四年级数学培优教材.docx

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四年级数学培优教材

第一讲寻找规律

第二讲巧求周长

第三讲平均数问题

第四讲图形的计数

第五讲定义新运算

第六讲简单的逻辑推理

第七讲数阵图

第八讲等差数列求和

第九讲巧算时间

第十讲方阵问题

第十一讲加法原理和乘法原理

第十二讲统筹规划

第一讲寻找规律

一.知识要点

图形的变化或一组数的排列都是有一定规律可循的。

在数学中，许多问题也有规律可循。

要解答这些带有规律性的问题，一定要善于观察，分析比较，认真思考，不仅要发现规律，还要运用规律。

二．范例分析

例1下面三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律并填出B、C,然后确定A，那么A是。

【分析与解】通过观察可以发现，各方框中右上、左下、右下的数分别为1、2、3；2、3、4；3、4、5才能形成规律，故B=4，C=5。

还可以发现，9=（2+1）×3，20=（2+3）×4，所以A=（3+4）×5=35。

例2观察下面各列数的排列规律，在（）里填上合适的数。

（1）2，9，16，23，（），37

（2）4，9，16，25，（），49

（3）1，2，4，6，7，10，10，14，13，18，（），（）

（4）4，2，11，7，32，22，95，67，284，202，（），（）

【分析与解】

（1）经过观察可以发现，相邻两个数的差都是7，因此，（）里应填“30”。

（2）仔细观察不难发现：

4=2×2,9=3×3,16=4×4，25=5×5,所以，后面紧接着的应是6×6，因此，（）里应填“36”。

（3）这列数从表面上看，排列得比较乱，如果仅从相邻两数的关系人手，不易发现它们的排列规律，可以将这列数相隔分成两列数，分别寻找它们各自的变化规律。

相隔分成两列数，分别是：

1，4，7，10，13，（）

2，6，10，14，18，（）

上述两列数，相邻两数的差分别是3和4，因此，（）里应分别填上“16”、“22”。

（4）可以像（3）题那样，将这列数相隔分成两列数：

4，11，32，95，284，（）

2，7，22，67，202，（）

仔细观察，可以发现有如下规律：

所以，（）里应分别填上“851”、“607”。

例3有一列数：

5、6、2、4、5、6、2、4……

（1）第129个数是多少?

（2）这129个数的和是多少?

【分析与解】经过观察可以发现：

5、6、2、4这4个数为一个周期。

（1）129÷4=32……1，第129个数就是第一个数，即为5。

（2）一个循环周期的和是5+6+2+4=17，共32个周期还多1个5。

17×32+5=549。

所以这129个数的和是549。

例4用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，若要拼成一个七层宝塔图形，需要（）个小正方形。

【分析与解】我们不妨依次计算出每个图形所需要的小正方形的个数：

1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16……观察这几个算式的结果可以发现：

4=2×2，9=3×3，16=4×4……即每个图形所需要的小正方形的个数等于宝塔层数的平方。

因此，若拼成一个七层宝塔，需要的小正方形的个数是：

7×7=49。

例5有一列数1，3，9，25，69，189，517……其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是几?

【分析与解】这是一道典型的找规律题。

我们只需把数列中前面一些数除以6的余数列出来，找到规律即可：

1，3，3，1，3，3，1，3，3，…就是1，3，3三个数一循环。

2008÷3=669……1，所以第2008个数除以6，得到的余数是1。

例6下表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组。

如第一组是（北，预），第二组是（京，祝）。

那么由左向右的第2008组的上、下两个字是（）。

北

京

欢

迎

您

北

京

欢

迎

您

北

京

欢

迎

您

北

京

欢

…

预

祝

奥

运

会

圆

满

成

功

预

祝

奥

运

会

圆

满

成

功

…

【分析与解】由于两行字的排列规律不一样，所以我们应该分别来找它们的排列规律。

第一行以“北京欢迎您”这五个字为一组，2008÷5=401（组）······3，第2008组的上面字应是“欢”

；第二行以“预祝奥运会圆满成功”这九个字为一组，2008÷9=223（组）······1，第2008组下面的字应是“预”字，故第2008组中的上下两个字放在一起是（欢，预）。

例7四盏灯（如下图所示）组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色变换一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次上下两灯又互换颜色······这样一直下去，开灯1小时后四盏灯的颜色排列是：

【分析与解】仔细观察分析，可以找到四盏灯颜色的变换规律：

每隔2分钟四盏灯的颜色排列重复一次。

因为1小时里有30个2分钟，所以开灯1小时后四盏灯的颜色排列与开始相同，即：

三．课堂练习

1.下面四个三角形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，并求出“?

”=。

2．观察下面各列数的排列规律，在（）里填上合适的数。

3.有一列图形按如下规律排列：

○○△△△□○○△△△□……那么第100个图形是（），这100个图形中共有（）个△。

4.如图，用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，若要拼成一个十层宝塔图形，需要多少个小正方形?

二十层呢?

5.观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x=（）

6.如图所示，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指，若从大拇指开始数数，按：

ABCDEDCBABCDEDCBA……

的顺序数，数到“112”时，是左手的（）。

7.“猪”、“马”、“羊”、“牛”如下图所示，占“田”字格的四个小格，把它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次

再左右交换，……，这样交换八十次后，“马”在几号小格内?

8.按规律填数：

（1）2,5,8,11,14,（）,（）

（2）2,6,18,54,162,（）,（）

9.不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列：

14916253649……，则从左向右的第16个数字是几?

10.如图，有同样大小的黑、白珠子若干个，按3个黑珠子，4个白珠子，再3个黑珠子，再4个白珠子的顺序依次排列：

．

●●●○○○○●●●○○○○……

问：

（1）第2006个珠子是什么颜色?

（2）这2006个珠子里有多少个黑珠子?

11.请根据数字间的关系，找规律填空。

12．观察下列数阵的规律。

第一横行有1个数，第二横行有3个数……第十横行最后一个数是几?

13.有数组（1，2，3，4）；（2，4，6，8）；（3，6，9，12）……那么第100个数组内四个数的和是多少?

14.有五个等式：

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

……

那么，第五个等式左右两边的和都是（）

15．有一列由三个数组成的数组：

（1，1，1）；（2，4，8）；（3，9，27）……第12个数组中三个数的和比第6个数组中三个数的和大。

16.如下图，用同样大小的正三角形，向右逐次拼接出更大的正三角形。

其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：

3，6，10，15，2l……这列数中的第9个是多少?

第二讲巧求周长

一、知识要点

在求图形周长的题目里通常要用到平移、转化、分解等方法，以及灵活运用我们已经学过的正方形、长方形的周长计算公式。

二、范例分析

例1如右图，若每个小正方形的周长为12厘米，则它们组合而成

的“十”字图形的周长为多少厘米?

【分析与解】要求这个多边形的周长，也就是要求围成的这个多边形所有线段的总和。

小正方形边长是12÷4=3（厘米），“十”字图形一周有12条边，所以周长是3×12=36（厘米）

答：

“十”字图形的周长为36厘米。

提示：

此题也可采用平移的方法，把这个“十”字图形转化为一个正方形。

例2下图是一座楼房的平面图，求这个平面图的周长。

【分析与解】这个平面图形，如果从表面上看，似乎缺少已

知条件，没有办法求出它的周长。

但是我们可以运用平移的方法，将图（a）转化为图（b）（箭头所指的是转化的部分），这样图（a）的周长就转化为图（b）的周长与2条20米长的线段之和。

（50+60）×24+20×2=260（米）

答：

这个平面图的周长是260米。

例3有一个长方形纸片，长比宽多2厘米，周长是36厘米。

用剪刀剪3下（如图），这6个长方形的周长之和是多少？

【分析与解】根据题意可知，长与宽的和为36÷2=18（厘米），长为（18+2）÷2=10（厘米），宽为18—10=8（厘米）,剪了3刀后增加了4个长，2个宽，则周长之和为36+10×4+8×2=92（厘米）。

答：

这6个长方形的周长之和是92厘米。

例4如右图，两个长方形拼成了一个正方形。

如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形面积是多少平方厘米?

【分析与解】从图上很容易看出，正方形的周长比两个长方形的周长的和少2个边长，2个边长是6厘米，则正方形边长是6÷2=3（厘米），面积是3×3=9（平方厘米）。

答：

正方形面积是9平方厘米。

例5一张小长方形纸的长是20厘米，宽是16厘米，现把若干个

这样的小长方形纸片，按右图所示的方法，1层、2层、3层……摆下去，共摆了80层。

摆好后的这个图形的周长是多少厘米?

【分析与解】经过观察分析，运用平移的方法可知，这个图形的周长与一个大长方形的周长相同，这个大长方形的长为（80×20）厘米，宽为（80×16）厘米，其周长为：

（80×20+80×16）×2=-5760（厘米）

答：

摆好后的这个图形的周长是5760厘米。

例6如图，阴影部分BCGF是个正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米。

问：

大长方形ADHE的周长是多少?

【分析与解】因为FG=HD，GH=CD，所以HD与CD的和也是18厘米，因此，大长方形长与宽的和是42厘米即（24+18），从而利用长方形的周长计算公式就可以求出大长方形ADHE的周长为：

（24+18）×2=84（厘米）

答：

大长方形ADHE的周长是84厘米。

例7图l中，每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，小正方形的边长为4厘米，且边长相互平行，试求出这个图形的周长是多少厘米?

【分析与解】利用平移的方法，将图1变成图2，不难看出，图1的周长等于平移后的正方形周长，而正方形的边长是（4÷2）×7+4=180（厘米），利用正方形的周长计算公式就可以求出其周长。

．

（4÷2）×7十4=18（厘米）18×4=72（厘米）

答：

这个图形的周长是72厘米。

三、随堂练习

1、某人以每分钟150米的速度绕右图所示跑一圈，需要多

少分钟?

2、如右图，把一个长是12厘米、宽是10厘米的长方形横切3刀，竖切2刀，共切成了12个小长方形。

所有这些小长方形的周长之和是多少?

3、如右图，一个正方形被分成了4个同样大小的长方形,每个长方形的周长都是60厘米,求正方形的周长是多少厘米?

4、有一批长20厘米，宽12厘米的长方形纸片按图中所示方法一层、二层、三层的摆下去，共要摆成四层，求摆好后图形的周长。

如果摆成10层，其周长又是多少呢?

5、如图，长方形ABCD中，已知AF=15厘米，EB=9厘米，四边形EFGH为正方形，试求出长方形ABCD的周长。

6、如图，一个大长方形被分成了四个小长方形，这四个小长方形的周长之和为40厘米，则它们共同组成的大长方形的周长是多少厘米?

7、如图，这是三个边长为10厘米的正方形纸片。

从

（1）和

（2）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方形，从（3）中剪去一个面积是4平方厘米的小长方形，比较

（1）、

（2）、（3），剩下部分周长最小的是

它的周长是厘米。

8、如右图，这是一所学校教学楼的平面图，求其周长。

9、如右图，求多边形的周长。

（单位：

厘米）

10、如图所示，图①与图②都是由完全相同的相同的小正方形拼成的。

如果图①得周长是32厘米，那么图②的周长是多少厘米？

11、一个长方形的长是20厘米，宽是16厘米，把它沿水平方向横切3刀，沿垂直方向竖切3刀，分成了16个小正方形，求所有这些小长方形的周长。

12、长方形的长是50厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米?

13、如图，已知阴影部分BEFD是正方形，线段BH长15厘米，线段CF长20厘米。

求长方形AHGC的周长。

第三讲平均数问题

一、知识要点

解答平均数问题常用的关系式如下：

平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

二、范例分析

例1小明的语文、数学的平均成绩是90分，语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，由此可知小明的英语成绩是多少分?

【分析与解】由语文、数学的平均成绩是90分可以算出语文、数学的总分是90×2=180（分），又由语文、数学、英语三科的平均成绩是93分可以算出语文、数学、英语的总分是93×3=279（分），因此小明的英语成绩是279－180=99（分）

答：

小明的英语成绩是99分。

例2把五个数按从小到大排列，其平均数是38。

已知前三个数的平均数是28，后三个数的平均数是47。

问：

中间一个数是多少?

【分析与解】先求出五个数的和是38×5=190，再求出前三个数的和是28×3=84，后三个数的和是47×3=141。

用前三个数之和加上后三个数之和，这样，中间的那个数就计算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所要求的中间的那个数为：

28×3+47×3－38×5=35

答：

中间一个数是35。

例3五名评委给一名歌唱演员评分，去掉一个最高分和一个最低分后平均得9．58分；若只去掉一个最高分，平均得9．46分；若只去掉一个最低分，平均得9．66分。

这名演员所得的最高分与最低分的平均分为多少分?

【分析与解】去掉一个最高分和一个最低分后的总分是9．58×3；只去掉一个最高分后的总分是9．46×4；只去掉一个最低分后的总分是9．66×4，所以一个最高分与一个最低分的和是9．46×4+9．66×4－9．58×3×2，这样就可以求出最高分与最低分的平均分。

列式为：

（9．46×4+9．66×4－9．58×3×2）÷2=9．50（分）

例4小明看着自己的数学成绩表预测，如果下次考100分，那么总平均分是91分；如果下次考80分，那么数学总平均分就只有86分。

小明数学成绩表中已有几次成绩？

【分析与解】当下次考试成绩降低20分时，总分也会降低20分。

而平均成绩降低91－86=5（分），那么下次考完后他有20÷5=4（次）成绩，因此已有3次成绩。

答：

小明数学成绩表中已有3次成绩。

例5六一儿童节那天，小华去爬山，上山时每分钟行50米，原路返回时每分钟行75米。

求小华往返的平均速度。

【分析与解】往返的平均速度应该用往返的总路程除以往返的总时间。

由于题中没有告诉我们全程是多少米，因此我们可以假设全程为150米（也可以假设为其他数），这样，就可以求出往返的总时间是150÷50+150÷75=5（分钟），而往返的总路程是150×2=300（米），从而就可以顺利求出小明往返的平均速度。

（150×2）÷（150÷50+150÷75）=60（米／分）

答：

小华往返的平均速度是每分钟60米。

’

例6育才小学四

（1）班女同学的人数是男同学的2倍，女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是147厘米。

全班同学的平均身高是多少厘米?

【分析与解】题目中没有直接告诉我们男、女生的人数，怎么办?

我们不妨把男、女同学的人数假设出来，这样问题就好解决了。

假设男同学有10人，女同学有20人。

（150×20+147×10）÷（10+20）=149（厘米）

答：

全班同学的平均身高是149厘米。

三、随堂练习

1、在期末考试中，小华的语文、数学、英语三科的平均成绩是94分，其中语文、数学两科的平均成绩是92分。

小华的英语成绩是多少分？

2、五个数的平均数是32。

如果把这五个数按从小到大排列，那么前三个数的平均数是28，后三个数的平均数是35。

中间那个数是多少?

3、某五个数的平均数是70，若把其中一个数改为90，则这五个数的平均数变为80。

改动前这个数是多少?

4、五年级

（1）班有40个同学参加考试，其中2个同学缺考，平均成绩为89分。

缺考的两个同学补考后各得99分，则这个班最后平均分为多少分?

5、小强从甲地去乙地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。

剩下的步行，每小时走4千米。

小强行完全程的平均速度是多少?

6、在全国“希望杯”数学竞赛中，某校男生参加的人数是女生的3倍。

比赛结果出来后发现，男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是84分。

那么该校学生的平均成绩是多少分？

7、小红的期末考试成绩单不小心被弄污了，你能帮她算出数学成绩来吗？

语文

数学

英语

平均分

85

91

90

8、一辆东风牌卡车，前3小时共行了138千米，后2小时每小时行36千米。

求这辆卡车的平均速度是多少?

9、三个数的平均数是120，加上多少后，则四个数的平均数是150？

10、有五个数，平均值是100。

添上一个数后，平均值增加2。

再添上第七个数，平均值又增加2。

第七个数是多少?

11、小青这学期前几次数学测验的平均分是80分，最近这次测验得100分，平均分提高到85分。

那么这次测验是第几次?

12、某班统计数学考试成绩，平均成绩是84．1分。

后来发现小红的成绩是96分，被错记成69分。

重新计算后，平均成绩是84．7分。

那么这个班有多少名学生?

13、甲、乙两数的平均数是34，乙、丙两数的平均数是31，甲、丙两数的平均数是32。

甲、乙、丙三数各是多少?

14、一辆汽车从甲城到乙城，去时每小时行60千米，返回时每小时行40千米，求这辆汽车往返的平均速度。

第四讲图形的计数

一、知识要点

图形的计数就是数平面图形或立体图形中线段、角、三角形、长方形、正方形或小立方体等的个数。

对于一些简单图形的计数可能比较容易，而对于一些稍复杂的图形，要对其计数就比较繁琐，稍不留神就会多数或少数图形的个数。

因此，要准确地数出图形的个数，就要掌握一些数图形的方法，最基本的要求就是“不重复，不遗漏”，按照一定的顺序去数。

二、范例分析

例1数出图中正方形的个数。

【分析与解】假定每个小正方形的边长为1，采用分类的方法，分别数出边长为1，2，3一的正方形的个数，其和就是图中所有正方形的个数。

边长为1的正方形有：

4×4=16（个）

边长为2的正方形有：

3×3=9（个）

边长为3的正方形有：

2×2=4（个）

边长为4的正方形有1个

一共有l+4+9+16=30（个）

例2图中共有多少个长方形?

【分析与解】长方形是由长和宽决定的，要知道有多少个长方形，就应该算出长方形“长”的条数和“宽”的条数。

一条“长”与一条“宽”就对应着一个长方形，“长”的条数和“宽”的条数的乘积就是长方形的总个数。

大长方形中长边共有：

1+2+3+4+5=15（条），宽边共有：

1+2+3=6（条），因此，长方形的总个数有：

15×6=90（个）

例3图中有多少个三角形?

【分析与解】

（1）在三角形ABC中，以A为顶点的三角形有（1+2+3）×3=18（个）。

（2）以B为顶点的三角形还有3×3=9（个）。

因此，图中一共有三角形18+9=27（个）。

例4如图

（1），平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个?

【分析与解】把相邻的两点连接起来可以得到图

（2），从图

（2）中可以看出：

（1）最小的正方形有6个。

（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个。

（3）中间还可围成2个正方形。

因此，围成的正方形共有6+2+2=10（个）。

例5图中有多少个正方体?

【分析与解】假设最小的正方体棱长为l，那么棱长为1的正方体有4×4×4=64（个），棱长为2的正方体有3×3×3=27（个），棱长为3的正方体有2×2×2=8（个），棱长为4的正方体（即最大的正方体）有1个。

所以，图中一共有正方体64+27+8+1=100（个）。

例6由35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示有两个“★”。

问：

包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个?

【分析与解】将含有两个“☆”的横行放在一起看成一行A，将含有两个“☆”的纵行放在一起看成一列B，凡含有这两个“☆”的长方形，要么由A向上或向下数行，要么由B向左或向右数列。

由A行向上数有2种方法，由A行向下数有3种方法；由B列向左数有3种方法，由B列向右数有4种方法。

所以，包含两个“☆”的长方形共有：

2×3×3×4=72（种）。

三、随堂练习

1、数一数，下图中共有多少个正方形。

2、求出图中共有多少个长方形?

3、图中有多少个三角形?

4、右图中共有6个点，连接其中的三个点围成一个正三角形，一共能围成多少个正三角形?

5、右图中有多少个正方体?

6、右图中带“☆”的长方形有多少个?

7、在（）里填上合适的数。

8、下面三个图中，都有一些三角形，在图A中有（）个；在图B中有（）个；在图C中有（）个。

9、图中有多少个正方形?

10、图中有多少个长方形?

11、右图中有多少个三角形?

12、数一数，右图中有多少个三角形?

13、右图中共出现了多少个长方形?

14、在右图中，包含“※”的大、小三角形一共有多少个?

15、把一个大正方体的表面全部涂上颜色，然后再锯成小正方体（如右图所示）。

那么3个面有颜色的有（）块，2个面有颜色的有（）块，1个面有颜色的有（）块。

16、由20个边长为1的小正方形拼成的一个4×5的长方形中有一格有“☆”。

图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）一共有多少个?

第五讲定义新运算

一、知识要点

掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。

二、范例分析

例1符号“*”表示一种运算，a*b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如（2+3）*（2×3）=5*6=6－5=1，求（13×2）*（6+40）。

【分析与解】此题的新运算被定义为：

a*b等于a与b中较大数与较小数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

（13×2）*（6+40）=26*