电磁场第二讲.docx

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电磁场第二讲

第二讲：

向量分析与场论（II）

例6、某一向量场，其空间函数关系为E（x,y,z）=（xi+yj+zk）／（x2+y2+z2）3/2，如图15，试求该向量场沿空间任一路径由P1（x1,y1,z1）点到P2（x2,y2,z2）点场的路径积分

解：

路径积分微元就是指在给定的路径上任意点处的线元与该点的场向量的点积。

在本例中，在如图路径上为，在P（x,y,z）处路径积分微元表示为

E（x,y,z）dl（3.3）

路径积分是指从路径起点到末点，把路径剖分为无数个线元，这样就构成了无数个路径积分微元，把这无数个路径积分微元相加，所得结果即为整个路径上的路径积分，表示为

p1p2E（x,y,z）dl（3.4）

代入具体表达为

p1p2E（x,y,z）dl=p1p2（xi+yj+zk）／（x2+y2+z2）3/2（dxi+dyj+dzk）=p1p2（xdx+ydy+zdz）／（x2+y2+z2）3/2

=½p1p2（dx2+dy2+zdz2）／（x2+y2+z2）3/2=½p1p2d（x2+y2+z2）／（x2+y2+z2）3/2=½（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）d（x2+y2+z2）／（x2+y2+z2）3/2

=½（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）1/（3/2-1）d（x2+y2+z2）-3/2+1=-（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）d（x2+y2+z2）-1/=（x12+y12+z12）-1/2-（x22+y22+z22）-1/2

=1/r1–1/r2（3.5）

讨论：

1）由（3.4）式可见，E（x,y,z）场的路径积分和路径无关，也即假设由P1（x1,y1,z1）点到P2（x2,y2,z2）点引两条不同的路径，在路径积分过程中，虽处处场和线元不同，但是整体积分完全相同，也即积分只和起始点P1和终点P2位置有关，是位置的函数。

若E（x,y,z）场看作电场，则路径积分可以看作单位电荷在电场力的作用下沿路径的位移移动电场力所做的功，不同路径积分相同，便是“异曲同工”。

在这里E（x,y,z）场的表达式实质上是电磁场中电场强度的核心表达式。

据此，（3.5）式是电位、电压的概念引入依据

在日常对两点或两导线之间的电压进行测量时，由电压表所引出的两根接线分别接入两待测量点，测量时我们从不关心这两根接线在空间的形态，为什么？

根据电磁场原理，在电场中空间两点电压就是电场强度沿这两点间任意路径的路径积分。

这一积分和路径无关，所以随意挪动两根接线在空间的路径以改变其路径形态，电压表的读数一定不会发生变化；若发生变化，电压表就不会存在，因为电压的概念不会存在，今天的所有与电有关的一切统统不会存在。

2）上述积分是在直角坐标系下进行的，同样对该积分问题在球坐标系下进行，且运算过程更为简便:

原场E（x,y,z）=（xi+yj+zk）／（x2+y2+z2）3/2，由位移向量公式（2.1）、（2.2）和（2.5）：

E（x,y,z）=E（r）=r／r3=r0／r2（3.6）

由场强的表达式可以看出，空间任意点处的场方向与该点矢径方向一致，在进行路径积分E（x,y,z）dl运算时，可以看成线元沿场方向进行投影，路径上任意r处沿矢径方向线元投影为

cos=dr（3.7）

E（x,y,z）dl=dr／r2（3.8）

（3.7）、（3.8）式具有普遍含义，如图16所示，在r初邻近rx处，其路径上rx处沿矢径方向线元投影为drx，虽然r、rx方向不一

致，但是线元与之点积结果所体现的只与半径

大小有关，故可以直接进行积分

p1p2E（x,y,z）dl=r1r2dr／r2=-r1r2d（1／r）=-（1/r2–1/r1）=1/r1–1/r2

3）路径积分的不同表述：

由P1点到P2点的两条路径假设分别为τ1、τ2，则不同路径环量积分相同可表示为

τ1E（x,y,z）dl=τ2E（x,y,z）dl（3.9）

若把路径τ2积分方向反转（以–τ2表示积分路径反转以后的积分路径），既由由P2点到P1点沿路径τ2进行环量积分，由于路径上处处场量不变，但是每一处线元方向与原线元方向相反，故每一处线元与场量夹角较之于原夹角为π–，由三角函数公式cos（π–）=–cos，积分路径反转以后较之原来路径积分元，点积时处处相差一个符号，故整体积分较之于原路径相差一个符号

–τ2E（x,y,z）dl=–τ2E（x,y,z）dl（3.10）

由（3.9）式与（3.10）式，得

τ1E（x,y,z）dl=––τ2E（x,y,z）dl（3.11a）

移项得

τ1E（x,y,z）dl+–τ2E（x,y,z）dl=0（3.11b）

从上式可以看出，从任意一点出发，如图16（b）所示的任意环路积分，即绕行一周环路积分结果一定为零，把上式的环路积分改写为

∮E（x,y,z）dl=0（3.12）

（3.11）式表明，这里所讨论的场E（x,y,z）具有任意环路积分一定为零，在电磁场中，电场强度就满足这种特征

1、向量的叉积：

向量的叉积又称为向量的矢积，用符号“•”表示。

空间两向量F1与F2的叉积，满足右手螺旋法则，是指伸出右手，使四指与大拇指垂直，让四指指向F1的方向，此时四指F1由转向

F2，此时大拇指的指向即为F1与F2的叉积方向，叉积向量的大小为该两向量的模与该两向量夹角的正弦积。

如图14所示，

即：

F=|F|=F1F2sin（3.13）

注意，F1与F2叉积所得的向量F，既垂直于F1又垂直于F2，当然就垂直于F1与F2所决定的平面。

在坐标系下F1与F2的叉积可表示为：

F1F2=[F1x（x,y,z）i+F1y（x,y,z）j+F1z（x,y,z）k][F2x（x,y,z）i+

F2y（x,y,z）j+F2z（x,y,z）k]=

例7、如图，一刚体可以绕转动轴o旋转，有一力F作用于其边缘，且从转动轴o到F的位移为r，求力所产生的力矩

解：

设用M表示力矩，由定义得

M=rF

M的方向为如图指向纸外，即四指由r方向转向向F

时，大拇指的指向即为指向纸外，如图15所示

M的大小为

M=rFsin

所以

M=rFsink

评注：

在直角坐标系中，图19所表述的圆弧的切向可以用叉积表示为

0=kr0=k（cosαi+sinαj）=（cosαki+sinαkj）=cosαj-sini（3.14）

四、标量场的梯度

1、问题的提出：

若考查空间某一区域各处的温度，以T（x,y,z）或者以T（P）表示域中某点P处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场T。

对于温度场而言，我们关心两个问题，第一、确定出域中处处的温度；第二、对于域中某点P，我们关心在这点，温度变化在哪个方向上最大？

对于所提出的问题，最原始的方法是，用温度计进行逐点测量，能够确定域中处处的温度；对于第二个问题，采取的方法是以P点为球心，以一小长度l（设l=10-1m）为半径做一球面，测量出球面各点温度，假设分别为：

T（P）

T（P1）

T（P2）

T（P3、）

T（P4）

T（P5）

100C

9.980C

9.960C

9.930C

10.050C

10.070

假设其中变化幅度最大值就在上述所列之中，那么温度变化Ti=T（Pi）T（P）分别为0.020C、0.040C、0.070C、+0.050C、+0.070C，则变化率Ti/l分别为0.20C/m、0.40C/m、0.70C/m、+0.50C/m、+0.70C/m。

由此，得出结论，温度沿P5方向变化最大。

由此，我们将引出梯度的概念。

2、梯度：

梯度是描述标量场的一个向量，对于某一标量场而言，在场中某点的梯度，其大小为标量场在这点的最大变化率，方向指向场量变化最快的方向。

例如在上述温度场中，P点的梯度大小为0.7，方向为由P点指向P5点。

3、标量函数场的梯度公式。

若某一标量场的函数关系已经确定，为V=V（x,y,z），那么如何确定标量场在域中任意点（假设为P（x0,y0,z0））的梯度？

在P（x0,y0,z0）点附近任意点P（x,y,z）的标量场为V（x,y,z），则两点标量场值差可由泰勒展开为：

V=V（x,y,z）V（x0,y0,z0）=V（x,y,z）xx=x0,y=y0,z=z0（xx0）

+V（x,y,z）yx=x0,y=y0,z=z0（yy0）+V（x,y,z）zx=x0,y=y0,z=z0（zz0）

为简明起见，分别以x为xx0、y为yy0、z为zz0则上式又可以写为

V=V（x,y,z）xx=x0,y=y0,z=z0x+V（x,y,z）yx=x0,y=y0,z=z0y+V（x,y,z）zx=x0,y=y0,z=z0z=（V（x,y,z）xi+V（x,y,z）yj+V（x,y,z）zk）x=x0,y=y0,z=z0（xi+yj+zk）

这里，l=xi+yj+zk为P（x,y,z）与P（x0,y0,z0）两点之间的位移，定义一个算子‘’

V（x,y,z）=V（x,y,z）xi+V（x,y,z）yj+V（x,y,z）zk（4.1）

以算子‘’对标量场V（x,y,z）的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数，对于空间给定的点来说，该向量是确定的。

标量场V（x,y,z）在两点P（x,y,z）、P（x0,y0,z0）之间的变化量为

V=V（x,y,z）x=x0,y=y0,z=z0l（4.2a）

上式表示标量场的在空间附近两点之间的变化等于以（4.1）所表示的向量与空间这两点之间位移l的电积。

以l表示位移l的大小，以l0表示位移l的单位向量，将标量场的变化量与l相除

Vl=V（x,y,z）x=x0,y=y0,z=z0l0=V（x,y,z）x=x0,y=y0,z=z0l0（4.2b）

上式表示空间标量场V（x,y,z）沿某一方向对空间距离的变化率等于向量V（x,y,z）与该这一方向量的点积。

问题：

空间方向有多种取向，那么空间一点标量场的变化率在哪个方向上变化最大？

为回答上述问题，我们考察（4.2b）式，只有当所取的方向l0与标量场的算子向量V（x,y,z）一致时，两个向量的夹角为0，变化率达到最大值，可见就是我们上述所定义的梯度

函数场梯度的定义：

在标量场中，空间某点P（x,y,z）处的梯度为算子‘’对标量场作用的结果，即（4.1）式即为梯度向量的定义式

例7、已知一电位场V的空间函数关系为V（x,y,z）=1/（x2+y2+z2）1/2，求在P（1,2,3）处的标量场梯度

解：

以-E表示梯度向量，则由定义有

-E=V=Vxi+Vyj+Vzk

=-½1/（x2+y2+z2）3/2（2xi+2yj+2zk）

=-（xi+yj+zk）/（x2+y2+z2）3/2

即:

E=（xi+yj+zk）/（x2+y2+z2）3/2

或E=r/r3/2（4.3）

评论：

1）在电磁场中上式为电场强度与电位关系的核心表达式；2）

分布看做是一族等位面构成，V=C1、C2-----，那么E的方向就代表着电位面下降最快的方向。

推导过程如下：

在等位面上，任取一点P（x,y,z），在其附近任取一点做微量位移为l，由于等位，由（4.2a）

V=V（x,y,z）l=0

由于是在等位面任取的一有向线段，故上式说明电位场的梯度垂直于电位等位面，由于负号的关系，电场强度是指向电位下降的方向。

3）标量场对空间某方向上的空间距离变化率，在一些教科书上通常写为如下更为简明的形式，例如，电位场沿某一方向n0的变化率,通常表述为：

Vn,

Vn=V（x,y,z）n0=-En0=-En

En表示电场沿n0方向的分量

五、向量场的散度与旋度

1、通量概念的引入：

如图22所示，假设水流由上而下处处匀速（速度大小为v）流入下面一个矩形盆，盆口面积为s，则，在t时间内流入盆内的水量为

vts=vts=vst

单位时间里流入盆内的水量，这里我们称之为水通量为：

=VS

若盆口面斜放与水流方向夹角为角如图18所示，在这种情况下，单位时间盆所接的水比平放时要少，因为盆口的进水量只与盆口的平面投影有关，夹角越小，进水量越大，夹角为零时，进水量最大；夹角越大，进水量越小，当夹角为直角时，即盆口与水流方向垂直时，那就一滴水也接不着。

由于盆口面积S的单位时投影面积为

S1=Scos

单位时间所接水的通量为

=VScos=VS（5.1）

上式中向量的方向为盆面的向下的法向n

2、通量的定义：

对于一个向量场V（x,y,z），通过空间某一曲面的通量为向量场对该曲面的面积分，用公式可以表达为

=sV（x,y,z）ds（5.2）

上式中，表示在曲面P（x,y,z）处的微分面元，至于微分面元的定义，可参考图四的示意。

若曲面闭合，上式又称为闭合曲面的通量，表示为

=∮sF（x,y,z）ds（5.3）

在上式中，对于闭合曲面而言，曲面的法向一般是指向闭合曲面的外部。

闭合通量的理解：

这里我们仍以水流场做形象说明，取空间任意一个闭合曲面，通过积分可得通量，对于通量有三种情况如图23所示，对于图23（a），>0，说明此闭合曲面里面有‘水源’，谓之为‘泉’；对于图23（b），=0，说明此闭合曲面里面无‘水源’，左边流进，右边流出，流进的通量与流出的通量大小相同，方向相反（一负一正），相互抵消，故总量为零，谓之为‘恒定水流场’；对于图23（c），<0，说明此闭合曲面里面有‘水穴’，因为水只流进，不流出。

3、向量场的散度：

通过求闭合曲面内的通量可以定量描述该闭合区域内的水流情况，但这种刻画，我们还不能够确定出区域内哪一点是水源、哪一点是水穴，要确定出区域内的一点有源与否，那就看这一点的“通量”，其定义为：

（5.4）

通过数学理论分析

（5.5）

其中，Fx（x,y,z）、Fy（x,y,z）以及Fz（x,y,z）为向量场的三个轴向分量。

注意通过对于散度的理解，不难理解数学上应用广泛的高斯定理

（5.6）

4、环量概念的引入：

在空间某一路径上的任意点上（例如点P（x,y,z）），向量场F（x,y,z）与该点的线元的标积为该路径上向量场在该点的环量微量，用d表示，则

d=F（x,y,z）dl=Fx（x,y,z）dx+Fy（x,y,z）dy+Fz（x,y,z）dz

那么整个路径的环量可表示为

=ΓF（x,y,z）dl=Fx（x,y,z）dx+Fy（x,y,z）dy+Fz（x,y,z）dz

若路径为闭合路径，则通量又成为闭合路径环量

=∮ΓF（x,y,z）dl=Fx（x,y,z）dx+Fy（x,y,z）dy+Fz（x,y,z）dz（5.7）

环量的物理意义，某力场F（x,y,z），其在某一路径的环量微元F（x,y,z）dl就表示力场在线元上移动所做的功。

闭合环量积分能够从另外一个角度体现场的拓扑特征。

对于图24（a）所示的场结构，场是向四面扩散的，在进行闭合环量积分时，环量微元F（x,y,z）dl有正有负，总量抵消，故环量为零；对于图24（b）所示的场结构，场的方向与闭合路径上线元方向大体上一致，即夹角处处均为锐角，故总量不会抵消，闭合环量不为零。

上述结论也可以从场的几何形状上来看，图24（a）对应的场“不打转”，故称为无旋，图20（b）对应的场呈“转状”，故称为有旋。

5、向量场的旋度：

考察某一特定空间内某点上有无旋点，可以此点为心，做一闭合曲线为积分路径，这一闭合曲线非常小，则该闭合曲线的环量与其所包围面积之比，称为该点的旋度。

用数学表示为：

（5.8）

通过数学分析可以得到：

（5.9）

注意：

旋度的物理意义在于向量场在围绕此点周围的场线形状大体上是否成旋状，若是，则场在此点有旋，否则，则无旋。

例如，假设有一股旋风，若考察旋风所在区域的各点风速，则构成了一个风速场，对此风速场处处求旋度，则在旋风中心所在的点有旋度，即旋度不为零，其余各点均无旋度。

。

注意通过对于旋度定义，不难理解数学上应用广泛的斯特克斯公式

（5.10）