
-15.0
15.2
------------------回归分析结束------------------
后退归法所建立的回归方程为
在显著性水平α＝0.05上是显著的,然后经过逐次剔除不显著的因素,最后得到的只包含显著因素的优化的回归方程为
。
逐步回归法计算的例子和结果
例１某种水泥在凝固时放出的热量
（卡/克）与水泥中下列四种化学成分有关:
:
的成分（%）,
:
的成分（%）,
:
的成分（%）,
:
的成分（%）。
所测定数据如表１所示,试建立
与
、
、
及
的线性回归模型。
表１
试验序号
1
7
26
6
60
78.5
2
1
29
15
52
74.3
3
11
56
8
20
104.3
4
11
31
8
47
87.6
5
7
52
6
33
95.9
6
11
55
9
22
109.2
7
3
71
17
6
102.7
8
1
31
22
44
72.5
9
2
54
18
22
93.1
10
21
47
4
26
115.9
11
1
40
23
34
83.8
12
11
66
9
12
113.3
13
10
68
8
12
109.4
注:
本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》,科学出版社,1974年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标 名称:
热量 单位:
卡/克
因素１名称:
3CaO.Al2O3含量 单位:
%
因素２名称:
3CaO.SiO2含量 单位:
%
因素３名称:
4CaO.Al2O3.Fe2O3含量 单位:
%
因素４名称:
2CaO.SiO2含量 单位:
%
-------------------多元回归分析-------------------
回归分析采用逐步回归法,显著性水平α＝0.10
引入变量的临界值Ｆa＝3.280
剔除变量的临界值Ｆe＝3.280
拟建立回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）
第１步,引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx（3）＝0.286
Ｖx
（1）＝0.534
Ｖx
（2）＝0.666
Ｖx（4）＝0.675
未引
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