相切在作图中的应用的教案八年级数学教案模板.docx
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相切在作图中的应用的教案八年级数学教案模板
相切在作图中的应用的教案_八年级数学教案_模板
相切在作图中的应用的教案
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：
使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．
难点：
①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．
2、教法建议
（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；
（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．相切在作图中的应用
（一）
教学目标：
（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；
（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；
（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；
（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．
教学重点:
正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．
教学难点:
连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定
教学活动设计:
（一）实际问题引出概念
我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．
想一想：
跑道线是怎样的线组成的?
画一画：
跑道的大致图形．
指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：
1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．
2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．
3、外连接、内连接．
组织学生阅读理解教材内容
（二）深刻理解概念
“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?
像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．
理解：
线与线连接有两个必备条件：
①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．
（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法
例1：
已知：
线段AB和r（如图）．
求作：
，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．
作法：
1、过点A作直线PA⊥AB．
2、在射线AP取AO=r．
3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．
就是所求作的弧．
说明：
画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．
例2、已知：
如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．
求作：
半径为R2的，使与在点A外连接．
作法：
1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．
2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．
就是所求作的弧．
说明：
画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．
练习题：
P148练习，1、2．
（三）小结
主要内容：
1、什么是连接?
什么是外连接?
什么是内连接?
2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．
3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．
（四）作业
教材P151习题A组16．
课外题：
画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．
课题：
完全平方公式
一、教材分析：
（一）教材的地位与作用
本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几方面：
（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。
（3）公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。
（二）教学目标的确定
在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。
根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标：
理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。
2、能力目标：
渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。
3、情感目标：
培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。
（三）教学重点与难点
完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：
本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。
二、教学方法与手段
（一）教学方法：
针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。
同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。
边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。
采用小组讨论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。
（二）教学手段：
利用投影仪辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。
（三）学法指导：
在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。
三、教材处理
根据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为（a+b）的正方形面积是多少？
”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。
关于两数差的平方公式，我将为学生提供三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进行，再通过分层次练习，加以巩固。
四、教学程序
教 学 过 程
设计意图
一、创设情境，引出课题
如图，有一个边长为a米的正方形广场，则这个广场的面积是多少？
a
若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10米的道路，则面积是多少？
a 10
引导学生利用图形分割求面积。
另一方面：
正方形
10 10a 102 面积为（a+10）2,所以：
（a+10）2=a2+20a+102
a a2 10a
a 10
b ab b2 把10替换为b,
（a+b）2=a2+2ab+b2
a a2 ab 提出课题
a b
通过较为简单的几何图形面积计算和较熟悉的整式乖法计算。
引入本节学习内容（a+b）·（a+b）
（根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣）
问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。
对公式（a+b）2=a2+2ab+b2的形式进行初步认识，接触
教 学 过 程
设计意图
二、交流对话，探求新知
1、推导两数和的完全平方公式
计算（a+b）2
解：
（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
2、理解公式特征
①算式：
两数和的平方
②积：
两个数的平方和加上这两个数积的2倍
3、语言叙述
（a+b）2=a2+2ab+b2用语言如何叙述
4、公式（a-b）2=a2-2ab+b2教学
①利用多项式乘法（a-b）2=（a-b）（a-b）
②利用换元思想 （a-b）2=[a+（-b）]2
③利用图形
b
a
（a-b） b
a
5、学生总结、归纳：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。
6、公式中的字母含义的理解。
（学生回答）
（x+2y）2是哪两个数的和的平方？
（x+2y）2=（ ）2+2（ ）（ ）+（ ）2
（2x-5y）2是哪两个数的差的平方？
（2x+5y）2=（ ）2+2（ ）（ ）+（ ）2
变式 （2x-5y）2可以看成是哪两个数的和的平方？
利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。
组织学生小组讨论，使学生明确公式特征，加深对公式表象的理解。
由学生对公式
（a+b）2=a2+2ab+b2进行口头语言叙述。
（1）说明：
教师提供三种模式，由学生选择一种去解决。
培养学生学习的主动性，开阔学生的思路。
（2）同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；（3）体会辩证统一的唯物主义观点；（4）正确引导学生学习时知识的正迁移。
使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学生对两个公式特点进行讨论归纳，适当总结一定的口诀：
“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放。
”
加深学生对公式中的字母含义的理解，明确字母意义的广泛性
教 学 过 程
设计意图
三、整理新知形成结构
1、完全平方公式并分析公式左右的特征。
2、换元的基本想法
四、应用新知，体验成功
1、例1教学：
用完全平方公式计算
（1）（a+3）2
（2）（y-）2 （3）（-2x+t）2 （4）（-3x-4y）2
学生直接运用公式计算，教师板演，讲评时边口述理由,针对第（4）题（-3x-4y）2可以看成是-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方
提出以下问题：
（1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？
（2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？
（3）能不能进行符号转化？
如（-3x-4y）2=（3x+4y）2
2、公式巩固
（1）同桌同学互相编一道用完全平方公式计算题目，然后解答。
（2）下列各式的计算，错在哪里？
应怎样改正？
①（a+b）2=a2+b2 ②（a-b）2=a2-b2
③（a-2b）2=a2+2ab+2b2
3、练习：
运用完全平方公式计算：
（学生板演）
①（a+5）2 ②（3+x）2 ③（y-2）2 ④（7-y）2
⑤（2x+3y）2⑥（-2x-3y）2⑦（3-）2⑧（--）2
4、例2，运用完全平方公式计算：
（1）1012
（2）982
5、练习：
运用完全平方公式计算
（1）912
（2）7982 （3）（10）2
6、讨论：
（1-2x）（-1-2x）,（x-2y）（-2y+1）如何计算
五、公式拓展，鼓励探究
1、a2+b2=（a+b）2-______ a2+b2+_______=（a+b）2
a2+b2+________=（a-b）2
2、（a+b）2-（a-b）2=______ 3、（a+b+c）2=________
4、提出思考题：
（a+b）3=?
（a+b）4=?
5、已知求的值。
6、已知：
，求，的值。
6.已知，求x和y的值。
（1）遵循及时巩固原则。
（2）针对初一学生注意力不能持久的特点。
（3）形成知识网络，有利于学生进一步学习公式的运用
（1）直接运用公式进行计算。
（2）进一步帮助学生掌握换元法。
（3）进行符号转化的变换，加深学生对公式理解的深度，也为进一步学习其它知识打好基础。
对这几个式子的辨析目的在于防止学生对以前学过的如（ab）2=a2b2的公式的负迁移作用
讲练结合
（1）合作学习，四人小组讨论（教师逐步引导到运用完全平方公式计算）学生讲自己解题的想法和步骤，培养语言表达能力。
（2）体会公式实际运用作用，增加学习兴趣
进一步辨析完全平方公式与平方差公式的区别
公式变形利于各种计算
提出一个问题，引导学生用学习研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展变形问题。
如：
三项式的平方，两项式的立方、四次方等，培养学生的严谨的治学态度和钻研精神。
教 学 过 程
设计意图
六、小结提高，知识升华
1、两个公式（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
2、两种推导方法：
多项式乘法导出；图形面积导出
3、换元法与转化
七、作业布置，分层落实
1、阅读教材 6.17内容
2、见省编作业本6.17
3、对（a+b）2,（a+b）3……的展开式从项数、系数方面进行研究
由学生自己小结本节所学知识、方法等。
教师根据学生回答情况作出补充。
（1）作业1主要以培养学习良好的学习习惯为目的。
（2）结合学生实际情况，贯彻面向全体学生，因材施教原则。
作业2要求全体学都能完成。
作业3为选做题，部分学有余力的学生可选做。
在减轻学生的课业负担同时，注重人本思想，以学生的能力发展为重。
也能满足不同层次学生的不同要求。
附：
板书设计与时间大致安排
屏 幕
课题
公式……例题
学生板演
本课时的时间大致安排：
引入课题3分钟左右，探求新知15分钟左右，整理新知2分钟左右，应用新知15分钟左右，公式拓展5分钟左右，小结作业布置约5分钟。
设计说明
本节课的教学设计注重体现以教师为主导、学生为主体，以发展学生为本的思想。
遵循初一学生的心理特点（形象思维大于抽象思维）和认知规律（从特殊到一般）。
结合学生实际学习情况（已较熟练掌握多项式乘法，并且本节之前也已经学习了平方差公式）进行本课设计的。
下面就设计作几点简单说明：
1、完全平方公式的本质是多项式乘法，它的推导方法与平方差公式推导方法是一样的，根据乘方的意义与多项式乘法法则，就可以推导出完全平方公式。
因此在两数和的平方公式推导中，采取先由学生自己计算（a+b）2，然后教师点题的方式，再加上引课时已经由几何图形面积的计算得出的结论（a+b）2=a2+2ab+b2，学生是容易接受的。
在两数差的平方公式推导中，更进一步，由学生自主选择一种模式解决、验证，增加了数学课堂的开放性。
2、充分发挥学生自主学习、探究的能力。
从引入时图形变换的教师启发引导，到公式验证、推导时的学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都突出了学生是探索性学习活动的主体。
在公式拓展中还提出了思考题（a+b）3=？
（a+b）4=？
……（a+b+c）2=？
培养学生严谨的治学态度和钻研探索的精神。
同时让学生明确本节课不仅要学会完全平方公式，更加要学会完全平方公式的推导方法，即授学生以渔，让学生学会学习。
3、在练习设计与作业布置中都体现了分层次教学的要求，让不同层次的学生都能主动的参与并都能得到充分的发展。
同时也遵循了面向全体与因材施教相结合的教学原则。
4、充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如建模思想、数形结合思想、换元思想、化归思想，注重培养学生的发现问题、解决问题的能力、求简意识、应用意识、创新能力等各方面能力。
5、公式（a-b）2=a2-2ab+b2可以作为（a+b）2=a2+2ab+b2的一个应用，这样两个公式便统一为一个公式，这样做有助于学生的记忆和理解，但作为应用，实践表明还是把它们分开来用的好。
因此，教学中在公式（a-b）2=a2-2ab+b2的推导过程就有意识的安排与（a+b）2=a2-2ab+b2统一，但又它与（a+b）2=a2+2ab+b2同等的对待。
最后在小结时，对于两者的联系再加以说明，让学生领会到数学中的辩证统一思想。
教学目标：
1、知识目标：
（1）要掌握尺规作图的方法及一般步骤；
（2）掌握五种基本作图,明确尺规作图的意义。
2、能力目标：
（1）通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；
（2）通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.
3、情感目标：
（1）体验数学语言的简洁严谨。
（2）体会数学作图语言和图形的和谐统一。
教学重点：
熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。
教学难点：
作图语言的准确应用，作图的规范与准确。
教学用具：
直尺，圆规
教学方法：
讲练结合法
教学过程（）：
前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．
1、阅读教材，理解概念
学生阅读教材第一部分，并回答问题：
（1）尺规作图：
在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．
（学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺）
（2）基本作图：
最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．
一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：
练习：
作一条线段等于已知线段
2、讲解例题，熟悉语言
教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。
前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．
1．作一个角等于已知角
分析：
解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。
对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。
已知：
AOB
求作：
使＝AOB
分析：
假设∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如图2，在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．
由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．
作法：
1、作射线 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D
3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于
4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于
5、经过点作射线。
就是所求的角
证明：
连结CD、CD，由作法可知
△COD≌△COD（SSS）
∴ ∠COD=∠COD（全等三角形对应角相等）．
即∠AOB=∠AOB．
说明：
作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．
练习：
如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．
首先要求作图工具——直尺（无刻度）、圆规．
然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？
画出已知条件（一个角），写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．
作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．
让学生写出证明过程．
2．平分已知角
前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？
分析：
如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：
如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：
如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？
用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？
怎样确定点C呢？
不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？
再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？
而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？
已知：
∠AOB如图5
求作：
射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：
（1）在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．
（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．
（3）作射线OC．
OC就是所求的射线．
证明：
连结CD、CE，由作法可知
△ODC≌△OEC
∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等）．
即∠AOC=∠BOC．
小结：
（1）基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．
（2）作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线（作图痕迹）．
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