初一数学最新教案七年级下册数学不等式与不等式组2 精品文档格式.docx
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3.用数轴表示不等式注意什么？
用数轴表示不等式要注意两点：
一是边界；
二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；
方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.
在同一个数轴上表示下列两个不等式：
x＞-3；
x≤2.
第三节、错题剖析
一、去括号时，错用乘法分配律
【例1】解不等式
3x+2（2-4x）<
19.
错解:
去括号，得
3x+4-4x<
19，解得x>
-15.
诊断:
错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.
正解:
3x+4-8x<
19，
-5x<
15，所以x>
-3.
二、去括号时，忽视括号前的负号
【例2】解不等式
5x-3（2x-1）>
-6.
5x-6x-3>
-6，解得x<
3.
诊断：
去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.
5x-6x+3>
-6，
所以-x>
-9，所以x<
9.
三、移项时，不改变符号
【例3】解不等式
4x-5<
2x-9.
错解:
移项，得
4x+2x<
-9-5，
即6x<
-14，所以
一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.
4x-2x<
-9+5，
解得2x<
-4，所以x<
-2.
四、去分母时，忽视分数线的括号作用
【例4】解不等式
去分母，得
6x-2x-5>
14，解得
诊断:
去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.
正解:
6x-（2x-5）>
14，
6x-2x+5>
五、不等式两边同除以负数，不改变方向
【例5】 解不等式
3x－6＜1+7x.
错解：
3x－7x＜1+6，
即－4x＜7，所以
诊断：
将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：
不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.
正解：
移项，得
3x－7x<
1+6，
即－4x＜7，
所以x＞
【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.
错解及分析：
x2+a<
0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.
x2+a≤0.
【例7】求不等式
的非负整数解.
整理得，3x≤16，所以
故其非负整数解是1，2，3，4，5.
本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解.
整理得，3x≤16，所以
故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.
【例8】解不等式3-5（
x-2）-4（-1+5x）<
0.
去括号，得3-x-2-4+5x<
0，即4x<
3，所以
本题一是去括号后各项没有改变符号；
二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.
去括号得3-x+10+4-20x<
0，
即-21x<
-17，所以
【例9】解不等式7x-6<
4x-9.
移项，得
7x+4x<
-9-6，
即11x<
-15，所以
一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号.
移项，得7x-4x<
-9+6，
即3x<
-3，所以x<
-1.
【例10】解不等式
去分母，得
3+2（2-3x）≤5（1+x）.
即11x≥2，所以
错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.
30+2（2-3x）≤5（1+x）.
即11x≥29，所以
【例11】解不等式6x-6≤1+7x.
移项，得6x-7x≤1+6.
即-x≤7，所以x<
-7.
将不等式-x≤7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解.
移项，得6x-7x<
1+6.
即-x≤7，所以x≥-7.
【例12】解关于x的不等式m（x-2）>
x-2.
化简，得（m-1）x>
2（m-1），所以x>
2.
错解默认为m-1>
0，实际上m-1还可能小于或等于0.
2（m-1），
①当m-1>
0时，x>
2；
②当m-1<
0时，x<
③当m-1=0时，无解.
【例13】解不等式（a－1）x＞3.
错解：
系数化为1，得x＞
.
此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.
①当a－1＞0时，x＞
；
②当a＝1时，0×
x＞3，不等式无解；
③当a－1＜0时，x＜
【例14】不等式组
的解集为
.
两个不等式相加，得x-1＜0，所以x＜1.
这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解
解不等式组，得
在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，
所以不等式组的解集为：
0＜x＜
【例15】解不等式组
因为5x-3＞4x+2，且4x+2＞3x-2，
所以5x-3＞3x-2.
移项，得5x-3x＞-2+3.
解得x＞
上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x＞
的条件下，任取一个x的值，看是否满足不等式组.如取x＝1，将它代入5x-3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知x＞
不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.
由5x-3＞4x+2，得x＞5.
由4x+2＞3x-2，得x＞－4.
综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.
【例16】解不等式组
由不等式2x＋3<
7可得x<
由不等式5x-6>
9可得x>
所以原不等式组的解集为2>
x>
由不等式性质可得，2>
3，这是不可能的.
所以原不等式组无解.
【例17】解不等式
去分母，得3－4x－1＞9x.移项，得－4x－9x＞1－3合并，得－13x＞－2系数化为1，得
本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.
去分母，得3－（4x－1）＞9x去括号，得3－4x+1＞9x.移项，得－4x－9x＞-1－3合并，得－13x＞－4系数化为1，得
【例18】若不等式组
的解集为x>
2，则a的取值范围是（
）.
A.a<
2
B.a≤2
C.a>
D.a≥2
原不等式组可分为
得a<
2，故选A.
当a=2时，原不等式组变为
解集也为x>
应为a≤2，故选B.
【例19】解不等式组
②－①，得不等式组的解集为x<
-13.
错解中把方程组的解法套用到不等式组中.
由不等式2x<
7+x得到x<
7.
由不等式3x<
x-6得到x<
所以原不等式组的解集为x<
第四节、思维点拨
一、巧用乘法
【例1】解不等式0.125x＜3．
【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以0.125，就可以化系数为“1”，但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷．
解：
两边同乘以8，得x＜24．
二、巧去分母
【思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现
，可先进行移项.
解：
合并同类项，得x≥-1.
【例3】解不等式
【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×
4＝1，0.5×
2＝1”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2，这样就可以化去分母并且系数为整数.
利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2），得8x+4-2（x－2）≤2，
去括号，得8x+4-2x+4≤2，
移项，合并同类项，得
6x≤-6两边同时除以6得
x≤-1.
三、根据已知条件取特殊值
【例4】设a、b是不相等的任意正数，又x＝
，则x、y这两个数一定是（
）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个大于2
D．至少有一个小于2
【思考与分析】不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝
从而排除A、B，再取a＝3，b＝4，得
，从而排除D，故选C.
答案：
C．
【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案．
四、根据数轴取特殊值
【例5】不等式组
的解集在数轴上表示出来是如下图中的（
【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组，然后再对照各选项选出正确答案，由于这样做要解不等式组，比较麻烦.仔细观察各选项中的数轴，有两个特殊数2，-1，不妨先取x＝2，代入
不成立，故可排除A、B.再取x＝0，代入
不成立，又可排除C，从而选D，这样做不仅节省了时间，而且又减少了出错的机会﹒
Ｄ．
【反思】用特殊值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案﹒
比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：
如果a－b>
0，则a>
b；
如果a－b<
0，则a<
b.
运用求差法比较大小的一般步骤是：
（1）作差；
（2）判断差的符号；
（3）确定大小.
【例6】设x>
y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？
【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>
y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.
由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.
因为x>
y，所以10x>
10y，即10x-10y>
所以-（8-10x）>
－（8-10y）.
又由题意得-（8-10x）>
0，即x>
，所以x最小的正整数值为1.
【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：
若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；
而光明旅行社则规定：
三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？
【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.
设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意
东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，
光明旅行社的收费为3a×
80％＝2.4a.
因为2.7a－2.4a＝0.3a>
所以实际上光明旅行社的收费较低.
【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？
因为如果不设的话，我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手.
五、巧去括号
【例8】
【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.
去中括号，得
去分母，得3x+60＜28+8x，移项，合并同类项，得-5x＜-32，
【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.
解：
去小括号，得
六、巧用“整体思想”
【例9】解不等式：
【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：
2x-1，我们把2x－1视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷．
3（2x-1）-9（2x-1）-9＜5．
合并同类项得
-6×
（2x-1）＜14．
解得
反思：
我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便.
【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛（即每个队需同其他三个队各赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？
【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.
（1）若某一队三战全胜积9分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的两场比赛中，它有六种可能：
两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分.（三场比赛，肯定有一场负）因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线；
（2）若某一队三战两胜一平积7分，则小组第二至少要两胜积6分才能出线；
（3）若某一队三战两胜一负积6分，则其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积6分，不能确保小组出线.
由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.
需7分.
【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：
在足球比赛中，一般按积分多少排名次；
积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；
积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；
分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系.
第五节、竞赛数学
【例1】满足
的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于
【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.
原不等式去分母，得
3（2＋x）≥2（2x－1），
去括号，移项，合并同类项，得
－x≥－8，即x≤8.
满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±
1，±
2，±
3，±
4，±
5，±
6，±
7，±
8，－9，－10，－11.
这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.
【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程
的解，那么（
【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.
关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为
关于x的方程
的解为
由题意得
，解得
.因此选D.
【例3】如果
，2+c>
2，那么（
A.a-c>
a+c
B.c-a>
c+a
C.ac>
-ac
D.3a>
2a
【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.
解:
由
所以a<
由2+c>
2，得c>
0，则有－c<
c.
两边都加上a，得a-c<
a+c，排除A；
由a<
0，c>
0，得ac<
0，－ac>
0，从而ac<
-ac，排除C；
0，两边都加上2a，得3a<
2a，排除D.
答案应该选B，事实上，由a<
0，得－a>
0，从而－a>
a，两边同时加上c，可得c－a>
c＋a.
【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式
，这四个数中最大数与最小数的平方差等于
【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.
设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.
<
解得7<
m<
由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点．
一个实数a的绝对值记作∣a∣，指的是由a所惟一确定的非负实数：
含绝对值的不等式的性质：
（1）∣a∣≥∣b∣
b≤|a|或b≥-|a|，
∣a∣≤∣b∣
∣b∣≤a≤∣b∣；
（2）∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣；
（3）∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：
（1）当当x≤
时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，
解得x<
-7，结合x≤
，故x<
-7是原不等式的解；
（2）当
＜x≤5时，原不等式化为
-（x-5）-（2x+3）＜1，
是原不等式的解；
（3）当x＞5时，原不等式化为：
x-5-（2x+3）＜1，
解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
综合
（1），
（2），（3）可知，
是原不等式的解．
第六节、本章训练
基础训练题
1.不等式x＋3＜6的非负整数解为（
A.1，2
B.1，2，3
C.1，2，0
D.1，2，3，0
2.已知三个连续奇数的和不超过27且大于10，这样的数组共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.
的值不小于－2，则a的取值范围是（
4.若
＋2x的值不大于8－
的值，那么x的正整数解是
5.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，还可以买多少根火腿肠？
6.小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5厘米是他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么？
答案
1.C
2.B
3.C
4.1，2，3
5.解：
设还可以买x根火腿肠.
由题意我们可列不等式5×
3＋2x≤26，
解得
因为x必须为正整数，所以x＝1，2，3，4，5.
答：
小明还可以买火腿肠的数目不超过5根.
6.解：
17＜x＜18.
提高训练题
1.解不等式
2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x，且三次的平均分不低于85分，求x的取值范围.
3.小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数不少于5件，路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：
准备400元，准备500元，准备510元，准备610元.请你说明哪种方案可行？
4.某商城以单价260元购进一批DVD机，出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售，但要保证利润不低于10％.
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