题型五三角形四边形的证明与计算.docx
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题型五三角形四边形的证明与计算
二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四
有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一
针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0<α<120°）中，1.在△ABCAB=11111.
F两点于D、分别交AC、BC
图②图①
第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（
（1）证明：
EA=FC;211.ED的长（3）在
（2）的情况下，求
2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2.（2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.
（1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由；
（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.
图①图②
第2题图
3.如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF.
1
图①图②图③
第3题图
（1）DE,DF的数量关系；
（2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：
DE=DF；
（3）如图③，若将上面
（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】
针对演练
1.
（1）证明：
∵AB=BC,
∴∠A＝∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC,11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C,AB=BC=AB=BC,1111∴∠A＝∠C,
1在△ABE和△CBF中，12
C?
?
A?
?
1?
BC?
AB，?
1?
BFC?
ABE?
?
?
1（ASA）,
BF∴△ABE≌△C1,
BF∴BE=,BF=BC-∴AB-BE1.
FC即EA=1是菱形，理由如下：
：
四边形BCDA
（2）解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1,BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，（180°-120°）∴∠A＝∠C
2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11,=150°+30°=180°∠ABC+∠A1,
AD∥BCAB∥CD,∴11BCDA是平行四边形，∴四边形1,
AB=BC又∵1.
DA是菱形BC∴四边形1,于点GE作EG⊥AB（3）解：
如解图，过点=30°，）得∠A=∠ABA由（21
1=1,AG=BG=AB∴
2321AG＝中，AE在Rt△AEG==，
3Acos?
cos30题解图第12由（）知AD=AB=2,
32AE=2-∴DE=AD-
3,H交EBDG于点2.解：
（1）如解图①，延长是正方形，ABCD与四边形AEFG∵四边形,AE，AG=DAG=∠BAE=90°，∠∴AD=AB
≌△ABE（SAS），∴△ADGAEB，∴∠AGD=∠=90°，中，∠AGD+∠ADG在△ADG90°，+∠ADG＝∴∠AEB.
BEDGDHE=90°，即⊥∴∠题解图①第2AEFG
（2）∵四边形ABCD与四边形都是正方形，
AG=AEDAB=∠GAE=90°，,∴AD=AB∠G,BA=∠GAE+∠BAG∴∠DAB+∠BAE.
G=∠∴∠DA∠∵，,AG=AD=AB,AEDAG=∠BAE（SAS）,ABE∴△ADG≌△.
DG=BE∴，=AMD∠AMG=90°于点作如解图②，过点AAM⊥DGM，∠的一条对角线，第14题解图③是正方形∵BDABCD.
MDA=45°∴∠AD=45°中，∵∠△在RtAMDMDA，=2，3
2=，=∴DMAM中，Rt△AMG在222,=∵AMAG+GM
2222）-（（22）2AM-AG,
∴GM==6,
∴GM=62,
GM+=∵DG=DM+62题解图②第2∴BE=DG=+.
.
DFDE=3.解：
（1），如解图①，连接CD
（2）,=CA△ABC中，CB∵在,∠CBA∴∠CAB=,∠MAC∵∠MBC=
MBAMAB=∠∴∠.
BM∴AM=的中点，D是边AB∵点上，M在CD∴点，M平分∠FCE∴CCD.
EFCD=∠∴∠第3题解图①，∵ME⊥BC于EMF⊥AC于F,
.
=ME∴MFCME中，在△CMF和△MEMF?
?
?
ECM?
?
?
FCM,?
?
CMCM?
?
（SAS）.CME∴△CMF≌△.
CE∴CF=中，CFD和△CED在△CE?
CF?
?
ECD?
?
FCD?
?
?
CDCD?
?
（SAS）.CFD≌△CED∴△.DE=DF∴.
DE=DF（3）,HE、、DHGF、BM如解图②，作AM的中点G，的中点H,连接DG的中点，∵点D是边AB1.=BMDG∴DG∥BM,
21=,DH.同理可得：
DH∥AMAM
2是BM的中点，EME∵⊥BC于，H1BH=HEBEMRt∴在△中，BM=，
24
HE∴DG=.FG同理可得：
DH=
DH∥AM∵DG∥BM,
∴四边形DHMG是平行四边形，.
∠DHM∴∠DGM=,∠MBCMAC,∠MHE=2∵∠MGF=2∠,∠MAC且∠MBC=MHE，∴∠MGF=∠题解图②第3∠MGF=∠DHM+∠MHE，∴∠DGM+,
DHE∴∠DGF=∠中，DHE与△FGD在△EH?
DG?
?
EHD?
?
DGF?
?
?
FG?
DH?
（SAS）.FGD∴△DHE≌△.DE=DF∴
三角形、四边形的证明与计算题型四
有直角三角形，通常作斜边上的中线类型二
针对演练重A、BE是线段AB上一动点（点E不与AB=AC,∠BAC=90°，点D是斜边BC的中点，点ABC1.在等腰Rt△中，.
连接EF交DEAC于点F,合），连接DE,作DF⊥EF的长；，当E是线段AB的中点时，求线段
（1）如图①，如果BC=42）AF；（AE
（2）如图②，求证：
BC+=的度若存在，求∠EAM=4AM?
，使得AM,在线段AB上是否存在点EBCEF（3）如图③，点M是线段的中点，连接.
数；若不存在，请说明理由
图③图①图②
题图1第
的中点，连接是线段上，点在，点AED=，∠=,=,AED和△2.如图①，在ACB△中ACBCAEDEACB∠=90°EABFBD5
.
FECE、2EF=3的长；，BE=4
（1）若AD，求2;
=
（2）求证：
CEEF，连接AC在同一条直线上（如图②）的一边AE恰好与△ACB的边顺时针旋转，使（3）将图①中的△AED绕点AAED.
2）中的结论是否仍然成立，并说明理由的中点F，并连接EF,问（BD，取BD
图②图①
第2题图答案】【针对演练E1.
（1）解：
∵点D、分别是BC、AB的中点，∴，DE∥AC90°，＝∠BAC=BED＝∠AED∴∠，DE,∠FDE=90°又∵DF⊥,∴∠FDE＝∠AED,
∴ABDF∥的中点，F是AC∴点ABC的中位线，是∴EF△1∴EF＝=2;BC
2,
（2）证明：
如解图①,连接AD
ABC斜边的中点，D是Rt△∵点11=45°，＝∴AD=BCCD,∠EAD=∠BAC
22=∠ADB∠ADC=90°，∵∠C45°，＝,
C∴∠EAD=∠1第，∠,+∵∠ADE∠ADF=90°∠CDF+ADF＝90°题解图①
CDF=∴∠ADE∠CDF中，ADE在△与△C?
EAD?
?
?
?
CDAD?
，?
?
CDF?
?
ADE?
?
（ASA）,≌△∴△ADECDF,
=FCAE∴
222）.
（AEAF++BC（=AC=FCAF）=
∴.AB解（3）：
在线段上存在点=4AMBCE，使得DM，,AD如解图②，连接D,
=∵BC4AM=2A∴AD=2AM,题解图②第1
6
为EF的中点，△△EAF和RtEDF中点M∵在Rt1,=EF∴AM=DM
2,
DM≥AD∵AM+∴2AM≥AD,
.EAM=45°显然只有AM和AD共线时，以上表达式等号才成立，此时∠
2,=3，AE=DE,AD2.
（1）解：
∵∠AED=90°=3,AE=DE∴中，BDE在Rt△∵=4,DE=3,BE=5,
∴BD是线段BD的中点，又∵F1=2.5.BD∴EF＝
2.：
如解图①，连接CF
（2）证明
的中点，=90°点F是BD∵∠BED=∠AED=∠ACB,
FDEF=FB==∴CF,BEF∠ABD=∠∴∠DFE＝∠ABD+∠BEF,,ABDDFE＝2∠∴∠∠CFD＝2CBD同理∠∠CBD）=90°，DFE+∠CFD=2（∠ABD+∴∠即∠CBD=90°2第2题解图①CE=EF.∴.
（3）解：
（2）中的结论仍然成立，G交CB于点,如解图②连接CF，延长EF=90°∠AED，∵∠ACB=,
DE∥BC∴,
∠GBF∴∠EDF=中，EDF在△与△GBF
GBF?
EDF?
?
?
?
BF?
DF,?
?
GFB?
?
?
EFD?
GBF≌△（ASA）∴△EDF,
=AEDE∴EF=GF,BG=2第题解图②,=∵ACBC
CE∴=CG,
=EFCF，=90°∴∠EFC∴△CEF为等腰直角三角形，，45°＝∴∠CEF2.EF=CE∴
7
题型四三角形、四边形的证明与计算
类型三截长补短
针对演练
1.如图，D为△ABC外一点，过D作DE⊥AB交AB延长线于E,过D作DF⊥AC交AC延长线于F，且DE=DF.
（1）求证：
AE=AF;
（2）若∠CAB=60°，∠BDC=60°，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程；
（3）若题中条件“∠CAB=60°”改为∠CAB=α，则∠BDC满足什么条件时，
（2）中结论仍然成立？
并说明理由.
备用图
第1题图
2.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=BC.
（1）如图①，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的长度；
1∠ADC;-+CQ，求证：
∠PBQ=90°=、、（2如图②，点PQ分别在线段ADDC上，满足PQAP
2（3）如图③，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ,则
（2）中的结论是否成立？
若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程.
8
图③图②图①
题图第2
.ABC=∠，点P是三角形外一点，且∠APB3.如图，△ABC中，AB=AC;PB的长PA=2，求）如图①，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，（1;PC的数量关系，并证明,PB,2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA（3PA+PCBAC=120°=，请证明：
PB.
3（）如图③，若∠
图①图②图③
第3题图
9
4.已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE,交AC于点F.
（1）如图①,当点D、B重合时，求证：
EF=BF;
（2）如图②,当点D在线段AB上，且∠DCB=30°时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由;
（3）如图③，在
（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP=60°，交∠DFG的角平分线于点Q，求证：
FD+FG=FQ.
图①图②图③
第4题图
10
答案】【针对演练ADF中，ADE与△1.
（1）证明：
在△FDED?
?
?
?
?
90?
?
AFD?
AED,?
?
AD?
AD?
（SAS）,ADF∴△ADE≌△.
AF∴AE=:
理由如下+CF,猜想:
BC＝BE解
（2）:
7,∠1）得：
∠6=由（,=60°∵∠BAC,
7=30°6=∠∴∠,=60°∠ADF∴∠ADE=,=60°∵∠BDC3,∠∠2=∴∠1=60°-4＝∠，同理∠2DG，FG=BE，连接如解图所示，在AF延长线上取点G，使得
中△∵在△BDE与GDFFD?
ED?
?
90BED?
?
GFD?
?
?
?
?
GFBE?
?
GDF≌△（SAS）,BDE∴△题解图1第，∠∠BD∴=GD,1=5,1=2+5=4+=∴∠GDC∠∠∠∠∠=60°∠ADE=BDCBDC△在与GDC△中，
11
BD?
GD?
?
?
BDC?
?
GDC，?
?
DC?
DC?
∴△BDC≌△GDC（SAS）,
∴BC=CG=CF+FG=CF+BE.
1（180°－α）时，
（2）中结论仍然成立，满足∠（3）解：
∠BDCBDC=
2理由如下：
由
（2）知△BDE≌△GDF（SAS）,
∴BD=GD,∠1=∠5.
又∵BC=CF+BE=CF+FG=CG,
∴在△BDC与△GDC中,
BD?
GD?
?
DC?
DC,?
?
BC?
CG?
∴△BDC≌△GDC（SSS）,
∴∠BDC=∠GDC,
又∵∠GDC=∠4+∠5=∠4+∠1,
∠EDF=180°-∠CAB=180°-α,
1（180°-α）.BDC=∠4+∠1=∴∠
22.
（1）解：
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD＝90°，
∴∠BCD=90°,
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
BD?
BD?
?
AB?
BC?
∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）,
∴AD=CD,
∵AD=2,
∴CD=2.
（2）证明：
如解图①，延长DC，在上面找一点K，使得CK＝AP,连接BK,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠BCK=180°,
∴∠BAD=∠BCK,
在△BPA和△BKC中，
AP?
CK?
?
?
BAP?
?
BCK,?
?
AB?
BC?
∴△BPA≌△BKC（SAS）,
∴∠1＝∠2，BP=BK.
∵PQ=AP+CQ=CK+CQ=KQ,
KQ=∴PQKBQ和△在PBQ△中，12
BP?
BK?
?
BQ?
BQ,?
?
PQ?
KQ?
∴△PBQ≌△KBQ（SSS）,第2题解图①
∴∠PBQ=∠KBQ,
∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ,
1∠ABCPBQ=.∴∠
2∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=180°-∠ADC,
11∠ABC＝90°-∠ADC，∴
221.
ADC-∠∴∠PBQ＝90°
21∠ADC，）中结论不成立，应该是：
∠PBQ=90°+（3）解：
（2
2证明：
如解图②，在CD延长线上找一点K，使得KC＝PA，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BAD+∠PAB=180°,
∴∠PAB=∠KCB,
∴在△BPA和△BKC中，
AP?
CK?
?
?
BAP?
?
BCK，?
?
AB?
BC?
∴△BPA≌△BKC（SAS）,
∴∠ABP=∠CBK,BP=BK,
KQ+CQ=AP+CQ＝CK∵PQ=,
KQPQ=∴中，△KBQ在△PBQ和BK?
BP?
?
BQ?
BQ,?
?
KQ?
PQ?
题解图②第2）≌△∴△PBQKBQ（SSS,
KBQPBQ=∠∴∠,=360°∠ABCPBK=2∠PBQ+∴2∠PBQ+∠,ADC）=360°PBQ+（180°-∠∴2∠1.ADC=90°+∠∴∠PBQ
2,=60°∠BAC=AC,3.
（1）解：
∵AB是等边三角形，∴△ABC,∠ABC∵∠APB=,
=60°APB∴∠的平分线上，恰巧在∠ABCP又∵点,ABP=30°∴∠,=90°∴∠PAB,
=∴BP2AP13
=2,∵AP=4.
∴BP.
=PB:
结论：
PA+PC
（2）解AD，使PD=PA，连接证明：
如解图①，在BP上截取PD,,
APB=60°∵∠ADP是等边三角形，∴△=60°，∴∠DAP,
=AD1=∠2,PA∴∠ACP中，在△ABD与△DAPA?
?
?
2?
1?
?
?
?
ACAB?
?
（SAS）,∴△ABD≌△ACP,
∴PC=DB题解图①第3A∴P+PC=PB.
，于点FAD，过点A作AF⊥BP于点（3）证明：
如解图②，以点A为圆心，以AP的长为半径画弧交BPD，连接,
=APAD∴,BAC=120°∵∠
=30°∴∠ABC,=30°∴∠APB,=120°∴∠DAP2,
∠∴∠1=第3题解图②△在ABD与△ACP中，
ACAB?
?
?
1?
?
2?
，?
?
AP?
AD?
（SAS）,ACP∴△ABD≌△P,CDB=∴,PDAF⊥∵3,A=∴PFP
2,
APAD=∵3,P＝∴PD=2PFA3PB+PC∴=PA,AB=CB：
∵∠4.
（1）证明ABC=90°,,∠ACB=45°∴∠A=,=CDCE∵⊥CD,CE,E=45°∴∠EBC=∠,
=90°BCE∵∠,=45°=∠EBC=45°∴∠ACE=∠E,∠ACB,BF=CF∴EF=CF,.
=BF∴EFCF+.理由如下：
EF2（）解：
=DF，如解图①，点使得GFG=CF上找到在EF,
∠=30°∵∠DCB,ACB=45°14
∴∠ACD=15°,
∴∠CFG=∠CDE+∠ACD=60°,
∵FG=CF,
∴△CFG是等边三角形，
FCG=60°GF,∠∴CG=CF=,＝∠ACD-15°-60°=15°∠ACD-∠FCG=90°∴∠ECG=∠ECD-DCF中，ECG和△在△CF?
CG?
?
DCF?
?
ECG?
，?
?
CD?
CE?
（SAS）,
DCF∴△ECG≌△题解图①第4=∴EGDF,
GFEG+∵EF=.
CFDF+∴EF=如解图②，GH,FH=FG，连接（3）证明：
在FQ上找到H点，使得，平分∠DFG∵FQ,=60°∴∠QFG,
FHFG=∵FGH是等边三角形，∴△,=FH,GH=FG∴∠GHF=∠FGH=60°,CD=60°CDE+∠A∵∠AFD=∠,DFG=120°∴∠GHQ=∠
=60°+∠QGH+∠DGH=60°,∠DGH∵∠FGD,
QGHFGD=∠∴∠中，和△QHG∵在△DFG?
QHG?
120?
DFG?
?
?
?
HGFG?
，?
?
HGQFGH?
?
?
?
4题解图②第≌△QHG（ASA）,F∴△DG,QH∴DF=,FQFH+QH=∵.FQFG+FD=∴
三角形、四边形的证明与计算题型四
类型四构造适宜的三角形或四边形针对演练.
、BEFG均为正方形1.如图，四边形ABCD;CE的数量关系和位置关系并证明、CE，判断AG和
（1）如图①，连接AGEMB,求出∠，CE相交于点M连接MB、，<βBEFG
（2）将正方形绕点B顺时针旋转角（0°β<180°）如图②，连接AG
;
的度数，求在这个旋转过程中线段）<180°<角（顺时针旋转绕点，将正方形，连接BC=2）若（3BE，=6DGBEFGBβ0°β.
DG长度的取值范围15
图②图①
题图第1
2.四边形ACBD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于点M、N，交直线AB于E、F两点.
（1）当点E、F均在边AB上时（如图①），求证：
BM+AN=MN;
（2）当点F、E分别在边BA及其延长线上时（如图②），线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系：
;
（3）在
（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长
图②图①.
题图第2
16
的中点，DE，点P是AD，EF=BE中，∠如图①，在菱形ABCDABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥3.
.
GAD于点连接FP并延长交13AB，求DG=，BE⊥AB，垂足为H，若DH的长；=21（）过D点作DH
4
（2）连接CP，求证：
CP⊥FP;
（3）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，PF的值；若不成立，请说2，那么第（）问的结论成立吗？
若成立，求出的中点，连接FP、CPP连接DE，点为DE
CP.
明理由
图②图①
题图第3
17
4.如图①，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE.
（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长;
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G.
①如图②，若点E是AC边的中点，连接EG，求证：
AG+EG=BE;
②如图③,若点E是AC边上的动点，连接DF.当点E
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