初中几何学霸内部秘籍系列1学而思培优竞赛.docx

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初中几何学霸内部秘籍系列1学而思培优竞赛

初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优竞赛）

模型1：

角平分线上的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

结论：

PB=PA。

模型证明：

∵OP平分∠MON，

∴∠AOP=∠BOP；

又PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠OAP=∠OBP=90°；

OP=OP；

∴RT△OAP≌RT△OBP,

∴PB=PA。

模型分析

利用角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，

为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的

突破口。

模型实例

（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D

到直线AB的距离是_____；

（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：

AP平分∠BAC。

解析：

（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2

（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等，

∴AP平分∠BAC

模型练习

1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：

∠BAD+∠BCD=180°。

证明：

如图延长BA，

过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，

∵BD平分∠ABC

∴DE=DF,

又AD=DC

∴RT△DEA≌RT△DFC

∴∠DAE=∠BCD

∴∠BAD+∠BCD=180°

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点

P，若∠BPC=40°，则∠CAP=。

角平分线模型

模型2截取构造对称全等

如图，P是∠MON的角平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON

上截取OB=OA，连接PB。

结论：

△OPB≌△OPA。

模型证明：

∵OP是∠MON的角平分线

∴∠AOP=∠BOP，OP=OP

又OA=AB

∴△OPB≌△OPA

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得

到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使

用的一种解题技巧。

模型实例

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点

A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较

PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

解:

（1）如图在BA的延长线上取点E使AE=AC，连接PC

由角平分线模型2可证△APC≌△APE

∴PC=PE

∴在△PBE中有

PC+PE>BE=AB+AE

∴PB+PC>AB+AC

（2）如图在AC上取一点E使AE=AB，连接PE

∵∠BAP=∠EAP,AP=AP,AE=AB

∴△BAP≌△EAP

∴PB=PE

在△PEC中，PC-PB=PC-PE>EC=AC-AE=AC-AB

∴PC-PB>AC-AB

模型练习

1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。

求线段BC的长。

解：

如图在CB上取一点E使CE=CA，则有

CD=CD，∠ACD=∠ECD

∴△ACD≌ECD

∴AD=DE=8

∴∠A=∠CED=2∠B

又∠CED=∠B+∠BDE

∴∠B=∠BDE

∴△BDE为等腰三角形

∴DE=BE=8

又CE=CA=16

∴BC=BE+EC=24

2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。

求证：

BC=AB+CD。

解：

如图在BC上取一点E使BA=BE,则

BD=BD,∠ABD=∠EBD

∴△ABD≌△EBD

∴AB=EB，∠DEB=108°

又∠C=36°

∴∠CDE=∠CED=72°

∴CD=CE

∴BC=AB+CD

3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延

长BD至E，DE=AD。

求证：

BC=AB+CE。

角平分线模型

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B。

结论：

△AOB是等腰三角形。

模型证明：

由已知可得AP⊥OP,BP⊥OP,OP=OP,∠POA=∠POB

∴△POA≌△POB

∴OA=OB

∴△AOB是等腰三角形

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等

的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线

和三线合一联系了起来。

模型实例

如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为E。

求证：

BD=2CE。

证明：

如图延长BA、CE交于点F则有：

∠ABE=∠CBE，BE=BE

∴RT△BEF≌RT△BEC

∴CE=EF

∴CF=2CE

又∵∠ADB=∠CDE

∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠F=90°

∴∠ADB=∠F

又AB=AC

∴RT△BAD≌RT△CAF

∴BD=CF

∴BD=2CE.

模型练习

1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。

求证：

∠2=∠1+∠C。

证明：

如图延长AD交BC于点F则有

BD=BD，∠ABD=∠FBD

∴RT△ADB≌RT△FDB

∴∠2=∠BFD=∠1+∠C

∴∠2=∠1+∠C

2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于点E。

求证：

BE=½（AC-AB）。

角平分线模型

模型4角平分线+平行线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。

结论：

△POQ是等腰三角形。

模型证明

∵PQ∥ON

∴∠PON=∠OPQ

又∵OP是∠MON的平分线

∴∠POQ=∠PON

∴∠POQ=∠OPQ

∴△POQ是等腰三角形

模型分析

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

模型实例

解答下列问题：

（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠

ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；

（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC

于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？

并说明理由。

（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交

AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什

么数量关系？

解析：

（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF

∴EF=ED+DF=BE+CF

（2）∵DE∥BC

∴∠EDB=∠DBC

又BD平分∠ABC

∴∠DBE=∠DBC

∴∠EDB=∠DBE

∴△EBD为等腰三角形

∴BE=ED

同理可证：

FD=CF

∴EF=ED-FD=BE-CF

∴EF=BE-CF

（3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）

模型练习

1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。

若BM+CN=9，则线段MN的长为。

解析：

由模型可得，ME=BM,EN=CN

∴MN=ME+EN=BM+CN=9

2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC

求证：

EF∥AB。

解析：

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。

求证：

AD=AB-BC。