高等数学课程学习指导部分.docx

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高等数学课程学习指导部分

《高等数学》课程学习指导（部分）

绪论

《高等数学》（基本内容是微积分）是同学们来到大学要学习的第一门数学课，也是理工科院校大学生最重要的基础课之一。

在开始学习这门课程的时候，如果对该课程研究的对象是什么及研究的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！

如果将学习这门课看作是对微积分这座神秘的科学殿堂的一次探索，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简单的导游图！

本次课的目的就是向同学们简要介绍

微积分研究的对象和基本思想

在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。

一、教学内容

微积分研究的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。

二、教学要求

1．了解初等数学研究的对象是：

常数或常量，简单的规则几何形体（如直线、直边形、直面形等），而高等数学研究的对象是：

变数或变量、函数，复杂的不规则几何形体（如曲线、曲面、曲边形、曲面形等）。

2．初步理解微积分的基本研究方法——微元分析法，即

（1）在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；

（2）通过极限，将近似值转化为精确值。

3．导数是研究函数在一点处变化的快慢程度（变化率）。

在均匀变化情况下，需用除法计算的量，在非均匀变化的情况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商（除法）的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积（乘法）的推广。

4．函数是微积分研究的对象，极取是微积分的理论基础。

5．学习方法的建议：

（1）培养自学的能力，在学习过程中特别要特别注重概念、理论和思想方法的理解；

（2）勤于思考，敢于和善于发现问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培养自己的创新精神和创新能力。

（3）培养应用数学的意识、兴趣和能力。

第一章映射与函数，极限与连续函数（18-20学时）

函数是微积分研究的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依赖的关系；极限是刻画变量在变化过程中的变化趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在变化过程中的一个基本性态，连续函数是微积分研究的主要对象。

因此，本章是学好微积分的基础，是跨入微积分科学殿堂必须经过的第一道门槛！

希望同学们要花大力气把这部分内容（特别是数列与函数的极限）学好。

本章教学实施方案

讲课：

8-10学时，包括4讲：

1．集合与实数集、映射与函数（2学时）。

重点讲：

实数的完备性；确界与存在定理；映射、满射、单射、一一映射、逆映射与复合映射的概念；函数、分段函数、反函数与复合函娄、初等函数。

2．数列的极限（2-3学时），重点讲：

数列极限的概念，特别是数列极限的定义与几何意义；收敛数列的性质（主要从几何直观说明并用定义证明一个）和运算法则：

数列极限的审敛准则，主要讲单调有界准则与Cauchy收敛原理，数列的极限与其子列极限的关系，简要介绍有界数列有收敛子列这个结论（不证）；3．函数的极限（2-3学时），重点讲：

函数极限的定义及几何意义；归并原理（不证）；函数极限的性质（用归并原理证一个）和运算法则；两个重要极限；无穷小（大）量；简要介绍判定函数极限存在的单调有界与Cauchy准则；4．连续函数（2学时），重点讲：

连续函数的概念；连续函数的运算性质及初等函数的连续性；间断点及其分类；闭区间上连续函数的性质（几何说明，零点定理证明的思路——二分法）。

自学2学时，数列极限与函数极限各一学时。

讨论4学时，数列极限的概念，性质及审敛准则（2学时）；函数极限及连续函数（2学时）。

习题课4学时，数列极限的计算及审敛准则（2学时）；函数极限的计算、间断点的分类，闭区间上连续函数的性质（2学时）。

第一讲集合与实数集、映射与函数

一、教学内容

集合及其运算，实数集的完备性，确界与确界存在定理，映射与满射、内射、一一映射的概念，复合映射与逆映射，函数的概念及其表示，复合函数与反函数，初等函数。

二、教学要求

本讲是在复习中学已有知识的基础上，对上述内容进行总结、提高，加深对实数集的性质、映射与函数的概念的理解。

1．熟悉集合的概念及其运算，理解积集的概念。

2．从几何直观上理解实数的完备性和实数集的上（下）确界概念，知道确界存在定理是实数集的本质属性，是实数完备性的表现。

3．正确理解映射概念中的两个基本要素：

定义域与对应法则。

4．理解满射、内向、一一映射三类常见映射的概念。

5．正确理解复合映射的概念及映射复合的条件。

6．正确理解逆映射的概念，熟悉映射可逆的充要条件为它是一一映射。

7．正确理解函数是从一个实数集到另一个实数集的映射这个定义，从而掌握构成函数的两个基本要素，复合函数的概念及复合条件，反函数的概念及反函数存在条件。

8．熟悉函数的表示方法及分段函数。

9．熟悉什么叫初等函数。

第二讲　数列的极限

一、教学内容

数列极限的概念，收敛数列的性质，数列极限的运算法则，数列收敛性的判别准则。

二、教学要求

1．正确理解数列极限的直观含义，会用语言和邻域两种方法表述数列极限的定义，并能用定义证明简单数列的极限。

2．熟悉数列极限的性质及其应用。

3．掌握数列极限的有理运算法则以及使用这些法则求数列极限时应注意的条件和方法。

4．正确理解单调有界准则，会使用这个准则判别数列的收敛性，熟记一个重要的极限公式

并会使用该极限求一些相关数列的极限。

5．掌握数列极限与子列极限的关系，会利用这种关系判定数列的极限不存在，知道有界数列必有收敛子列。

6．理解Cauchy数列的概念和Cauchy收敛原理，知道Cauchy收敛原理的作用。

第三讲函数的极限

一、教学内容

函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限的运算法则，两个重要极限，函数极限的存在准则，无穷小量及其阶。

二、教学要求

1．正确理解函数极限（包括左、右极限）的及定义其几何意义，会用定义证明简单函数的极限。

2．理解归并原理，会用它将函数极限的问题转化为数列极限的相应问题，并判定函数极限的不存在。

3．熟悉函数极限的性质（特别是夹逼原理）及其作用。

4．正确使用函数极限的有理运算与复合运算法则计算函数的极限，特别是要掌握求不定式极限的方法。

5．牢记两个重要极限公式：

，

并会使用这两个重要极限求一些相关函数的极限。

6．知道判定函数极限存在的单调有界准则与Cauchy收敛原理。

7．正确理解无穷小量与无穷大量，高阶、同阶与等价以及低阶无穷小的概念，掌握利用无穷小等价代换求极限的方法，熟悉一些无穷小等价关系，例如

当时，，

，

。

第四讲连续函数

一、教学内容

函数的连续性与间断点，连续函数的运算性质与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

二、教学要求

1．正确理解连续函数在一点的连续性与连续函数的概念。

2．熟悉连续函数的运算性质（包括和、差、积、商、复合及反函数的连续性）及初等函数的连续性，掌握利用函数的连续性求函数极限的方法。

3．会求函数间断点，并判断间断点的类型。

4．熟悉闭区间上连续函数的性质：

有界性、最大最小值定理，零点定理与介值定理，并会利用这些性质解决一些简单问题（如函数方程根的存在性）。

第二章　一元函数微积分学及其应用（2学时）

导数与微分是微分学中两个最重要的基本概念，它们既有密切的联系，又有重要的区别。

导数是以刻画函数随自变量变化的快慢程度（即变化率）的，而微分则是通过在微小局部用线性函数近似代替非线性函数求得当自变量有微小变化时函数值变大小（近似值）的。

以Lagrange定理为中心的微分中值定理与此同时Taylor公式是微分学的基本理论。

中值定理揭示了函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一点处的变化率（导数），而Taylor公式则通过用高次多项式来近似代替非线性函数，大大地改进了用微分近计计算函数值的精确度和适用范围。

中值定理与Taylor公式（可看成中值定理的推广）为利用导数研究函数变化的性态（例如单调性，极值与凸性等）提供了有力的工具，从而为微分学在实际问题中的应用开辟了广阔的道路。

因此，本章是跨入微积分科学殿堂后的第一个也是最重要的景区之一，同学们应当很好地体会并掌握它的科学内涵。

本章教学实施方案

讲课8学时，分4讲：

1．导数的概念（2学时）。

重点讲导数的概念，包括导数的定义，几何意义、物理意义、单侧导数、可导与连续的关系。

2．微分学中值定理及其应用（2学时）。

重点讲Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理的直观含义、证明思想方法（作辅助函数）及其应用、LHospital法则及其在求不定式极限中的应用。

3．Taylor定理（2学时）。

重点讲用高次多项式逼近可导函数的思想及求函数的Taylor公式的方法。

4．函数性态的研究（2学时）。

重点讲用导数研究函数的单调性、极值与凸性。

突出建立并求解简单优化模型的方法（即最大最小值问题）。

自学4学时，分2次课：

1．求函数导数的各种方法（包括：

有理运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程求导法、高阶导数）。

2．相关变化率、微分的概念、运算法则、一阶全微分形式不变性、微分的应用。

讨论4学时，分2次：

1．微分中值定理与Taylor公式。

重点讨论诸定理和公式的含义及成立的条件，证明思想方法与利用它们解决相关问题的方法——辅助函数法。

2．导数的应用：

研究函数变化率（含相关变化率）、单调性、极值与凸性以及相关的实际问题。

突出建立实际问题的数学模型及解决问题的思想。

习题课6学时，分3次：

1．函数的各种求导方法，包括利用定义讨论分段函数的可导性，求高阶导数，求微分等（2学时）。

2．中值定理、Taylor公式的应用、LHospital法则（2学时）。

3．导数的应用。

函数的性态（单调性、极值、凸性）及与这们相关的实际应用问题（2学时）。

单元测验（2小时，时间另定）

第一讲导数的概念

一、教学内容

导数的定义、几何意义与物理意义、可导与连续的关系。

二、教学要求

1．正确理解导数的定义，左（右）导数，函数在一点处可导与在该点处左、右导数的关系。

2．会用定义求一些简单函数的导数，会求分段函数的导数，分段函数在定义区间的分界点处是否可导要用导数定义来讨论。

例如，会研究下列两种类型的分段函数

（其中为常数）；在处的可导性。

3．正确理解导数的几何意义（平面曲线在某点处切线斜率），并会利用它解决一些相关问题。

4．正确理解函数在一点处的导数就是函数在该点处的变化率，并会将科学技术中某些简单的问题化为导数问题。

5．正确理解可导与连续的关系：

在处可导——→在处连续

第一次自学（2学时）

一、自学内容

函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，反函数的求导法则，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数求导法。

二、自学要求

1．看懂有理运算法则、复合函数及反函数求导法则，使用时应注意的条件及证明思路，并会熟练地利用这些法则求函数的导数。

链式法则是求导法则中最重要应用最多的一种，应当特别注意使用该法则的关键所在与容易出现的错误。

2．熟记基本导数表，通过练习逐步做到对表中的公式能倒背如流，不能出现任何微小的错误。

3．理解可导的初等函数的导数仍为初等函数。

4．掌握高阶导数的求法，会用Leibniz公式求高阶导数。

5．熟练掌握隐函数求导方法，在求隐函数的导数时应特别注意如下问题：

若已知方程确定了隐函数，要求。

应当把看作自

变量，将方程两边对求导，由于是的函数，因此，等式左边是的复合函数。

求导时应当用链式法则。

同学们应结合书上的例2.17与例2.18正确理解这个问题。

三、自学参考题

1．证明定理2.1中的

（1）。

2．若函数与中有一个不可导，问它们的和与积是否可导？

若与都不可导，那么它们的和与积一定不可导，对吗？

为什么？

3．能否用下列方法证明链式法则？

为什么？

4．在链式法则的证明中，为什么要规定当时，？

为什么能这样规定？

5．由定理2.3，设函数在区间I中的处可导，且，

则其反函数在对应的处可导，且有人用下面的方法求二阶导数：

这样对吗？

若有错误，错在哪里？

并给出正确解答。

6．“初等函数在其定义域内每一点都可导”，这句话对吗？

为什么？

7．“可导的奇（偶）函数其导数必为奇（偶）函数”，对吗？

为什么？

若有错误，请给出正确的结论。

8．证明：

设是周期为T的可导函数，则其导函数必有相同的周期。

9．链式法则在隐函数求导中有何应用？

第二次自学（2学时）

一、自学内容

由参数方程确定的函数的求导法则，相关变化率，微分。

二、自学要求

1．熟练掌握由参数方程所确定的函数的求导法则，求导时，可以利用公式（2.8）和（2.9），但更重要的是应当理解推导这些公式的方法，从而可利用推导方法去求导数。

2．掌握相关变化率问题的求解方法，并会利用相关变化率解决一些简单的实际问题。

3．正确理解微分的定义及其几何意义，理解微分与导数之间的区别与联系。

4．掌握可微、可导与连续之间的关系：

5．正确理解用微分进行近似计算的基本思想是：

在微小局部将给定的函数线性化，在几何上就是用直线近似代替该函数所表示的曲线。

6．会求函数的微分，并会用一阶微分形式不变性求函数的导数。

三、自学参考题

1．在推导公式（2.8）和（2.9）过程中，哪一步用到了链式法则？

你能用推导这两个公式的方法推出三阶导数的表达式吗？

2．什么叫相关变化率问题？

解决相关变化率问题的主要步骤是什么？

3．某人以2米/秒的速度通过一座桥，桥面高出水面20米，在此人的正下

方有一小船以米/秒的速度与桥垂直的方向行驶，求经过5秒后，人与小船分离的速度。

4．什么叫一阶微分形式不变性？

试举例说明如何利用该性质求复合函数的导数？

5．如何理解利用微分近似计算函数值的基本思想是在微小局部用线性函数近似替代给定的非线性函数？

请写出近似计算依据的近似等式。

6．证明当充分小时，

第二次自学（2学时）

一、自学内容

由参数方程确定的函数的求导法则，相关变化率，微分。

二、自学要求

1．熟练掌握由参数方程所确定的函数的求导法则，求导时，可以利用公式（2.8）和（2.9），但更重要的是应当理解推导这些公式的方法，从而可利用推导方法去求导数。

2．掌握相关变化率问题的求解方法，并会利用相关变化率解决一些简单的实际问题。

3．正确理解微分的定义及其几何意义，理解微分与导数之间的区别与联系。

4．掌握可微、可导与连续之间的关系：

5．正确理解用微分进行近似计算的基本思想是：

在微小局部将给定的函数线性化，在几何上就是用直线近似代替该函数所表示的曲线。

6．会求函数的微分，并会用一阶微分形式不变性求函数的导数。

三、自学参考题

1．在推导公式（2.8）和（2.9）过程中，哪一步用到了链式法则？

你能用推导这两个公式的方法推出三阶导数的表达式吗？

2．什么叫相关变化率问题？

解决相关变化率问题的主要步骤是什么？

3．某人以2米/秒的速度通过一座桥，桥面高出水面20米，在此人的正下

方有一小船以米/秒的速度与桥垂直的方向行驶，求经过5秒后，人与小船分离的速度。

4．什么叫一阶微分形式不变性？

试举例说明如何利用该性质求复合函数的导数？

5．如何理解利用微分近似计算函数值的基本思想是在微小局部用线性函数近似替代给定的非线性函数？

请写出近似计算依据的近似等式。

6．证明当充分小时，

（注：

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）