数学人教版八年级下册一次函数与方程不等式函数第2课时教案.docx

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数学人教版八年级下册一次函数与方程不等式函数第2课时教案

19．2.3一次函数与方程、不等式

（2）

教学目标

（一）教学知识点

１．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．毛

２．学会用图象法求解不等式．

3．学会利用函数图象解二元一次方程组．毛

4．通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．

（二）能力训练要求

１．经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．

２．体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．

３．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神．

（三）情感与价值观要求

１．积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲．

２．养成实事求是的态度及独立思考的习惯．

教学重点

１．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系．

２．掌握用图象求解不等式的方法．

3．归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．

教学难点

灵活运用函数知识解决相关实际问题．

教学方法

引导─启发

思考─探究．

教具准备

多媒体演示．

教学过程

（一）一次函数与不等式

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]我们来看下面两个问题有什么关系？

１．解不等式5x+6>3x+10．

２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？

在问题１中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2．

解问题２就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0．因此这两个问题实际上是同一个问题．

那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？

它在函数图象上的表现是什么？

如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

以上这些问题，我们本节将要学到．

Ⅱ．导入新课

[师]我们先观察函数y=2x-4的图象．可以看出：

当x>2时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0．

由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解为x>2．

由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题．

由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．

[活动一]

活动内容设计：

用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．

活动设计意图：

通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时，自变量取值范围的问题间关系，并寻求出解决这一问题的具体方法，灵活运用．

教师活动：

引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其中的共同点．

学生活动：

在教师指导下，顺利完成作图，观察求出答案，并能归纳总结出其特点．

活动过程及结论：

方法一：

原不等式可以化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方．即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为：

x<2．

方法二：

将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10可以看出，它们交点的横坐标为2．当x>2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为：

x<2．

以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．

[师]从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数．一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解．这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．

巩固练习

１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？

①y=-7．②y<2．

２．利用图象解出x：

6x-4<3x+2．

[解]１．

（1）方法一：

作直线y=3x+8的图象．从图象上看出：

y=-7时对应的自变量x取值为-5，即当x=-5时，y=-7．

方法二：

要使y=-7即3x+8=-7，它可变形为3x+15=0．作直线y=3x+15的图象，从图上可看出它与x轴交点横坐标为-5，即x=-5时，3x+15=0．所以x=-5时，y=-7．

（2）方法一：

画出y=3x+8的图象，从图象上可以看出当x<-2时，对应的函数值都小于2．所以自变量x的取值范围是x<-2．

方法二：

要使y<2即3x+8<2，它可变形为3x+6<0，作出直线y=3x+6的图象可以看出它与x轴交点横坐标为-2，只有当x<-2时对应的函数值才小于0．所以自变量x的取值范围是x<-2．

２．方法一：

6x-4<3x+2可变形为：

3x-6<0．作出直线y=3x-6的图象．从图象上可看出：

当x<2时，这条直线上的点都在x轴下方，即y<0，3x-6<0．所以，6x-4<3x+2的解为x<2．

方法二：

作出直线y=6x-4与直线y=3x+2，它们的交点横坐标为2，从图象上可以看出当x<2时，直线y=6x-4在直线y=3x+2的下方，即6x+4<3x+2．所以，6x-4<3x+2的解为x<2．

Ⅲ．随堂练习

１．求当自变量x取值范围为什么时，函数y=2x+6的值满足以下条件？

①y=0；②y>0．

２．利用图象解不等式5x-1>2x+5．

[解]１．①方法一：

y=0即y=2x+6=02x+6=0，解得x=-3．

方法二：

作出直线y=2x+6的图象，从图象上可以看出：

直线y=2x+6与x轴交于（-3，0），即x=-3时，y=2x+6=0．

②方法一：

要使y>0，即y=2x+6>0．

2x+6>0，解得，x>-3．

方法二：

作出直线y=2x+6的图象．从图象上可以看出：

当x>-3时，直线y=2x+6上的点都在x轴的上方，即函数值大于0．所以当x>-3时，y>0．

２．方法一：

5x-1>2x+5可变形为：

3x-6>0，作出直线y=3x-6．由图象上可知直线y=3x-6与x轴交于点（2，0）．当x>2时，直线y=3x-6上的点都在x轴上方，即3x-6>0，所以5x-1>2x-5的解为x>2．

方法二：

分别作出直线y=5x-1与直线y=2x+5的图象．由图象可知：

两直线交点的横坐标为2，当x>2时，直线y=5x-1在直线y=2x+5的上方，即5x-1>2x+5．所以它的解为x>2．

（二）一次函数与二元一次方程（组）

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-

x+

，并且直线y=-

x+

上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．

由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．

那么解二元一次方程组

可否看作求两个一次函数y=-

x+

与y=2x-1图象的交点坐标呢？

如果可以，我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？

我们这节课就来解决这些问题．

Ⅱ．导入新课

[师]我们先来研究刚才那个二元一次方程组，同学们认真思考一下，讨论讨论，发表一下自己的看法，好吗？

[生]我想可以看作求两个一次函数图象交点坐标的问题，因为函数解析式是方程转化而得到的．图象是函数的另一种表示方式，图象交点坐标当然满足方程组了．

[师]很不错，大家不妨试着用图象法解一下这个二元一次方程组，并检验一下是否确实是它的解．

[生]我们已经作了，交点的坐标也确定就是方程组的解．

[师]你能归纳出图象法求解二元一次方程组的具体方法吗．

[生]首先把方程组中的两个方程转化为y=kx+b的形式，再在坐标系中画出两个一次函数的图象，然后从图象上观察交点坐标，写出方程组的解．

[师]很好！

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．

由此可以看出，一次函数与二元一次方程（组）有密切的关系．

[活动一]

活动内容设计：

一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：

方式Ａ以每分钟0．1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？

活动设计意图：

通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．

教师活动：

引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．

学生活动：

在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．

活动过程及结论：

过程一：

设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x元；若按Ｂ方式收费，y=0．05x+20元．

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．

解方程组：

得

所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：

当0

当x=400时，0．1x=0．05x+20，

当x>400时，0．1x>0．05x+20．

因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．

方法二：

设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：

y=（0．05x+20）-0．1x

化简：

y=-0．05x+20．

在直角坐标系中画出函数的图象．

计算出直线y=-0．05x+20与x轴交点为（400，0）．

由图象可知：

当00，即选方式Ａ省钱．

当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．

当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．

由此可得如方法一同样的结论．

[师]通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确求值．

联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．

[活动二]

活动内容设计：

两种移动电话计费方式如下：

全球通

神州行

月租费

50元/月

0

本地通话费

0.40元/分

0.60元/分

用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．

活动设计意图：

经过这一活动，巩固所学知识，熟悉具体问题如何灵活地、有机地把数学模型结合起来使用．

教师活动：

引导学生灵活、有机地运用各种数学模型顺利解决实际问题．

学生活动：

在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．

活动过程及结论：

方法一：

设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；神州行月消费：

y=0．60x元．

在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．

解方程组：

得

所以两图象交于点（250，150）．

由图象可以看出：

当00．60x，

当x=250时0．40x+50=0．60x，

当x>250时0．40x+50<0．60x．

因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．

方法二：

设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：

y=（0．40x+50）-0．60x

化简为：

y=-0．20x+50

在直角坐标系中画出这个函数图象．

计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．

由图象可以看出：

当00，即选神州行省钱．

当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．

当x>250时，y<0，即选全球通省钱．

由此可以得到与方法一相同的结论．

Ⅲ．课时小结

本节课从二元一次方程与一次函数关联谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程（组）的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系，且通过函数观点把它们统一起来，根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用，为我们解决有关实际问题提供了更大的便利．

Ⅳ．课后作业

习题19．2

Ⅴ．活动与探究

某校师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校有5名教师参加这次活动．试根据参加夏令营学生人数，选择购票付款的最佳方案．

[解]设参加夏令营活动的学生有x人，每张车票原价为1单位．第一种付款为y1元，第二种付款为y2元，则：

y1=5+0．78x，y2=（x+5）·80%=0．8x+4．

在直角坐标系中分别画出两个函数图象．

解方程组

得

所以两图象交于点（50，44）．

由图象易知：

当x<50时，5+0．78x>0．8x+4，y1>y2，即选第二种方案付款少．

当x=50时，5+0．78x=0．8x+4，y1=y2，即选两种方案没有区别．

当x>50时，5+0．78x<0．8x+4，y1