人教版初中数学七年级下册《第九章不等式与不等式组》全章教学设计.docx

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人教版初中数学七年级下册《第九章不等式与不等式组》全章教学设计

第九章不等式与不等式组

教材内容

本章的主要内容包括一元一次不等式组及其相关概念不等式的性质一元一次不等式组的解法及解集的几何表示利用一元一次不等式分析解决实际问题

教材以实际问题为例引出不等式及其解集的概念然后类比一元一次方程引出一元一次不等式的概念为进一步讨论不等式的解法接着讨论了不等式的性质并运用它们解简单的不等式在此基础上教材从一个选择购物商店问题入手对列解一元一次不等式作了进一步的讨论并归纳一元一次不等式与一元一次方程的异同及应注意的问题最后结合三角形三条边的大小关系引进了一元一次不等式组及其解集并讨论了一元一次不等式组的解法

教学目标

〔知识与技能〕1了解一元一次不等式组及其相关概念2理解不等式的性质3掌握一元一次不等式组的解法并会在数轴上表示解集4学会应用一元一次不等式组解决有关的实际问题

〔过程与方法〕1通过观察对比和归纳探索不等式的性质在利用它解一元一次不等式组的过程中体会其中蕴涵的化归思想2经历把实际问题抽象为一元一次不等式的过程体会一元一次不等式组是刻画现实世界中不等关糸的一种有效的数学模型

〔情感态度与价值观〕1通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法树立辩证唯物主义的思想方法2在利用一元一次不等式组解决问题的过程中感受数学的应用价值提高分析问题解决问题的能力

重点难点

一元一次不等式组的解法及应用是重点一元一次不等式组的解集和应用一元一次不等式组解决实际问题是难点

课时分配

91不等式4课时

92实际问题与一元一次不等式3课时

93一元一次不等式组2课时

本章小结2课时

911不等式及其解集

[教学目标]1知识与技能感知生活中的不等式关系了解不等式的意义初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一理解不等式的解与解集的意义了解不等式解集的数轴表示

2过程与方法经历由具体实例建立不等式模型的过程进一步发展学生的符号感与数学化能力通过闲事情境学会建模感受同类之间的大小比较方法在问题解决中发展学生归纳猜想的能力

3情感态度与价值观进一步培养学生的数学思维和参与数学活动的自信心合作交流意识培养学生对问题实质的认识与理解以及感知事物变化规律的重要模型和最优化思想

[重点难点]不等式一元一次不等式不等式的解解集的概念是重点不等式解集的理解与表示是难点

[教学方法]本节课采用生动探索引导发现讲评点拨的教学方法

[教学准备]投影仪刻度尺

[教学过程]

一情景导入[投影1]

一辆匀速行驶的汽车在1120时距离A地50千米要在1200以前驶过A地车速应该具备什么条件

题目中有等量关系吗

没有

那是什么关系呢

从时间上看汽车要在1200之前驶过A地则以这个速度行驶50千米所用的时间不到23小时即汽车驶过A地的时间小于23小时

从路程上看汽车要在1200之前驶过A地则以这个速度行驶23小时的路程要超过50千米即汽车23小时走的路程大于50千米

这些是不等关系

二不等式的概念

若设车速为每小时x千米你能用一个式子表示上面的关系吗

50x＜23①或23x＞5②

像①②这样用或号表示大小关系的式子是不等式

我们还见过像a2≠a这样用≠号表示的式子也是不等式

≠叫做不等号不等号也可以写成≤≥的形式

总之用不等号连接起来的式子叫做不等式

思考1下列式子中哪些是不等式[投影2]

1a＋bba2－3＞－53x≠l

4x十3652mn62x-3

我们看到有些不等式不含未知数有些不等式含有未知数

类似于一元一次方程含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式

注意像①中分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式这一点与一元一次方程类似

三不等式的解和解集

思考2[投影3]判断下列数中哪些能使不等式23x50成立

767379807497519060

76798075190能使不等式23x50成立

我们把能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解

我们看到不等式的解不是一个你还能找出这个不等式的其他解吗它的解到底有多少个

如7781101等等所有大于75的数都是这个不等式的解它的解有无数个

一般地一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集如所有大于75的数组成不等式23x50的解集写作x75这个解集可以用数轴来表示

求不等式的解集的过程叫做解不等式．

四例题

例[投影4]在数轴上表示下列不等式的解集

1x-12x≥-13x-14x≤-1

解

注意1实心点表示包括这个点空心点表示不包括这个点2步骤画数轴定界点走方向

五课堂练习

课本123面123题

六课堂小结

1什么是不等式什么是一元一次不等式

2什么是不等式的解什么是不等式的解集

3怎样表示不等式的解集

七作业

课本128面1238

912不等式的性质1

[教学目标]1知识与技能理解不等式的性质

2过程与方法通过类比等式的性质探索不等的性质体会不等式与等式的异同初步掌握类比的思想方法

3情感态度与价值观认识通过观察实验类比可以获得数学结论体验数学活动充满着探索性和创造性

[重点难点]不等式的性质是重点运用不等式的性质进行判断是难点

[教学方法]本节课采用类比实验交流的教学方法让学生在充分讨论交流中掌握不等式的性质

[教学准备]投影仪

[教学过程]

一问题导入

对于比较简单的不等式我们可以直接想出它们的解集但是对于比较复杂的不等式要直接想出解集来就困难了因些有必要讨论怎样解不等式

和学习一元一次方程先讨论等式的性质一样我们先来探索不等式有什么性质

二不等式的性质

做一做用填空[投影1]请

15352325-23-2

2-13-1232-1-33-3

3626×52×56×-52×-5

4-23-2×63×6-2×-63×-6

观察12类比等式的性质你发现了什么规律

性质1不等式两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变

即如果a＞b那么a±c＞b±c

观察3类比等式的性质你发现了什么规律

性质2不等式两边乘或除以同一个正数不等号的方向不变

即如果a＞bc＞0那么ac＞bc或ac＞bc

观察4类比等式的性质你发现了什么规律

性质3不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变

即如果a＞bc＜0那么ac＜bc或ac＜bc

思考①比较上面的性质2与性质3看看它们有什么区别

性质2的两边乘或除的是一个正数不等号的方向没有变而性质3的两边乘或除的是一个负数不等号的方向改变了

②比较等式的性质与不等式的性质它们有什么异同

等式的性质与不等式的性质12除了一个说等式仍然成立一个说不等号方向不变的说法不同外其余都一样而不等式的性质3说不等号方向改变这与等式的性质说法不同

三例题

例1[投影2]利用不等式的性质填

1若ab则2a2b

2若-2y10则y-5

3若abc0则ac-1bc-1

4若abc0则ac1bc1

分析不等式的两边发生了怎样的变化填或的依据是什么

解1234

课堂练习

1判断正误[投影3]

1∵ab∴a－bb－b

2∵ab∴a3＜b3

3∵ab∴－2a－2b

4∵－2a0∴a＜0

2根据下列已知条件说出a与b的不等关系并说明依据不等式哪一条性质[投影4]

1a－3b－32a3＜b3

3－4a－4b41-12a＜1-12b

3填空[投影5]

1∵2a3a∴a是数

2∵a3＜a2∴a是数

3∵ax1∴a是数

五课堂小结不等式的三个基本性质是什么如何用数学式子表示

六作业

课本128面457

912不等式的性质二

[教学目标]1知识与技能会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示出解集

2过程与方法在类比中得到一元一次不等式的解法充分应用数轴这个直观工具来理解一元一次不等式的解集

3情感态度与价值观培养学生的数感渗透数形结合的思想

[重点难点]一元一次不等式的解法是重点不等式性质3在解不等式中的运用是难点

[教学方法]本节课采用活动探究交流建够的教学方法

[教学准备]投影仪刻度尺

[教学过程]

一复习导入

[投影1]不等式的性质有哪些不等式的性质与等式的性质有什么不同

和利用等式的性质可以解方程一样利用不等式的性质可以解不等式

二不等式的解法

例1解下列不等式并在数轴上表示解集[投影2]

1x－7＞2623x2x＋1

323x≥504-4x≤3

分析解不等式最终要变成什么形式呢

就是要使不等式逐步化为x＞a或xa的形式

解1x－7＞26

根据等式的性质1得x－77＞267

∴x＞33

23x2x＋1

根据等式的性质1得3x-2x2x＋1-2x

∴x1

323x≥50

根据等式的性质2得x≥50×32

∴x≥75

4-4x≤3

根据等式的性质3得x≤-34

注意运用不等式的性质1实际上是方程中的移项

例2解不等式12x-1≤232x1[投影3]

分析我们知道解不等式的依据是不等式的性质而不等式的性质与等式的性质类似因此解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同

解去分母得3x-6≤42x1

去括号得3x-6≤8x4

移项得3x-8x≤46

合并得-5x≤10

系数化为1得x≥-2

归纳解一元一次不等式的步骤1去分母2去括号3移项4合并同类项5糸数化为1

四课堂练习

课本127面练习1题134面练习1题

五课堂小结提问

1本节课你的收获是什么

2怎样解不等式

六作业

课本134面1题

912不等式的性质三

[教学目标]1知识与技能运用不等式解决有关的问题初步认识一元一次不等式的应用价值

2过程与方法经历由具体实例建立不等式模型的过程进一步发展学生的符号感与数学能力

3情感态度与价值观开展研究性学习使学生初步体会学习不等式基本性质的价值发展学生分析解决问题的能力

[重点难点]不等式的运用是重点寻找不等关系是难点

[教学方法]本节课采用师生互动生生互动的教学方法

[教学准备]投影仪刻度尺

[教学过程]

一复习新课

上节课我们学习了不等式的解法请问解不等式的依据是什么解不等式的步骤是什么

有很多问题与不等式相联系需要运用不等式来解决

二不等式的初步应用

例1[投影1]三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系

分析三角形任意两边之和与第三边有着怎样的大小关系

解设abc为任意一个三角形的三条边的长则

ab＞cbc＞aca＞b

移项得

a＞c-bb＞a-cc＞b-a

上面的式子说明了什么

三角形中任意两边之差小于第三边

归纳三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边

例2[投影2]已知x3-2a是不等式15x-3＜x-35的解求a的取值范围

分析由不等式解的意义你能知道什么

解依题意得

15[3-2a-3]＜3-2a-35

15·-2a＜125-2a

-2a＜12-10a

8a＜12

∴a＜32

例3[投影3]某长方体形状的容器长5cm宽3cm高10cm容器内原有水的高度为3cm现准备继续向它注水．用V单位cm3表示新注入水的体积写出V的取值范围

分析新注入水的体积应满足什么条件

新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的体积

解依题意得

V3×5×3≤3×5×10

∴V≤105

思考这是问题的答案吗为什么

不是因为新注入水的体积不能是负数所以V≥0

∴0≤V≤105

在数轴上表示为

注意解答实际问题时一定要考虑问题的实际意义

三课堂练习

1课本127面练习2

2补充题[投影4]小华准备用21元钱买笔和笔记本已知每支笔3元每本笔记本22元她买了2本笔记本请问她最多还能买几支笔

四作业

课本134面23128面9129面10

92实际问题与一元一次不等式一

[教学目标]1知识与技能学会从实际问题中抽象出不等式模型会用一元一次不等式解决实际问题

2过程与方法经历建立不等式模型的过程之后同样关注其求解过程解的准确性合理性

3情感态度与价值观鼓励学生自主探索与合作交流关注学生多角度的思考发展思维策略体会不等式在实际生活中的应用价值

[重点难点]用一元一次不等式解决实际问题是重点找不等关系是难点

[教学方法]本节课采用师生交流共同探讨的教学方法

[教学准备]投影仪

[教学过程]

一导入新课

我们知道在生产和生活中存在大量的等量关系与此同时我们也看到在生产和生活中存在着大量的不等关系解决这些问题用不等式比较方便

二例题

例1[投影1]某次知识竞赛共有20道题每一题答对得10分答错或不答都扣5分小明得分要超过90分他至少要答对多少道题

分析超过90分是什么意思本题的不等关系是什么

超过90分就是大于90分不等关系是答对的得分-答错或不答的扣分＞90

解设小明答对x道题则他答错或不答的题数为20-x根据他的得分要超过90得

10x-520-x＞90

10x-1005x＞90

15x＞90

∴x＞383

思考这是本题的答案吗为什么

这不是本题的答案因为x是正整数且不能大于20所以小明至少要答对13题

例2[投影2]20XX年北京空气质量良好二级以上的天数与全年天数之比达到55如果到20XX年这样的比值要超过70那么20XX年空气质量良好的天数要比20XX年至少增加多少

分析20XX年北京空气质量良好的天数是多少用x表示20XX年增加的空气质量良好的天数则20XX年北京空气质量良好的天数是多少本题的不等关系是什么

20XX年北京空气质量良好的天数是365×5520XX年北京空气质量良好的天数是x365×55不等关系是20XX年北京空气质量良好的天数÷366＞70

解设20XX年北京空气质量良好的天数比20XX年增加x天依题意得

x365×55366＞70

去分母得

x2005＞2562

移项合并同类项得x＞5545

思考这是本题的答案吗为什么本题的答案是什么

不是因为x为正整数

∴x≥56

答20XX年北京空气质量良好的天数至少比20XX年增加56天

注意用不等式解应用问题时要考虑问题的实际意义例1与例2中的未知数都应是正整数

三课堂练习

课本134练习23

四课堂小结

用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题然后通过解决数学问题来解决实际问题

五作业

课本134面313129面12135面57题

92实际问题与一元一次不等式二

[教学目标]1知识与技能会从实际问题中抽象出不等式模型进一步学会用一元一次不等式解决实际问题

2过程与方法经历建立不等式模型的过程之后同样关注其求解过程解的准确性合理性

3情感态度与价值观关注学生在建立不等式模型过程中的表现体会利用建立不等式的实质不等式模型的实际价值

[重点难点]用一元一次不等式解决实际问题是重点找不等关系是难点

[教学方法]本节课采用师生交流共同探讨的教学方法

[教学准备]投影仪

[教学过程]

一导入新课

上节课我们讨论了用不等式解决实际问题这节课我们继续讨论这个问题

二例题

例[投影1]甲乙两个商场以同样的价格出售同样的商品同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是累计购买100元商品后再买的商品按原价的90％收费乙商场则是累计购买50元商品后再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠

分析由于甲商场优惠措施的起点为购物100元乙商场优惠措施的起点为购物50元起点数额不同因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑

分三种情况考虑①累计购物不超过50元②累计购物超过50元但不超过100元③累计购物超过100元

1如果累计购物不超过50元则在两店购物花费有区别吗为什么

没有区别因为两家商店都没有优惠

2如果累计购物超过50元但不超过100元则在哪家商店购物花费小为什么

在乙商店购物花费小因为乙商店有优惠而甲商店没有优惠

3如果累计购物超过100元那么在哪家商店购物花费小

因为两家商店都有优惠所以要分三种情况考虑

设累计购物x元x＞100则在甲商店购物花费多少元在乙商店购物花费多少元

在甲商店购物花费10009x-100元

在乙商店购物花费50095x-50

若在甲商场购物花费小则

50095x-50＞10009x-100

解之得x＞150

若在乙商场购物花费小则

50095x-50＜10009x-100

解之得x＜150

③若在两家商场购物花费相同

50095x-5010009x-100

解之得x150

答如果累计购物不超过50元则在两店购物花费一样多如果累计购物超过50元但不超过100元则在乙商店购物花费小若累计购物多于150元在甲商场购物花费小若累计购物等于150元在两商场购物花费一样多若累计购物多于100元少于150元在乙商场购物花费小

注意问题比较复杂时要考虑分类解答分类要做到不重不漏

三课堂练习

[投影2]某校两名教师拟带若干名学生去旅游联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈甲公司的优惠条件是一名教师全额收费其余师生按75折收费乙公司的优惠条件是全体师生都按8折收费．若设标价为a元那么哪个公司更优惠

四课堂小结

1列不等式解应用题与列方程解应用题的步骤相同所不同的是前者是不等关系列出的是不等式后者相等关系列出的是方程

2列不等式解应用题的关键是找出不等关系找不等关系要抓住像大于不小于超过不足至少等等表示不等关系的词语

作业

课本134面324135面689题

93一元一次不等式组一

[教学目标]1知识与技能了解一元一次不等式组的概念理解一元一次不等式组解集的意义掌握一元一次不等式组的解法

2过程与方法经历通过具体问题抽象出不等式组的过程感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法

3情感态度与价值观能参与数学活动提高合作交流的意识建立思考认识知识发展的价值

[重点难点]一元一次不等式组的解法是重点一元一次不等式组的解集的表示是难点

[教学方法]学生活动与探究为主教师点拨

[教学准备]投影仪刻度尺

[教学过程]

一情景导入

看下面的问题[投影1]

现有两根木条a和ba长10cmb长3cm如果再找一根木条c用这三根木条钉成一个三角形木框那么对木条c的长度有什么要求

根据三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边可知

c＞10-3且c＜103

这就是说第三边c要满足两个不等关系那么c的长度究竟在什么范围呢今天我们就来解决这个问题

二一元一次不等式组的概念和解集

把几个一元一次不等式合起来组成一个一元一次不等式组记作

类比方程组的解我们把几个不等式组的解集的公共部分叫做不等式组的解集

解不等式就是求它的解集

我们可以利用数轴确定不等式组的解集

1

2

3

4

上面的表示可以用口诀来概括大大取大小小取小大小小大中间找大大小小不用找

前面不等式组的解集是7＜x＜13

注意如果不等号中带有等号空心圆就要变成实心圆

三解不等式组

例解下列不等式组[投影2]

12

分析你认为解不等式组应该分哪些步骤①求出各个不等式的解集②找出各个不等式的解集的公共部分利用数轴即解集．

解1由1得x＞2

由2得x＞3

∴x＞3

2由1得x＞8

由2得2x5-3＜6-3x

x＜45

∴原不等式无解

四课堂练习

课本140面练习1

五课堂小结

1一元一次不等式组的概念和解集

2不等式解集的表示

3解不等式组

六作业

课本141面12

93一元一次不等式组二

〔教学目标〕1知识与技能进一步熟练一元一次不等式组的解法会用一元一次不等式组解决有关的实际问题

2过程与方法使学生经历利用不等式组解实际问题的建模过程掌握分析问题和解决问题的方法

3情感态度与价值观能积极主动地参与讨论在建模中感受数学知识在现实世界中的应用价值

〔重点难点〕用一元一次不等式组解决有关的实际问题是重点正确分析实际问题中的不等关系是难点

[教学方法]本节课采用师生互动合作交流的教学方法

[教学准备]投影仪

〔教学过程〕

一导入新课

前面我们用一元一次不等式解决了一些满足一个不等关系的实际问题事实上有很多问题满足两个不等关系这就要用到一元一次不等式组下面我们就利用一元一次不等式组解决有关的实际问题

二例题

例1[投影1]3个小组计划在10天内生产500件产品每天产量相同按原先的生产速度不能完成任务如果每个小组每天比原先多生产1件产品就能提前完成任务每个小组原先每天生产多少件产品

分析不能完成任务的数量含义是什么提前完成任务的数量含义是什么

解设每个小组原先每天生产件x产品依题意得

由1得x＜

由2得x＞

不等式的解集为

思考到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗为什么

每个小组原先每天生产16件产品因为产品的数量是整数所以

x＝16

答每个小组原先每天生产16件产品

例2[投影2]将若干只鸡放入若干个笼若每4个放一笼则有1只鸡无笼可放若每5个放一笼则有1笼无鸡可放那么至少有多少只鸡多少个笼

分析鸡的数量怎么求

4×笼的数量＋1

你怎样理解有一笼无鸡可放

除去无鸡可放的一笼剩下的最后一笼可能不足5只鸡也可能恰好有5只鸡

由此可以得到不等关系

5×笼的数量－2＜4×笼的数量＋1≤5×笼的数量－1

解设有y个笼根据题意得

5y-24y1≤5y-1

即

解之得6≤y11

思考笼的个数y应满足什么条件

y是整数且取范围内的最小值

∴y＝6

4y＋1＝4×6＋＝25

答至少有25只鸡6个笼

三课堂练习

课本140面2题

四课堂小结

1列一元一次不等式组解应用题与列一元一次不等式解应用题的思想和步骤是一样的不同的是前者列出的是两个不等式而后者列出的是一个不等式

2列不等式组解应用题的关键是找出不等关系有时题目中含有大于不小于超过不足至少等等表示不等关系的词语有时却没有这样的词语这时我们就要抓住具有不等意义的句子加以分析上面的两例就是这样要细心地体会

作业

课本142面8141面45

第九章小结

一知识结构

二回顾与思考

1什么是不等式什么是一元一次不等式什么是一元一次不等式组

2一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有什么异同什么是一元一次不等式的解集

3什么是一元一次不等式组的解集怎样解一元一次不等式组

4运用不等式解决实际问题与运用一元一次方程解决实际问题有什么异同

三例题导引

例1若不等式组无解求a的取值范围

例2已知方程组的解是正数求m的取值范围

例3某校准备组织290名学生进行野外考察活动行李共有100件学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆经了解甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李

1设租用甲种汽车x辆请你帮助学校设计所有可能的租车方案

2如果甲乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元1800元请你选择最省钱的一种方案

四练习提高

课本148面复习题91－57810题

第九章复习二92－93

一双基回顾

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