初中圆.docx

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初中圆

24.1.2垂直于弦的直径

一、课前预习（5分钟训练）

1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.

图24-1-2-1图24-1-2-2图24

-1-2-3

2.圆中一条弦把和它垂直的直径分

成3cm和4cm两部分，则这条弦弦长为__________.

3.判断正误.

（1）直径是圆的对称轴;

（2）平分弦的直径垂直于弦.

4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.

二、课中强化（10分钟训练）

1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.

2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24cm，弦心距OC=5cm，则⊙O的半径R=__________cm.

4.如图24-1-2-4所示，直径为10cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm.求弦AB的长.

图24-1-2-4

三、课后巩固（30分钟训练）

1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于（）

A.3

B.3

C.

D.

图24-1-2-5图24-1-2-6

2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（）

A.3cmB.2.5cmC.2cmD.1cm

3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.

4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m.秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？

图24-1-2-7

5

.“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8

（1）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8

（1）.最高

的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图

（2）,那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.

图24-1-2-8

6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.

（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10

cm

，腰AB=6cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）

（3）若在

（2）题中的R满足n＜R＜m（m、n为正整数），试估算m和n

的值.

图24-1-2-9

7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.

思路分析：

求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.

24.1.3弧、弦、圆心角

一、课前预习（5分钟训练）

1.下列说法中，正确的是（）

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等

2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）

图24-1-3-1

A.3∶2B.

∶2C.

∶

D.5∶4

3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）

A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0

二、课中强化（10分钟训练）

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

答案：

∶290°

3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.

（1）求证：

AC=DB；

（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积.

图24-1-3-2

4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.

求证：

OC=OD.

图24-1-3-3

5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长.

图24-1-3-4

6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?

为什么?

当EF∥AB时,情况又怎样?

图24-1-3-5

三、课后巩固（30分钟训练）

1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？

为什么？

图24-1-3-6

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:

弧AE=弧BF.

图24-1-3-7

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？

为什么？

图24-1-3-8

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形

，请你画出你的设计方案图（至少两种）.

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？

（要求：

不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）

图24-1-3-9

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径.

图24-1-3-10

7.⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离.

24.1.4圆周角

一、课前预习（5分钟训练）

1.在⊙O中，同弦所对的圆周角（）

A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对

2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

图24-1-4-1图24-1-4-2

3.下列说法正确的是（）

A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.

二、课中强化（10分钟训练）

1.如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是（）

A.30°B.60°C.15°D.20°

图24-1-4-3图24-1-4-4图24-1-4-5

2.如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

3.如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.

4.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__

________.

5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？

试证明你的结论.

图24-1-4-6

三、课后巩固（30分钟训练）

1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.

图24-1-4-7

2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

（）

图24-1-4-8

3.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）

A.10°B.20°C.40°D.80°

4.如图24-1-4-10

（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.

（1）求证：

△DOE是等边三角形.

（2）如图24-1-4-10

（2），若∠A=60°，AB≠AC，则

（1）中结论是否成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

图24-1-4-10

5.四边形ABCD中，AB∥

DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.

图24-1-4-11

6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？

图24-1-4-12

7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北

侧绕过暗礁区，应怎样航行？

为什么？

图24-1-4-13

8.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图24-1-4-14

（1）所示：

图24-1-4-14

∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.

又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,

即∠ABC=

∠AOC.

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14

（2）（3）,那么结论会怎样?

请你说明理由.

9、如图24-1-4-15所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm.

（1）求证：

AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若∠A=30°，求⊙O的直径.

图24-1-4-15

10.如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=__________.

图24-1-4-16图24-1-4-17

11、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是（）

A.∠APB为锐角B.∠AQB为直角

C.∠ARB为钝角D.∠ASB＜∠ARB

24.2.1点和圆的位置关系

一、课前预习（5分钟训练）

1.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：

（1）4cm；

（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.

2.点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.

3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）

A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不确定

4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）

A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外

二、课中强化（10分钟训练）

1.已知⊙O的半径为3.6cm，线段OA=

cm，则点A与⊙O的位置关系是（）

A.A点在圆外B.A点在⊙O上C.A点在⊙O内D.不能确定

2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）

A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外

3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图24-2-1-1，在△ABC中

，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，

cm为半径作圆，则A、B、C、M四点

在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.

图24-2-1-1

三、课后巩固（30分钟训练）

1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）

A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12

C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=14

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）

A.5cm

B.6cmC.7cmD.8cm

3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三

条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？

请画出图，并说明理由.

图24-2-1-2

4.阅读下面材料：

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被

这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3

（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3

（2）中的四边形被两个圆所覆盖.

图24-2-1-3

回答下列问题：

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;

（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;

（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________

cm，这两个圆的圆心距是________cm.

5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.

6.有一个未知圆心的圆形工件（如图24-2-1-4）.现只允许用一块直角三角板（注：

不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.

图24-2-1-4

7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

（1）按圆形设计，利用图24-2-1-5

（1）画出你所设计的圆形花坛示意图;

图24-2-1-5

（2）按平行四边形设计，利用图24-2-1-5

（2）画出你所设计的平行四边形花坛示意图;

（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？

请说明理由.

8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？

请说明你的方法和理由.（不计切割损耗）

图24-2-1-6

24.2.2直线和圆的位置关系

一、课前预习（5分钟训练）

1.已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm.

（1）以C为圆心，2cm长为半径

的圆和AB的位置关系是_________；

（2）以C为圆心，4cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；

（3）如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________.

2.三角形的内心是三角形_______________的交点.

3.⊙O的半径r=5cm，点P在直线l上，若OP=5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

4.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

A.d=3B.d≤3C.d＜3D.d＞3

二、课中强化（10分钟训练）

1.如图24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M为OA边上一点,以M为圆心、2cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动,则当OM=_______________cm时,⊙M与OB相切.

图24－2－2－1

2.⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）

A.d＞RB.d＜RC.d≥RD.d≤R

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）

A.8B.4C.9.6D.4.8

4.⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是（）

A.d=mB.d＞mC.d＞

D.d＜

5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

6.如图24－2－2－2，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B.如果OP=4，PA=23，那么

∠AOB等于（）

图24－2－2－2

A.90°B.100°C.110°D.120°

7.已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，

CB的延长线交⊙O于点E（如图24－2－2－3

（1））.

在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图24－2－2－3

（2）），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系.

图24－2－2－3

观察上述图形，连结图24－2－2－3

（2）中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；

连结_____________________________.

求证：

____________=CE.

证明：

8.如图24－2－2－4,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.

求证:

∠ACB=

∠OAC.

图24－2－2－4

三、课后巩固（30分钟训练）

1.如图2

4－2－2－5，已知同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：

CD是小圆的切线.

图24－2－2－5

2.如图24－2－2－6，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度数.

图24－2－2－6

3.已知如图24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，

求证：

⊙O和CD相切.

图24－2－2－7

4.如图24－2－

2－8所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且CD=BD，过D作DE⊥AC于点E，求证：

DE是⊙O的切线.

图24－2－2－8

5.如图24－2－2－9，已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长.

图24－2－2－9

6.如图24－2－2－10所示，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3cm，BE=7cm，

（1）求⊙O的半径；

（2）求线段DE的长.

图24－2－2－10

7.如图24－2－2－11,已知⊙A与⊙B外切于点P,BC切⊙A于点C,⊙A与⊙B的内公切线PD交AC于点D,交BC于点M.

（1）求证:

CD=PB;

（2）如果DN∥BC,求证:

DN是⊙B的切线.

图24－2－2－11

8.在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B.

（1）如图24－2－2－12，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为

=

，求直线AC的解析式;

（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化?

如果不变，求出其值;如果变化，求其变化的范围.

图24－2－2－12

24.2.3圆和圆的位置关系

一、课前预习（5分钟训练）

1.圆和圆有五种不同的位置关系，它们是__________、__________、__________、__________、__________.

2.两圆相切是指这两个圆__________或__________两种.

3.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个.

4.已知⊙O的半径为5cm，⊙O1的半径为3cm，两圆的圆心距为7cm，则它们的位置关系是（）

A.相交

B.外切C.相离D.内切

5.下列命题中正确的是（）

A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等

B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形

C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线

D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离

二、课中强化（10分钟训练）

1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为____________.

2.已知关于x的一元二次方程x２－2（R＋r）ｘ＋d２=０

没有实数根，其中R、r分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是（）

A.外离B.相交C.外切D.内切

3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）

A.相交B.内含C.内切D.外切

4.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（）

A.相离B.相交C.外切D.内切

5.如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是（）

A.外离B.相交C.外切D.内切

三、课后巩固（30分钟训练）

1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2=10cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是（

）

A.内切B.相交C.外切D

.外离

2.若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为__________cm.

3.两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，且圆心距d=3，则两圆的位置关系为（）

A.外切B.内切C.外离D.相交

4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米